2024-2025学年湖北省荆门市某中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省荆门市龙泉中学高三(上)第一次月考数学试

卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如果集合S={K|X-3n+l,nEN},T={x\x=3k—2,kEZ],贝!]()

A.S=rB.TQSC.S=TD.S生T

2.已知下列四个命题：

U

①命题"v*e的否定是3X0E夫,>就+1<1”；

②若△4BC为锐角三角形，则sinA+sinB>cosA+cosB；

③若/'(久o)=0,则％=久0是函数/Q)的极值点；

④命题P：若a2-b2>0,则a3-/)3>0；命题q：若aKb,则a2+62>2ab；可知"p或q"为真命题.

其中真命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

3.已知x€(0,兀)，sin(^|^-x)-cos2(|+^)=0,则tan(x+3=()

A.-3—2^/2B.-2^/2C.3—2^/2D.-3

4.已知函数/(x)=久(乂-1)0—2)(无一3)(*-4)(%-5),求/''(2)=()

A.0B,-12C,-120D.120

5.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p(0<p<1),她掷了k次硬币，最终有10

次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X表示每掷N次硬币中正面向上的次数，现

以使P(X=10)最大的N值估计N的取值并计算E(X).(若有多个N使P(X=10)最大，则取其中的最小N值).

下列说法正确的是()

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.E(X)=10D.E(X)与10的大小无法确定

6.已知函数/O)=3，-2，，xER,则下列结论错误的是()

A.函数/'(X)在(0,+8)上单调递增

B.存在aGR,使得函数y=%为奇函数

C.任意久€R,f(%)>—1

D.函数g(X)=/(%)+%有且仅有2个零点

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7.已知无穷等比数列｛a｝的公比为q,前n项和为S”且limS=S,下列条件中，使得2s<S(neN*)恒成

n九T8nn

立的是()

A.%>0,0.6<Q<0,7B,由<0,-0.7<q<—0.6

C.fli>0,0.7<q<0,8D,at<0,-0,8<q<-0,7

8.已知椭圆-今+^=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,过F2的直线[与椭圆设目交于力，B两

点，与y轴相交于点C,连接％C,F14若。为坐标原点，%C1F14SACOF2=2SAAF1F2,则椭圆厂的离心

率为()

AB在CD—

A-5-51010

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列说法正确的是()

A.已知随机变量X〜B(n,p),若E(X)=30,O(X)=10,则p

1

B.两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是微

C.已知阕=C)则九=8

D.从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为部

10.已知圆锥S。的底面半径r=看母线长1=2,SA,S8是两条母线，P是SB的中点，贝)

A.圆锥S。的体积为喑

B.圆锥S。的侧面展开图的圆心角为:

C.当aSAB为轴截面时，圆锥表面上点4到点P的最短距离为押记区

D./sSAB面积的最大值为2

11.已知椭圆E：+l(cz>b>0)的左、右焦点分别为鼻,尸2，左、右顶点分别为4B,P是E上异

于4B的一个动点.若3|4川=出％],则下列说法正确的有()

A,椭圆E的离心率为方

B.若PF1IFF2，贝hos/PFzFi建

C.直线P4的斜率与直线PB的斜率之积等于一楙

D.符合条件比­布=0的点P有且仅有2个

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知复数z满足|z|=1,则|z-3+4i|的取值范围是.

13.近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每

天来往于4个外卖店(外卖店的编号分别为1,2,3,4),约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次

取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次

取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件4=｛第k次取单恰好是从1号店取单

｝，P(40是事件4发生的概率，显然PQ4i)=LP(X2)=0,贝〃G4n)=.

14.已知函数/'(久)在定义域(一方t)上为偶函数，并且xNO时，/■'(%)>/(x)tan%,若/'(9=2,则不等式

的解集为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

222

在①sinAsinBsinC=-^-(sin7!+sinC—sinB)；②焉+焉=A：；£SB；③设△"BC的面积为S,

且4Ps+3(/—a2)=302,这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.

在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知,且b=28.

(1)若a+c=6,求△ABC的面积；

(2)若△ABC为锐角三角形，求羡的取值范围.(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

16.(本小题15分)

某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线测试，

得到数据如表：

ABCDE

电信438612

网通57943

(1)如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超

过0.15的前提下，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？

(2)若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求4、B两个地区同时选

到的概率；

(3)在(2)的条件下，以X表示选中的掉线次数超过5个的位置的个数，求随机变量X的分布列及数学期望.

nQad-bc}2

参考公式：笈=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),

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P(K2>ko)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

kq0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

17.(本小题15分)

在三棱台ABC-&BiCi中，底面△力8C是等边三角形，侧面4遇。的是等腰梯形，。是4C的中点，是两

异面直线BiB和4C的公垂线，且48=94/1=24，BB、=2显

(1)证明：侧面483遇11平面BMC；

(2)若丽=瓦瓦且8/与平面R4C之间的距离为1,求二面角4-EC-/的正切值.

18.(本小题17分)

在xOy平面上，我们把与定点%(-。,0)、F2(a，0)(a>0)距离之积等于a2的动点的轨迹称为伯努利双纽线，

F1、&为该曲线的两个焦点.已知曲线C：(/+y2)2=9Q2—y2)是一条伯努利双纽线.

(1)求曲线C的焦点F1、尸2的坐标；

(2)判断曲线C上是否存在两个不同的点4、8(异于坐标原点。)，使得以4B为直径的圆过坐标原点。.如果存

在，求点4、B坐标；如果不存在，请说明理由.

19.(本小题17分)

自然常数，符号e,为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自

然对数的底数.有时称它为欧拉数(E仅enunn屁r),以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮

尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰.纳皮尔(/o/mNapier)引进对数.它就像圆周率兀和虚数单位3是数学

中最重要的常数之一，它的其中一个定义是e=%78(1+$支.设数列｛?九｝的通项公式为。=(1+》九，

nEN*,

(1)写出数列｛5｝的前三项ei，e2,e3.

(2)证明：2We.<3.

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参考答案

l.A

2.D

3.X

4.B

5.B

6.D

7.B

8.4

9.BC

1Q.BCD

11.7IC

12.[4,6]

13.W）x

id,7171.

14.（一布）

15.解：（1）选①，由题意利用正弦定理得acs讥B=岑（。2+02-

由余弦定理可得acsinB=^-X2accosB,

可得sinB=避cosB,

所以tcmB=4，

因为8e（0,兀），

,,71

故3=

又b=28，a+c=6,

由余弦定理可得12=小+c2—ac=（a+c）2-3ac=36—3ac,

解得ac=8,

所以△ABC的面积S=^acsinB=^x8x号=2平；

选②h因为tan4+tanB—~^3sinAcosB,

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_sinBcosA+cosBsinA

sinAsinB

_sinC

sinAsinB

sinC

psinAcosB'

因为4Ce(0,7T),

所以sinCHO,sinAHO,

所以sinB=避cosB,

所以tcmB=避，

因为8e(0"),

故5=全

又b=2避，a+c=6,

由余弦定理可得12=a2+c2—ac=(a+c)2—3ac=36—3ac,

解得ac=8,

所以△ABC的面积S=^acsinB8x^=2平；

选③，设△ZBC的面积为S,由题意可得4和xaacsiziB=3c2-3(Z?2-a2)=3(a2+c2-b2),

所以24acsinB=3x2accosB,

所以tcmB=避，

因为8e(0,兀)，

故5=全

又b=2避，a+c=6,

由余弦定理可得12=a?+c2—ac=(a+c)2—3ac=36—3ac,

解得ac=8,

所以△&8C的面积S=^acsinB=，x8x岑=2展

(2)由(1)可知8=pb=2避,

因为咪a1=*c?=^=*可得a=4s讥4c=4sinf,

所以？

_sinA

sinC

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^sin(^-C)

sinC

=^cosC+^sinC

sinC

_1

2tanC2，

TT

因为△4BC为锐角三角形，B=§,

■jl7T

所以0<C<5，五<B+C<7T,

解得"C<p

所以tanC>孚，可得。<焉(避，

所以义<品+9<2,

乙2tanCN

所以割取值范围是6,2).

16.解：(1)根据题意列出2x2列联表如下:

位置

糟糕良好合计

类型

电信325

网通235

合计5510

K2=口q=黑言=0.4<2.07,故在犯错误的概率不超过0.15的前提下，不能说明游戏的网络状

况与网络的类型有关.

(2)依题意，所求概率P=£=条

⑶随机变量X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=与召=高P(X=2)=%重=，；P(X=3)=]

1

~To,

故X的分布列为

X123

331

P

10510

331

・•・E(X)=lx京+2*>3x点=1.8.

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17.1?：（1）证明：:Bi。是异面直线BiB与AC的公垂线，

B\BJ_B10,B1。_LAC->

又△力BC是等边三角形，。是力C的中点，AC1B。，

.­.AC1平面BiB。，

又u平面/BO,•••ACISiS,

B]B_L平面BMC,

又B]Bu平面BiB44i，

•­•平面4B81&1平面Bp4C；

⑵・•・~B0=~B^E,：.四边形B/OE是平行四边形，

BrB//OE,且B/=OE,

由（1）知Bi。1平面E4C,

线段Bi。的长为直线B声与平面△E4C的距离，即为0=1,

在平面E4C内，过。作直线。F1EC于F,连BF，

则1EF,ABiF。为二面角4—EC—Bi的平面角，

•••AB=2避，BB、=26,

：.0C=8，EC="产+0c2=J（2®2+（0）2=力,

tanzBiFO=翌==遐,

OF疝12

故所求二面角2-EC-%的正切值为里.

18.解：（1）设焦点%（-。,0）,尸2（。，。）（口>0），

曲线C:（X2+y2）2=9（%2—y2）与久轴正半轴交于点尸（3,0）,

由题意知IPF1IIP&I=（3+a）（3-a）=9-a2=a2,

于是F=3，a

因比%（一¥，0）？2（挈0）；

（2）假设曲线C上存在两点4B,使得以48为直径的圆过坐标原点。，即。41OB,

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由题意知直线。40B斜率均存在，

不妨设直线。4的方程为y=fcix,直线。8的方程为y=k2x,