新高考数学一轮复习讲义：不等式恒成立问题（原卷版+解析）

能力拓展07不等式恒成立问题

【命题方向目录】

命题方向一：直接法

命题方向二：端点恒成立

命题方向三：端点不成立

命题方向四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

命题方向五：洛必达法则

命题方向六：同构法

命题方向七：必要性探路

命题方向八：机以，加应函数问题

命题方向九：构造函数技巧

命题方向十：双变量最值问题

【方法技巧与总结】

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数

后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论

法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：

⑴VxeD>1nbi;

⑵VxeD-m>/(x)<^>m>/(x)max；

(3)3xeD，机1mx；

(4)

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数>=x6\^a,b\,y=g(x),xe[c,i7].

(1)若％e[a,可,Vx2e[c,d],有〃％)<g(x2)成立，则/(尤)一<g⑴―；

⑵若%小,可,3X2e[c,d],有/⑺<g(%)成立，则〃尤Lx〈gOOmax；

(3)若叫却e[c,d],有g(%)成立，则“41ta<8⑸皿；

(4)若V占训«c,d],有〃匕)=g®)成立,则〃尤)的值域是g(x)的值域的子集.

4、法则1若函数/(%)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=O及limg(x)=O；

x—>a'/x—>a'7

(2)在点］的去心邻域(〃-£,〃)口(〃,〃+£)内，/(%)与g(%)可导且g，(%)wO；

那么lim里=1而4?=/.

ig(x)ig'⑴

法则2若函数/(%)和g(x)满足下列条件：(1)哽/(力=0及］吧g(x)=O；

(2)3A>0,/(兀)和g(x)在(-oo,A)与(A,+8)上可导，且g〈x)wO;

(3)hm—¥^-=lf

那么1面上=1而34=/.

xf°°g⑴

法则3若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=8及limg(x)=8；

X->a\/X—>47'/

(2)在点a的去心邻域(〃-£,〃)口(〃,〃+£)内，f(x)与g(x)可导且g'(x)wO;

那么lim里=lim乃"=/.

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

(1)将上面公式中的XfQ,%ffYO,Xf/,%洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理9,巴,O-oo，f,00°,0°,8-00型.

000

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足9,艺，0.8，f,8°,0°,8-8型定式，否则

000,

滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应

从另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

lim4&=lim4W=lim/J?,如满足条件，可继续使用洛必达法则.

ig(X)…g'(X)*f"g〃(X)

【典例例题】

命题方向一：直接法

例L(2023・辽宁•高三本溪高中校联考阶段练习)设。＞0且awl,函数〃力=优+凉,

g(x)=lnx+--

x

⑴证明：g(九)N。恒成立;

⑵若对Vx«F,0),恒成立，求。的取值范围.

例2.(2023•江苏镇江•高三江苏省镇江中学校考阶段练习)已知函数

f(x)=-x2+-x+2(m>0),g(x)=1-3/+1,若不等式g(x)>2/(x)-f一11对一切xeR恒成立，则正整数

机的最大值为()

A.5B.6C.7D.8

命题方向二：端点恒成立

例3.(2023・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数

/(%)=；sin%-xcosx0<x<^,g(x)-/(x)+^-sinx-ar3

⑴求“X)在X、处的切线方程；

(2)若任意尤e[0,y),不等式g(x)V0恒成立，求实数”的取值范围.

例4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=gx3-2x+2sin尤+1,g(x)=e[sinx+cosx+/-2x).

⑴求证：〃可＞0在工€[0,y)上恒成立；

⑵若关于x的不等式g(%)2⑺在xe[0,y)上恒成立，求实数a的取值范围.

例5.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e'-履2,其中％为实数，e为自然对数的底数.g(x)是

f(x)的导数.

(1)试讨论g(x)的极值点;

(2)①若4=1,证明：当x..O时，/(x)..x+l恒成立；

②当X..0时，/(尤)..2尤+1-sinx恒成立，求上的取值范围.

命题方向三：端点不成立

例6.(2023•浙江舟山•舟山中学校考模拟预测)已知函数/(尤)="x-lnx-l.

⑴若〃尤)20恒成立，求。的最小值；

⑵求证：---Fx+ln.r-l>0；

x

(3)已知k(e~x+x2)Nx-xlnx恒成立,求％的取值范围.

例7.(2023•江苏南京•高二南京市中华中学校考期末)已知函数f(x)=lnx+lno+m-l)x+2(a>0).

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若不等式e>2N/(X)恒成立，求实数。的取值范围.

例8.(2023•江西・校联考模拟预测)己知函数〃无)=7-尤+1.

⑴求的单调区间；

(2)若对于任意的xe(0,"o),+：+恒成立，求实数。的最小值.

变式1.(2023•四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)已知函数/(x)=or-lnx,aeR.

(1)若a=L求函数〃尤)的最小值及取得最小值时的x值；

e

⑵若函数了(了)4诧工—(a+l)lnx对xe(0,+oo)恒成立，求实数a的取值范围.

命题方向四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

/、1Z、/'X+11

例9,(2023•河南郑州•统考模拟预测)函数〃％)=2依一21n%—1(Q£R),且(％)=可二一记^・

⑴讨论“X)的极值的个数；

⑵若"X)•g⑺>0在xe(1,内)上恒成立，求a的取值范围.

例10.(2023・甘肃张掖•高台县第一中学校考模拟预测)已知函数〃尤)=止-e^+l,尸(x)为〃尤)的导函

数.

⑴讨论/(X)的极值；

⑵当x>T时，f(x)>-xer,求人的取值范围.

命题方向五：洛必达法则

例11.已知函数/(%)=。111%+法(436火)在工=」处取得极值，且曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的

2

切线与直线X—y+l=o垂直.

(1)求实数的值；

rri

(2)若X/X£[l,+8),不等式/(%)〈(加—2)%——恒成立，求实数加的取值范围.

X

X

例12.设函数=1—.当%20时，/(%)<-----，求〃的取值范围.

ax+1

命题方向六：同构法

例13.(2023•全国•高三专题练习)函数/(x)=e*一半+1(々*0),函数g(x)=xlnx,若1(x)>g(x)对

KX

Vxw(O,y)恒成立，则实数上的取值范围为()

A.[,+a]B.C.[1,+co)D.[e,+8)

y+In/777Iny

例14.(2。23•江西南昌•高三统考阶段练习)若关于x的不等式飞一-->0对Vxe(O,l)恒成立，则实

数。的取值范围为()

例15.(2023・重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习)已知函数〃x)=e',g(x)=：.

(1)若/z(x)=/(x)-摩⑴(机eR),判断的零点个数；

(2)当x>0时，不等式朝(司2京土+11^+2恒成立,

求实数。的取值范围.

命题方向七：必要性探路

例16.(2023•江西九江•统考三模)己知函数/(x)=£1(aeR)

(1)讨论兀0的单调性：

(2)当a=-2时，若x20,/(%)<ln(l+2x)-zm:-l,求实数相的取值范围.

例17.(2023・上海普陀•曹杨二中校考模拟预测)已知函数/(x)=e*,g(x)=sinx+cosx.

⑴求证：/(x)>x+l；

(2)若x>-受试比较与g(x)的大小；

(3)若尤NO,问〃x)+g(x)—2—办20(aeR)是否恒成立？若恒成立，求。的取值范围；若不恒成立，请

说明理由.

例18.(2023•福建福州•高三校考期中)已知函数/(x)=e*,g(x)=sinx+cosx.

⑴若2依+1恒成立，直接写出。的值，并证明该不等式；

(2)证明：当时,/(x)>g(x)；

4

(3)当龙〉-:时，不等式〃x)+g(x)-2-ox20(aeR)恒成立，求。的取值集合.

命题方向八：max,加〃函数问题

例19.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=(xT)eX-gx2+l,g(x)=sinx-ox,其中aeR.

(1)证明：当x20时，/(x)>0；当x<0时，/U)<0；

⑵用max{m,“}表示中的最大值，记"x)=max{/(x),g(x)}.是否存在实数a,对任意的xeR,

尸⑶20恒成立.若存在，求出“，若不存在，请说明理由.

例20.(2023・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=(尤-De,-gd+l,g(x)=sinx-ax,其中aeR.

(1)证明：当x..O时,/(%)..0；当x<0时，/(%)<0；

(2)用max{〃z,"}表示机，〃中的最大值，记尸(尤)=max"(x),g(x)}.是否存在实数访对任意的xeR,

尸(x)..O恒成立.若存在，求出°；若不存在，请说明理由.

命题方向九：构造函数技巧

例21.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=Anrln尤-1,〃冲0.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若g(x)=d-：x,且关于x的不等式/■(x)<g(x)在(0,+动上恒成立，其中e是自然对数的底数，求

实数机的取值范围.

例22.(2023・湖北•统考模拟预测)已知函数〃x)=xe-Inx-1.

⑴求函数〃尤)在x=l处的切线方程；

(2)若不等式〃x)>ax(aeR)恒成立，求实数a的取值范围.

命题方向十：双变量最值问题

例23.(2023・江苏•统考模拟预测)已知/(x)=m+〃，g(x)=lnx,对于Mxe(0,+oo),〃x)2g(x)恒成

立，则”7+2”的最小值为()

A.—In2B.—1C.—In4D.—2

例24.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=lnx,g(x)=ax2+bx+l,其中a,6cR.

(1)当。=0时，直线y=g(无)与函数了=/(无)的图象相切，求6的值；

b

(2)当。片0时，若对任意x>0,都有/(无)4g(x)恒成立，求一的最小值.

a

【过关测试】

1.(2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)己知函数_f(x)=lnx-x2-依，给出以下三个结

论：

①如果〃力=0有两个不同的根，则a<T;

②当时，/(x)WO恒成立；

③如果/（%）+%2=0有两个根X],巧，则%尤2＜：.

其中正确的结论个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.（2023・四川成都•石室中学校考模拟预测）对V尤e0,1,不等式（6-1）。110+%）2定,-1恒成立，则实数

a的取值范围是（）

A.—,VeB.[l,e]C.[1,八]D.—

3.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第六中学校校考三模）设实数。＞0,对任意的不等式

1丫12ax

e2©一UnBN'-Je恒成立，则实数。的取值范围是（）

2aaax

4.（2023•江西•江西师大附中校考三模）若不等式e*+x（alnx-or+e2"0在x＞0上恒成立，则实数。的取

值范围是（）

5.（2023•全国•模拟预测）已知函数〃x）=（/+l）ex,若对任意0＜%＜玉，（仁）1＜九卜为一e*户亘

成立，则实数2的取值范围为（）

A.（-oo,l]B.[l,+oo）

C.（-（x）,3]D.：+°°）

6.（2023・全国•模拟预测）若不等式元3+（e—2%）f+x+exze（lnx+l）对W%£（0,+o））恒成立，那么用的最

大整数值为（）

A.-1B.1C.2D.3

9.（2023・河南•校联考模拟预测）若Vx£（0,+＜x））,ln2x-g-Win”恒成立，则4的最小值为（）

12

A.-B.-C.eD.e2

ee

10.（多选题）（2023•湖南长沙•周南中学校考三模）若"x）=〃e，+ln名-2（，＞0）,若〃%）＞0恒成

立，则，的值不可以是（）

A.eB.1C.2eD.2

11.（多选题）（2023•山西•校联考模拟预测）已知（e，-办）（尤2-ox+l”0,贝壮的可能取值有（）

兀

A.-eB.In6C./D.-

2

12.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）若不等式1皿+6-改120恒成立，其中e为自然对数的底数，

则2的值可能为（）

a

A.e-1B.e-2C.-e-1D.-e-2

13.（多选题）（2023•全国•高三专题练习）已知尤>0时，（e，-ax-b-c）（G+6-lnx）Z（）,贝I」（）

A.当c<2时，a+lna>cB.当c<2时，〃+lnq>2c-3

C.当c>3时，a-^-lna<cD.当c>3时，a+ln〃<2c-3

14.（多选题）（2023•吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）已知y=ln2x,x+y=2,则（）

A.e%+ey>2eB.lnx+ey>e

C.%lnx+ylny>0D.ylnx-xlny<x-y

15.（多选题）（2023•重庆•校联考模拟预测）若实数x,y^41nx+21n（2y）>x2+8y-4,则（）

A.xy=B.x+y=A/2C.x+2y=：+V^D.x2y=1

16.（2023广东佛山•高三佛山市第四中学校考开学考试）已知函数〃x）=2ae'-lnx+ln2a,对任意的正

实数x都有20恒成立，则。的取值范围是.

17.（2023・陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）已知f（x）是定义在（0,+8）上的可导函数，若

矿⑺一〃x）=F，/（1）=-j,且时，/（xe，）W〃x+lnx-a）恒成立，则"的取值范围是

1Y

18.（2023.河南郑州.统考模拟预测）已知函数〃力=—+——+1,g（x）=（l+m）ex（?neR）,若

XX

〃尤）4g（x）恒成立，则实数机的取值范围为.

19.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

20.利用分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

21.根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造

的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意

恒成立与有解问题的区别.

22.（2023•全国•高三专题练习）若不等式“six/-1恒成立，则参数a的取值范围为

23.(2023•全国•高三专题练习)若xNO,不等式e*+eT-履-220恒成立，则参数％的取值范围为

24.(2023•全国•高三专题练习)若对于x21,不等式a(x-l)-lnx20恒成立，则参数。的取值范围为

25.(2023•全国•高三专题练习)设实数相＞0,若对Vx«0,E),不等式e"'。-一^20恒成立，则相的取值

m

范围为.

26.(2023•辽宁沈阳•高三校联考学业考试)已知实数a＞0,函数/(x)=l+ln(依)，g(x)=er-a.

(1)若不等式恒成立，求。的取值范围；

⑵若不等式〃x)Wx-g(x)恒成立，求a的取值范围.

27.(2023•浙江宁波•高三期末)已知函数/(尤)=-Zinx,k>0.

⑴当左=3时,求曲线＞=/(尤)在点(1"⑴)处的切线方程;

⑵若对Vxe(O,l),/(x)＜0恒成立，求k的取值范围；

心“丫2―1

(3)求证：对Vxe(0,l),不等式二」恒成立.

x+1xlnx

28.(2023.全国•高三专题练习)已知〃x)=x+根，g(x)=ln(x+l).

(1)若/(x)2g⑺恒成立，求利的取值范围；

⑵若不等式ae'-lna+l)+lna-120在区间(Te)上恒成立，求a的取值范围.

29.(2023•江苏泰州•高三江苏省泰兴中学校联考阶段练习)己知函数/(x)=e，-⑪，其中。＞0.

⑴若对一切xeR,/(幻21恒成立，求a的值；

⑵在函数Ax)的图像上取定点4(占,/(入)),以元2，/。2))(者＜尤2),记直线的斜率为3证明：存在

为«占,々)，使/'(%)=%恒成立.

30.(2023・陕西渭南•高三校考阶段练习)已知函数"力=瞪-2如-九

(1)当xNO时，恒成立，求机的取值范围；

⑵若曲线g(x)=/(x)+2〃zx+根的一条切线为丫=2府+加，证明：当.>b时，〃")恒成

a-b

立.

31.(2023•山西晋中•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=Jd,g(x)=elnx.

⑴设函数尸(x)=/(x)—g(x),求P(x)的单调区间;

(2)若存在常数左，加,使得/(x)2Ax+〃z,对xeR恒成立，且g(x)4履+〃z,对xw(0,+<»)恒成立，则称

直线尸区+”为函数〃力与g(x)的“分界线”,试问:〃x)与g(x)是否存在“分界线”？若存在，求出“分

界线”的方程；若不存在，请说明理由.

32.(2023•重庆九龙坡•重庆市育才中学校考模拟预测)已知函数〃x)=±±+(b-2)尤+2.

a

(1)当。=6=1时，求曲线>=/(尤)在(0"(0))处的切线方程；

⑵当a=2时，/(x)N3恒成立，求6的值；

(3)当a=e2,x>2时，/。)>61n[a(x-l)]恒成立，直接写出b的取值范围.

33.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=£」(e为自然对数的底数).

ex+l

(1)若不等式/(x)>3恒成立，求实数X的取值范围；

e+1

⑵若不等式/(X)<以+g—aln2在xe(In2,+8)上恒成立，求实数〃的取值范围.

34.(2023•黑龙江大庆•高三铁人中学校考开学考试)己知/(x)=ei-x.

(1)求证：对于X/xcR,7(%)20恒成立；

⑵若对于Vxw(O,y),有〃外泊(尤2一尤_尤111*恒成立，求实数a的取值范围.

35.(2023•浙江舟山・高三舟山中学校考阶段练习)己知函数/(了户％2-2龙+alnx(aeR)

(1)当a>0时，求函数〃尤)的单调区间；

(2)若函数有两个极值点%,%(%<%)，不等式/(不)2侬2恒成立，求实数小的取值范围;

(3)若〃x)Wxei-2在。什⑹恒成立，求正实数。的取值范围.

能力拓展07不等式恒成立问题

【命题方向目录】

命题方向一：直接法

命题方向二：端点恒成立

命题方向三：端点不成立

命题方向四：分离参数之全分离，半分离，换元分离

命题方向五：洛必达法则

命题方向六：同构法

命题方向七：必要性探路

命题方向八：机以，加沅函数问题

命题方向九：构造函数技巧

命题方向十：双变量最值问题

【方法技巧与总结】

1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：

（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；

（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数

后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论

法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1）VxeD>w</（x）<^m</（x）niin;

⑵VxeD-

（3）尤）o机1nM；

（4）3xeD，m>f{x）<^m>f{x}^.

3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数）=xe[a,Z>],y=g（x），xe.

⑴若％e[a,6],Vx2e[c,d],有占)<g(%)成立，则了⑴1mx<g(x)1nhi；

⑵若可,3X2e[c,d],有"xj<g(%)成立，则“对111ax<g(x)1n；

⑶若叫e[a,6],3X2G[C,<7],有/⑷<g(x?)成立，则〃％1Vg(尤)一；

(4)若V占e[a,6]，即«c,d]，有）=g（%）成立，则〃尤）的值域是g（x）的值域的子集.

4、法则1若函数/（尤）和g（x）满足下列条件:

(1)lim/(x)=O及limg(x)=O；

x—>a'7x—'/

(2)在点1的去心邻域(Q—£,Q)U(Q,Q+£)内，/(%)与g(%)可导且量(%)工0；

C)r广(x)1

(3)lim-=19

ig'(x)

那么lim学=lim34=/.

xeg(x)xf"g'(x)

法则2若函数/(无)和g(x)满足下列条件：(1)吧〃力=0及则g(x)=O；

(2)3A>0,/(彳)和8(尤)在(-8,4)与(4+00)上可导，且/(x)20；

(3)lim--——=19

那么lim夕=lim34=/.

xf°°g⑴

法则3若函数/(x)和g(x)满足下列条件：

(1)lim/(x)=co^limg(x)=oo.

x->a'/x—>a'/

(2)在点Q的去心邻域(〃-£,〃)口(〃,〃+£)内，/(X)与g(%)可导且g<X)W0；

那么lim里=lim△4=/.

注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：

(1)将上面公式中的X->CL9X->H~OO,X->_CO，1_*〃+，1_>/洛必达法则也成立.

(2)洛必达法则可处理9,艺，0.8，/，0n。，0%00-00型.

0008U

(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足°,0.OO，/，00°,0°,8-8型定式，否则

滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应

从另外途径求极限.

(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.

iim44=iim£H=lim£H,如满足条件，可继续使用洛必达法则.

ig(x)x->ag(x)Xfog〃(x)

【典例例题】

命题方向一：直接法

例1.(2023•辽宁•高三本溪高中校联考阶段练习)设a>0且a/1,函数〃耳=4+/，

(g(x)=lnx+--

⑴证明：g(x)20恒成立；

⑵若对Vxe(—,0),恒成立，求a的取值范围.

【解析】(1)证明：g(%)的定义域为(0,+8)，且g'(%)=?,

当g'(x)>0时，x>l,g'(x)<0时，0cx<1,

所以g(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间。,+⑹内单调递增.

故g(%)的最小值为g。)=0,因此g(x)20恒成立.

22

(2)①当0<1<1时，取X<logq—,贝！)/(%)>优)一，即Ovavl不符合题意;

aa

22

②当，>2时，取log.一<%<0,则"X)>优>—,即，>2不符合题意；

aa

12i即g+14log(2一a，”)对Vxe(，》,0)恒成立.

③当1<〃K2时，由优+所以凉+1<2_优+1，a

令/=优+i,0<t<a,且尤=log”(-1,所以logar+logfl(2-/)-logflflog“(2—f)20对X/fe(0,a)恒成立.

设/z(r)=log,J+log"(2—r)—log/log.(2T),0<t<a,

l一]og”(2T)।log/T

则〃(f)=

tina(2-，)lna，

lTog“(2一*log“I

设加(f)=

tina(2-f)lna，

I2-t

-------FInf2—1\—Inci-------bln%—Inci

贝Umf(t}=--------------+———2----------，

/([no)(2-。(ina)

由(1)知g—+ln?-ln2>0,

2

2-t

以----FIn/一InaNIn2—Ina20,

2-t

同理，由g20可推出----i-ln(2-r)-lna>0,

所以加⑴20,即〃⑺在re(0,a)上单调递增,

又〃(1)=0,

所以力«)在(0,1)内单调递减，在(1,。)内单调递增,

故咐2%(1)=0成立.

综上4的取值范围为。,2].

例2.(2023•江苏镇江•高三江苏省镇江中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=-x2+—x+2(m>0),g(x)=e"-3x2+1,若不等式g(x)>2/(x)-x2-11对一切xeR恒成立，贝！J正整数

加的最大值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】由题意不等式g(x)>2/(x)-x2-ll对一切xeR恒成立，

即e*-如+8>0,(加>0)对一切xeR恒成立，

令/?(%)=e"-mx+8,则/i'(x)=ex-m,

当JTvIn根时，〃(%)<0；当x>ln机时，/⑶〉0,

即//(%)=e"-如+8在(-co,Inm)上单调递减，在(Inm,+co)上单调递增,

故'(1需=^(lnm)=m-mlnm+8,则m—znln机+8>0需恒成立;

令(p(m)=m—rrAnm+8,/.——Inm,

当0<m<1时，j5)>0,当%>1时，j%)vo,

则夕(刈在(0,1)上单调递增,在(1,内)上单调递减，

且"(根)max=。(1)=9>0,当机>0,w。时,(p(m)=m—mlnm+88>0,

取m=e?e(7,8)，e(e?)=8-e2>0,(2.7<e<2.8,/.7<2.72<e2<2,82<8),

取相=8e(8)=8(2-In8)<0,

即夕O)在(1,+00)存在唯一的零点外,且%e(7,8),

故根e(O,%)时，<p(m)>0,时，(p(jn)<0,

故正整数机的最大值为7,

故选:C

命题方向二：端点恒成立

例3.(2023・四川绵阳•四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设函数

/(%)=gsinx—xcosx0<x<^,g(x)-/(x)+-^-sinx-ar3.

⑴求“X)在X=£处的切线方程;

(2)若任意尤目0,y)，不等式g(x)VO恒成立，求实数〃的取值范围.

【解析】(1)丈=日时，/[7)=又/'(x)=^sinx-〈cos^71兀

则上=/'

切线方程为：即丁=色％+27r

22<2)24

(2)g(A:)=sinx-xcosx-ax),

贝ijg'(九)=x(sinx-3ox),又令A(x)=sinx-3ax,/zr(x)=co&x-3a,

①当3aW-l,即aV-g时，"(x)20恒成立，，从力在区间［0,+e)上单调递增，

.•"("2/?(0)=0,g，(x"0,g(尤)在区间［0,+动上单调递增，

Ag(x)>g(O)=O(不合题意)；

②当3a21即aNg时，"(x)V0,〃(x)在区间［0,+e)上单调递减，

.•./7(x)vM0)=0,g〈x)V0,g(x)在区间［0,+e)上单调递减，

g(x)4g(O)=O(符合题意)；

③当一l<3a<l,即一时，由//(0)=1—3a>0,//(兀)=—1—3a<0,

rr

/.3x0G(0,7l),使“(无0)=0,且%£(0,%0)时，/z(x)>0,/z(x)>/z(o)=0,g(x)>0,

・・・g(x)在］£(0,尤0)上单调递增，・・・ga)>g(O)=O(不符合题意);

综上，〃的取值范围是〃《

例4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=§x3—2x+2sinx+l,g(x)=ex(sinx+cosx+x2-2x).

⑴求证：〃力>。在工€［0,+(»)上恒成立；

⑵若关于尤的不等式g(x"力'(x)在xe［0,4w)上恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(1)证明：因为/''("二/一2+2cosx,

设丸(力=彳2-2+2cosx,贝I］〃(x)=2x-2sinx,

令9(x)=2x-2sinx,贝！］^(x)=2-2cosx>0

所以°(x)在［0,+功上单调递增,0(x)箜0(0)=0,即为'(x)20

所以可力在［0,+8)上单调递增，

所以为(x)2Mo)=0,即尸(£)20,所以〃x)在［0,+动上单调递增，

所以/。)2/(0)=1>0

⑵当aMl时,g(x)-qf(x)>g(x)-f(x),

设户(x)=g(x)-『(x),即F(x)=ex(sinx+cosx+x2-2xj-2%+2sinx+l

由(1)可得％2_2+2COS%之。

所以F(元)=(2cosx+Y-2)(e，-l”0,从而产(x)在［0,+动上单调递增，F(x)>F(0)=0,

于是当任意的实数8⑺上^⑺在m+动上恒成立；

当时,g(x)-。'(力<8(力一/(力在［。,+8)上恒成立，

因为g(x)—/(x)N。于是g(x)-4(x)<0,故。>1不符合题意.

综上，实数”的取值范围为

例5.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e，-履2,其中人为实数，e为自然对数的底数.g(x)是

/(x)的导数.

(1)试讨论g(x)的极值点；

(2)①若A=证明：当X..0时，/(x)..x+l恒成立；

②当无..0时，/(%)..2%+l—sin%恒成立，求左的取值范围.

【解析】(1)g(x)=f\x)=ex-2kx,贝lJg，(x)=e"—23

当人,0时，g0)..0,「.ga)单调递增，无极值点，

当左>0时，令g'(%)=0,贝ljJT=ln2k,

令g<x)>0,贝！J%>加2左，，g(%)单调递增，

令gr(x)<0,贝!J冗<ln2k,「.g(%)单调递减,

g(%)的极小值点为ln2k,无极大值点，

综上：当鼠。时，g(x)无极值点，

当左>0时，g(%)的极小值点为历2左，无极大值点.

(2)①证明：当"=g时，设G(x)=/-gx2-x-l(x..O),

G\x)=ex-x-1,

则G〃(x)=e，T.O,故G(x)在［0,+功上单调递增,

故当无..0时，G(x)..G(0)=0,故G(x)在［0,+8)上单调递增，

故当X..0时，G(x)..G(0)=0,

故当x..O时，f(x)..x+l恒成立.

②设/z(x)=ex-kx1-2x-1+sinx(x..0),

则求孙且〃(0)=0,

贝ljh\x)=ex-2kx-2+cosx(x..0),且&'(0)=0,

/z〃(x)="—2%—sinx,力〃(0)=l-2kf

/〃(x)="-cos%..0,贝!在［0,+8)上单调递增，

当鼠;时，h"(.O)=l-2k..O,由于〃'(x)在［0,+8)上单调递增，

则当X..0时,〃'(力魁'(0)0,则〃(力在［0,+动上单调递增，

故〃(x)../0)=0,则〃(x)在[0,+8)上单调递增,

故〃(尤)..〃(0)=。，符合题意，

当％〉工时，〃”(0)=1—24<0,

2

利用(1)中已证结论可得

1+2t

由于〃'(x)在[0,+8)上单调递增，〃”(1+2k)=e-2^-sin(l+2左)..1+(1+2%)-2左一1>0,

故必然存在％e(0,1+2k),使得xe(0,飞)时,h"(O)<0,

则Mx)在(0,%)上单调递减，

故当工€(0,%)时，〃(x)<〃(0)=0,

则MX)在(0,%)上单调递减，

则当xeQ%)时，h(x)<h(O)=0,

综上，%的取值范围为(-8,1].

命题方向三：端点不成立

例6.(2023・浙江舟山・舟山中学校考模拟预测)已知函数/(》)=依-lnx-1.

⑴若〃x)20恒成立，求。的最小值；

(2)求证：-——Fx+lnx-1>0；

X

⑶已知k(e~x+x2)>x-x\nx恒成立,求人的取值范围.

【解析】⑴八幻20等价于。2电±土令g(》)=21(尤>0),g'(x)=¥，当xe(0,l)时，g'(x)>0,当

XXX

%£(1,+8)时，g(工)<0.则g(%)在(0,1)上单调递增，在(l,+°o)上单调递减，.•.g(%)max=g6=l,则“21,

的最小值为1.

(2)证明：当。=1时，由(1)得了之lnx+1,即，.令^—=t,贝U

x

一x—Inx=In/.—之一x—Inx+1,艮|J----Fx+lnx—1^0.

xx

e~x11

%l-]nx-------Fx+lnx-1

(3)、左(""+兀2)2％一%11%恒成立，即%—+x)21—lnx恒成立，k>~=1一一-——--------,由

1Xee

-----FX-----FX

XX

_x-----Fx+Inx-1

(2)知J+x+lnx-120恒成立，1一二_；-------<1,：.k>l,故左的取值范围为口,+8).

xe,

-----FX

X

例7.(2023•江苏南京•高二南京市中华中学校考期末)已知函数f(x)=lnx+lna+m-l)x+2(a>0).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若不等式e->“x)恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(1)/⑴的定义域为(0,入)，f\x)=-+a-\,

X

当时，f\x)>0,/(九)在(0,+8)上为增函数；

当Ovavl时，由/'(%)>0,得0<x<----,由/'(X)<0,得x>----,

1—a1—a

所以/(X)在(0,一一)上为减函数，在(J—,+8)上为增函数.

1-a1—a

综上所述：当时，/(X)在(0,+8)上为增函数；当Ovavl时，/(九)在(0,一一)上为减函数，在

1-a

(J—,+8)上为增函数.

1-a

(2)e"-2>/(x)oe无一2>\nx+\na+(a-l)x+2oex-2+x-2>ln(ax)+ax

=Inex-2+ex-2>ln(ax)+ax,

设g(x)=ln%+%,则原不等式恒成立等价于g(ef>g(ax)在(0,+s)上恒成立,

gXx)=-+l>o,g(无)在(0,+8)上为增函数，

X

则g(e"-2)之g(ax)在(0,+oo)上恒成立,等价于ex-2>ax在(。,+8)上恒成立,

e“一2

等价于。wJ在(0,E)上恒成立

X

人7/、e>2exx-e%-2ex(x-1)

令/z(x)=---(%>0),h(x)=----------=---------

xxx

令〃(%)<0,得。<尤<1,令/(x)>0,得了>1,

所以久划在(0,1)上为减函数，在(1,y)上为增函数,

所以为。)min=W)=L故。<”J.

ee

例8.(2023・江西•校联考模拟预测)已知函数/(%)=刀-％+1.

⑴求了⑴的单调区间；

(2)若对于任意的左«0,y)，/(x)+T+xWae'恒成立，求实数〃的最小值.

【解析】(