浙江省2024年九年级上学期开学考试数学试题（解析版）

2024年浙江省初中浙派联盟（九年级）评估测试卷

数学试题卷

考生须知：

1.全卷分试题卷I、试题卷II和答题卷.试题卷共4页，有三个大题，24个小题.满分为

120分，考试时长为120分钟.

2.请将学校、班级、姓名和准考证号分别填写在答题卷的规定位置上.

3.答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用25铅笔涂黑、涂满.将试题

卷II的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定

区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效.

4.不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示.

卷I

一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.下列各数中，最小的数是（）

1

A.2B.1C.——D.-2

2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较方法，即可求解.

【详解】解：—2〈—工<1<2

2

最小的数是—2

故选：D.

2.下列计算正确的是（）

A.5a—2a—3B.a6-i-a3=a2C.a2-a3=a5D.仅=b，

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幕的乘法，除法，塞的乘方，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、5a—2a=3。，选项计算错误；

B、a6^a3=a3,选项计算错误；

C、a2-a3=a5,选项计算正确;

3

D、=b6,选项计算错误;

故选C.

3.近年来浙江全省数字产业保持年均两位数的增长，去年数字经济核心产业增加值达8977亿元，占地区

生产总值比重达11.6%,数字经济核心产业营业收入达3.28万亿元，其中8977亿用科学记数法表示为

()

A.8.779X1011B.89.77xlO10C.0.8977xlO12D.8.977xlO10

【答案】A

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为ax10〃的形式，其中1三|。|＜10,"为整数.确定”的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，〃是正数；当

原数的绝对值＜1时，〃是负数.据此解答即可.

［详解］解：8977亿=897700000000=8.977x10”，

故选：A

4.如图，有6个相同的立方体搭成的几何体，它的左视图是（）

【解析】

【分析】本题考查几何体的左视图.

根据左视图是从几何体左面看到的图形即可解答.

【详解】解：从左面看，该几何体为两列，从左到右分别为2个正方形，1个正方形.

故选B.

5.不等式组x+322的解集在数轴上表示为（）

----------1----------1-----►R------1----------<----------L

-101012

D--2-I

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴

上表示出来即可.

【详解】解：x+322,

解得：x>-l,

在数轴上表示不等式组的解集为：-J]b；»,

故选：A.

6.为了建设“书香校园”，某校开展捐书活动.某班40名学生捐书情况统计如下表：

捐书本数12345810

捐书人数58128421

则该班学生所捐书本的中位数和众数分别是（）

A.3,3B.4,12C.3.5,3D.4,12

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了求中位数和众数；中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最

中间两个数据的平均数）.众数是一组数据中出现次数最多的数值.据此即可求解.

3+3

【详解】解：由表格数据可知：中位数为：——=3,众数为3

2

故选：A.

7.如图，已知A3是L。弦，C为上的一点，且OCLA5于点D,若NABC=25。，则N05D的

度数为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.由题意易得

ZODB=90°，ZBOD=50°,则有ZOBD=180°-ZBOD-ZODB=40°.

详解】解：

•••AC=3C，NODB=90°,

ZABC=25°,

•'•AC和BC的度数都是50。,

ZBOD=50°

•/ZOBD=180°-ZBOD-Z.ODB=40°

故选：C.

8.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买

一顷，价钱一万.问善、恶各几何？意思是:今有好田1亩价值300钱，坏田7亩价值500钱.今用

loooo钱购入好、坏田共1顷（1顷=100亩）.问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为了亩，坏田为y

亩，那么可列方程组为（）

x+y=lx+y=100

A.《B.

300x+500y=10000,300%+500y=10000

x+y=1x+y=100

C.J7D.

300x+—y=10000’300x+—y=10000

I500-I7-

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意,找到等量关系，列出二元一次方程组即可求解

根据题意，找到等量关系是解题的关键.

【详解】解：设好田为十亩，坏田为y亩，

x+y=100

由题意可得，〈300x+&y=10000’

7-

故选：D.

9.已知抛物线y=依2+乐（。/0）和直线y=丘+匕（左中0）交于A（x，yJ,两点，其中

%1<0<x2,且满足用<同，则直线y=G:+左一定经过（）

A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，根据题意得到西+马〉0，%/2<0,

S〉0

即L"，分。>0力>0；a<0力<0两种情况，分别利用不等式的性质和一次函数的性质进行求解.

"o

【详解】解：•.‘抛物线y=加+次（a/0）和直线y=kx+40）交于4（久1，%）,吕3,月）两点，

ax2+bx=kx+b>即+^b—k^x—b=Q,

,k-bb

..x.+%=---,=—,

aa

x；<0<x2,且满足㈤<同,

/.x；+x2>0,x/2<0,

l«

当a>0,b>0时，k—b>3即左>Z?>0,

，直线y=办+左经过第一、二、三象限；

当a<03<0时，k-b<0,即左<Z?<0,

.•.直线丁=办+左经过第二、三、四象限，

综上，直线y=ax+左一定经过第二、三象限，

故选：B.

10.如图，矩形ABCDS矩形。EFG,连接AF、CG、DF,要求出上CDG的面积，只需要知道下面

哪个图形的面积（）

A.矩形ABC。的面积B.四边形ABCG的面积

C.QE户的面积D.△ADF的面积

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形对应边成比例是解题关键.根据矩形相似，得出

DGCD=ADFG,再结合三角形面积公式，即可得到答案.

【详解】解：•.,矩形ABCDs矩形。£FG，

DGFG

'~\D~~CD'

:.DGCD=ADFG,

:.Sr\--nLKjc=-2DGCD=-2ADFG=SALnJrF,

知道△ADP的面积，即可求出CDG的面积，

故选：D.

卷II

二、填空题(每小题4分，共24分)

11.分解因式：a2-4a=.

【答案】i(a—4)

【解析】

【分析】根据提公因式法进行因式分解即可.

【详解】解：原式=/-4a=a(a—4)；

故答案为：a(a-4).

【点睛】本题主要考查提公因式进行因式分解，找出多项式中各项的公因式是解题的关键.

12.某校计划组织研学活动，现有三个地点可供选择：博物馆、影视城、动物园.若从中随机选择一个地

点，则选择动物园的概率为-

【答案】-

3

【解析】

【分析】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率尸（A）=事件A可能出现的结果数千所有可能出现的

结果数.从中随机选择一个地点共有3种等可能结果，选择动物园的只有1种结果，根据概率公式求解即

可.

【详解】解：从中随机选择一个地点共有3种等可能结果，选择动物园的只有1种结果，

所以选择动物园的概率为工，

3

故答案为：—.

3

13.要使分式工有意义，x的取值应满足.

x—2,

【答案】#2

【解析】

【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为0,可知於2邦，

解得"2

故答案为存2.

14.我国木雕艺术历史悠久.如图1为一木雕的实物图，如图2此木雕可以近似的看作扇环，其中OC长

为0.2米，AC长为0.5米，NCOD为100。，则木雕的面积（镂空部分忽略不计）为平方米.（结

果保留万）

mi图2

【答案】-71

8

【解析】

【分析】本题考查了扇形的面积，熟记公式是解题关键.

1QQO1QQO1

【详解】解：木雕的面积=——X»X（OA2_OC2）=——X^X（0.72-0.22U-^

360°'73600'78

故答案为：—R.

8

Z7b

15.如图，已知平行于y轴的直线与双曲线y=—（a>0,x>0）,双曲线y=—。>0,1>0）分别相交于

XX

b

点A、B,AC平行x轴交双曲线y=—。>0,%>0）于点C,6。平行x轴交y轴于点。，连接

b

AD,CD,且满足以)=2A3,AD平分NBDC,则一的值为

8

【解析】

［分析】本题考查反比例函数的综合应用，延长AC交y轴于点E,易得四边形ABDE为矩形，设51加,2

\m

根据&)=2AB,得到机=,根据平行结合角平分

(mb、

线得到AC=CD,根据两点间的距离公式得到+bJ,联立两个式子进行求

解即可.

【详解】解：延长AC交y轴于点E，

：AC平行x轴，平行x轴,

AC//BD,BD±y^,

•；AB//y轴，

四边形ABDE为矩形，

设心白，则：A除。C-0,q,

mJ\m)\amJ\mJ

•；BD=2AB,

：AD平分NBZJC,

：.ZADB=ZADC,

'：AC//BD,

：.ZCAD=ZADB=ZADC,

AC=CD，

Ia)\mm)\ci)

23m2

整理，得:2mb

a~T~

,b3

・・一二一；

a8

3

故答案为：—.

16.如图，正方形A5CD的边长为2,以边上的动点。为圆心，05为半径作圆，将△A0D沿0D翻

折至AOD,若「。过一AOD一边上的中点，则。的半径为

【答案】:吟或空心

【解析】

【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，圆的定义；分三种情况讨论，设：。的半径为

广，分别根据勾股定理，即可求解.

【详解】设的半径为r,当：。经过A0的中点，即经过A0的中点，

当（。经过0D的中点，则r=。3=!。。,

2

OD=2r,AO=AB—OB=2—r,

在Rt_AOD中，AD2+AO2=OD2

：.22+（2-r）2=（2r）2

解得：厂=25—2（负值舍去）

3

当。。经过A。的中点，即经过AD的中点，设AD的中点为〃，

:.AO=2—r,AM=1,OM=r

222

（2-r）+l=r

解得：r=°

4

综上所述，半径为2、->2s-2

343

故答案为：■1或W或2近—2.

343

三、解答题（本大题有8小题，共66分）

17.计算：

（1）（2X+1）2+（3+2X）（3-2X）

（2）«一卜2|+（1+旧）°

【答案】（1）4%+10

（2）1

【解析】

【分析】此题考查了整式的混合运算、实数的混合运算.

（1）利用完全平方公式和平方差公式展开合并同类项即可；

（2）利用算术平方根、绝对值、零指数幕、立方根进行计算即可.

【小问1详解】

解：（2X+1）2+（3+2X）（3-2X）

=4x2+4x+l+9-4x2

=4x+10

【小问2详解】

解：A/4-|-2|+(1+^27)()

=2—2+1

=1

18.如图，在4X4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.VA3C的顶点均在格点上，请用无

刻度的直尺分别按要求画出下列图形.

(1)将图1中的VA3C绕点A逆时针旋转90。，画出旋转后的△AB'C'；

(2)如图2,在AC上找一点使血的面积与△BCD的面积之比为3:1.

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】此题考查了图形的旋转作图、等高三角形的面积关系，熟练掌握图形的旋转作图是解题的关键.

(1)分别作出点8和点C绕点A逆时针旋转90。得到对应点8'和C,顺次连接A、B'、C'即可得到旋

转后的△ABC；

(2)在AC上找到靠近点C的三等分点，连接即可.

【小问1详解】

解：如图，即为所求,

C

【小问2详解】

解：在AC上找到靠近点C三等分点，连接血，如图所示:

.ABC和BDC是等高不等底的两个三角形，且AC=3CD,

AND的面积与△BCD的面积之比为3:1,点。即为所求的点.

C

19.出行是人们日常生活必不可少的组成部分，某市多部门联合深化城市交通治理，塑造生态友好、文明

友善的城市绿色出行体系，使城市交通向更低碳、更绿色、更高质量发展.为了了解本市市民出行情况，

某数学兴趣小组对本市市民的出行方式进行了随机抽样调查.根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所

所抽取的市民出行方式扇形统计图

车自行单车车方式

车

由图中给出的信息解答下列问题:

(1)求此次调查的市民总人数，并补全条形统计图.

(2)若本市某天的出行人次约为300万，则乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为多少万？

(3)根据调查结果对市民的绿色出行提一条合理化的建议.

【答案】(1)200人，图见解析

(2)乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为165万人；

(3)答案不唯一，见解析

【解析】

【分析】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用.

(1)利用“私家车”方式出行的人数以及占比可求得此次调查的市民总人数，再用这个总人数乘“公交车”

方式出行的占比，求得乘“公交车”方式出行的人数，即可补全条形统计图；

(2)利用样本估计总体的方法计算即可求解；

（3）合理即可.

【小问1详解】

解：总人数为40+20%=200（人）,

乘“公交车”方式出行的人数为200x25%=50（人）,

补全条形统计图如图

【小问2详解】

解：300x(604-200+25%)=165(万人),

答：乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为165万人;

【小问3详解】

解：尽量少开汽车，多选择地铁、公交车等公共交通工具（言之有理即可）.

20.如图1是我国古代提水的器具桔棒，创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠

杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水

桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿时，小竹竿下降水

桶就会回到井里.如图2是桔棒的示意图，大竹竿A3=6米，。为的中点，支架OD垂直地面所.

图1

（1）当水桶在井里时，ZAOD=120°,求此时支点。到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；

（2）如图2,当水桶提到井口时，大竹竿旋转至4耳的位置，小竹竿AC至4G的位置，此时

ZA.OD=143°,求点A上升的高度（结果精确到0.1m）.（参考数据：&L73,sin37°«0.6,

cos37°«0.8,tan370®0.75）

【答案】（1）点A到地面石尸的距离为2.6m；

(2)点A上升的高度为0.9m；

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关

键.

(1)作OGLAC于点G,由题意可知。A==3m,Z4OG=30°,在Rt^AOG中，应用特殊

2

角三角函数值求0G即可；

(2)记OG交AG于点”，由题意推出/。4"=37°,在Rt..O41H中，求4〃，在Rt^AOG中求

AG,则点A上升的高度可解；

【小问1详解】

作OGLAC于点G(图1),

图1

;。为AB的中点，AB=6,

OA=—AB=3m

2

•/ZOGP=ZGPD=ZPDO=90°,

ZDOG=90°

•/ZAOD=120°,

：.NAOG=30。，

在Rt^AOG中，

OG=Q4cos30°x2.6m

・••点A到地面EF的距离为2.6m.

【小问2详解】

记OG交AC于点〃(图2),

AC//AG,

NA1Ho=90°

•1,ZAO。=143。，

N'HO=53°,

/.NOAH=37°

在Rt“。41H中，

AH=OAsinZ^OH=3cos37°«2.4m,

在Rt^AOG中，

AG=OAsinZAOG=3sin30°«1.5m

点A上升的高度为AH—AG=2.4-1.5=0.9m.

21.如图，已知矩形ABC。，E为3c边上的一点，将A3石沿AE翻折至芯，延长AF交3c于点

G,连接OG.若CG=5,cosZADG=—.

BE4

(2)当一=—时，求证：G是EC的中点.

EG5

【答案】(1)12(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据平行线的性质得出NCGD=ZADG，根据三角函数定义得出

55

cosZADG=cosZCGD=—=——=一，求出OG=13,最后根据勾股定理求出结果即可；

DGDG13

BEEF4

(2)根据已知条件得出一=——=—，设BE=所=4x,EG=5%，则5G=BE+EG=4x+5x=9%,

EGEG5

FGEF

证明GEFs一GAB,得出——=——，求出石尸=4,得出£G=5=CG,即可证明结论.

BGAB

【小问1详解】

解：•••四边形ABCD是矩形，

：.AD//BC,AB=CD,ZBCD=ZABC=ZADC=ZBAD=90°,

ZCGD^ZADG,

rr55

在RtA^CGZ)中，cosZADG=cosZCGD=——=——=一，

DGDG13

DG=13,

AB=CD=A/DG2-CG2=12-

【小问2详解】

证明：由折叠可知5E=跖，ZB=ZAFE=90°,

,BEEF4

,•而一而―

设BE=EF=4x,EG=5x,则56=5石+石6=4%+5%=9%,

FG=y/EC^-EF2=3x，

,；ZEFG=NB=90°,ZEGF=ZAGB,

：..GEFsGAB,

.FGEF

"BG-AB)

3xEF

即pn——=——，

9x12

解得EF=4,

x=l

：.EG=5=CG,

；.G是EC的中点.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理,

平行线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质.

22.手机已经成为现代人生活的重要组成部分，小明想重新选择一个合适的话费套餐.

素材1：小明通过收集并整理自己近六个月的话费账单得到如下数据：

月份123456

通话时长（分钟）123150130155120160

流量（GB）151417201816

素材2：小明通过咨询话费套餐得到如下数据:

套餐内容超出套餐资费

套餐名称

月租费免费通话时间免费上网流量套餐外通话套餐外流量

A58元200分钟10GB

0.1兀/分钟3元/GB

B88元300分钟3OGB

套餐说明：①月手机资费=月租费+套餐外通话费+套餐外流量费；

②套餐外通话不足1分钟时按1分钟算；套餐外流量不足1G时按1G算.

请根据以上信息，解决下列问题：

（1）小明每月的通话时长与月手机资费有关系吗？为什么？

（2）小明分析账单发现自己每月上网流量波动较大，设每月上网流量为％GB（10<x<20,x为整

数），每月手机资费为丁元，分别写出套餐A、套餐5中丁与％之间的关系式；

（3）从节省费用的角度考虑，小明应选择哪个套餐？

【答案】（1）没有关系，见解析

（2）A：%=3x+28（10<x<20）,B'.yB-88

（3）套餐A

【解析】

【分析】本题考查了一次函数的应用，能读懂数表弄清数量关系是解题关键.

（1）利用表格数据可求解；

（2）套餐A的费用=月租费+套餐外流量费，套餐5的费用=月租费，即可求解；

（3）由自变量的范围，可求套餐A的费用范围，即可求解.

【小问1详解】

解：没有关系，理由如下：

1•小明每月的通话时间<200分钟，

小明每月的通话时间都属于免费通话时间；

【小问2详解】

套餐A：yA=58+3(x-10)=3x+28(10<x<20),

套餐4：%=88；

【小问3详解】

10<x<20,

58<_yA<88,

所以选择套餐A.

23.在二次函数y=-必+ax+l中工0),

(1)当a=2时，

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②当04尤<3时，求V的取值范围；

(2)若A(a—21)，B(a,c)两点都在这个二次函数的图象上，且匕<c,求。的取值范围.

【答案】⑴①(1,2)；②—

(2)a<2且awO

【解析】

【分析】本题考查了二次函数图像的知识点.

(1)将。代入即可求出顶点，再根据二次函数的特点即可求解；

(2)求出二次函数的对称轴，再分情况讨论即可.

【小问1详解】

解：①把。=2代入得,=—尤2+2%+1=—(%—1『+2,

..・抛物线顶点坐标为(1,2)；

②一当owxwi时，y随％的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，

...当x=l时，y有最大值2,

当％=0时，y=1；当%=3时，y=-2,

，当04x<3时，—2WyW2；

【小问2详解】

抛物线的对称轴为直线x=-a,

2

①当a—即0WaW4时，点3到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离

2

11

ci—Q<—a-(a-2),解得a<2,

22

.\0<a<2,

②当一a>a,即av0时，点3到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离,

2

11

一a—Qv—a--2）成立,

22

a<0,

③对称轴在点A左侧不合题意，舍去

综上所述，〃<2且〃。0.

24.如果过三角形一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中的一个三角形与原三角形相似，且该三

角形与原三角形的相似比为1：V2，则原三角形叫和谐三角形.

A

图1图2

(1)如图1,已知BD是7ABe中AC边上的中线,BC=2®，AC=4,求证：VA3C是和谐三角

形;

(2)如图2,在5X5的方格纸中，A、B在格点上，请画出一个符合条件的和谐VABC；

(3)如图3,在（1）的条件下，作血的外接圆。。，后是1。上一点，且满足人石=AB，连接

DE,

①设BD=x,BE=y,求y关于尤的函数表达式;

②当AE〃3C时，求O的半径.

【答案】（1）见解析（2）见解析

⑶=叵2②反而

-2