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文档简介
重庆市第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合4={刈。。2(2万-1)<1},B={%||<2X<2},则4UB=()
A.[x|<x<1]B.[x\x<|]
C.[x|-1<x<1]D,{x|-1<x<1}
2.若幕函数/(%)=(苏一爪-5)炉一恒在(0,+8)上单调递减,则实数小的值为()
A.-3B.-2C.2D.3
3.子曰:“工欲善其事,必先利其器.”这句名言最早出自于《论语・卫灵公》此名言中的“善其事”是
“利其器”的()
A,充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知定义在R上的函数人%)满足/(%)—2/(—x)=e5则曲线y=/(久)在点(0)(0))处的切线斜率为()
11
A.-1B.—C.-D.1
5.已知函数y=f(%)的部分图象如图所示,则/(%)的解析式可能为()
3cos九汽+1「(2X—1)%3「2X+lcosx
XxXX
A.2x+2-x2+2~C2+1D-2-1-
6.已知函数/(%)=sin%+%3—q%是定义在R上的增函数,则实数a的取值范围是()
A.(-00,1)B.(-ooj]C.(-00,2)D.(-00,2]
7.已知函数/(%)的定义域为R,且/(2%-1)的图象关于直线%=1对称,/(3%+2)是奇函数,则下列选项中
值一定为0的是()
A./g)B./(2024)C./(I)Dj(|)
8.若存在实数a,使得关于%的不等式+l)e%](a%-ln%)〈。在(0,+8)上恒成立,则实数m的取值
范围是()
第1页,共8页
A.:个^^3B.(1)C."I,Ix)D.(l1,1、)
二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.若正实数久,y满足2x+y=1,则下列说法正确的是()
A.孙有最大值为(B.1+2有最小值为6+4避
C.4x2+*有最小值为9D.x(y+1)有最大值为寺
10.已知函数/(x)=ln久-2T-1,则下列说法正确的是()
A"。)在区间(0,1)上单调递增
B/。。920242025)4-/(/0520252024)=2
C.若/(a)=^-bln2,a6(0,1),b6(0,+<»),则a-2&=l
D.函数/(幻有唯一零点
11.定义在(。,+8)上的可导函数/0)满足了「。)+2;^(久)=111%,若/(e)=0,则下列说法正确的是()
A.函数/(久)在X=e2处取得极大值
B.f(log3^>/(ZO^45)>/(|)
C.过原点可以作2条直线与曲线y=/(x)相切
D.若/(x)+|<e2x-nt在(0,+8)上恒成立,则实数ni的取值范围是(一8,2]
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.若函数f(%)=ex+2/(0)cosx,则尸(0)=.
13.已知某次数学期末试卷中有8道四选一的单选题,学生小万能完整做对其中4道题,在剩下的4道题中,
有3道题有思路,还有1道完全没有思路,有思路的题做对的概率为|,没有思路的题只能从4个选项中随机
选一个答案.若小万从这8个题中任选1题,则他做对的概率为.
14.已知函数/(x)=e*—2,g(x)=e2x—aex+a+24(a6R),用min{m,"}表示m,n中较小者,若函数九(x)
=min{f(x),g(X)}有三个零点,则实数a的取值范围是.
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知定义在(—1力)上的奇函数/⑴=Igf葺.
(1)求实数a,6的值:
(2)若f(x)在O,n)上的值域为(-1,+8),求实数小刀的值.
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16.(本小题12分)
甲、乙两名同学进行乒乓球比赛,规定:每一局比赛中获胜方记1分,失败方记0分,没有平局.首先获得
4分者获胜,比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是*
(1)求比赛结束时恰好打了5局的概率:
(2)若甲以2:1的比分领先时,记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求X的分布列及期望.
17.(本小题12分)
已知函数/'(x)=Klnx+ax+b在x=e-3时取得极值,且满足/(1)=1.
(1)求函数/(%)的解析式;
(2)若存在实数x>0,使得质>f(x+1)成立,求整数k的最小值.
18.(本小题12分)
已知椭圆:[+<=1的右焦点F与抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点重合.
qD
(1)求抛物线c的方程:
(2)已知P为抛物线C上一个动点,直线Ii:x=-1,12:x+y+3=o,求点P到直线Z/2的距离之和的最小
值;
(3)若点。是抛物线C上一点(不同于坐标原点。),/是A。。尸的内心,求“。F面积的取值范围.
19.(本小题12分)
如果函数?(久)的导数F'(x)=f(x),可记为两德三/式蹄懿若f(x)N0,则阕朗一弼购)-•颈的表
示曲线y=/(%),x=a,x=b以及久轴围成的曲边梯形”的面积(其中aVb).
(1)若F(%)=且F(l)=l,求F(%);
(2)当0<aV翔,证明:a-cosa<cosxdx;
iiin
(3)证明:1+'+§+•••+1>ln(7l+1)+2(n+l)(neN*).
第3页,共8页
参考答案
l.c
2.D
3.X
4.C
5.4
6.B
7.B
8.D
9.ABC
10.AC
11.AD
12.1
13.||或0.78125
14.(12,28)
15.解:(1)由于—l+b=0,故b=l,
/(x)=IgfW,由f(%)=lg?嗅为奇函数得
fC)+f⑴=]g/+igf^=i§aX)aTx)=0,
故里辞需=1,解得。=1或一K舍),
故。=b=1;
(2)/Q)=馆日>-1,故L,
又一1<x<1,
Q
解得一1<x<—,
故,rm=-l.,n=—9.
16.解:(1)第一种情况:比赛结束时恰好打了5局且甲获胜,
则概率为P1=Cig)3X《X弓=第;
第4页,共8页
第二种情况:比赛结束时恰好打了5局且乙获胜,
贝°概率为P2=Ci(l-1)3X(X(1-1)=2;
所以比赛结束时恰好打了5局的概率为尸=P1+P2=4+黑=券.
(2)•••甲队以2:1的比分领先,.•.甲队目前的战绩两胜一负,
接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛,
局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负,必须进行第四局才能结束比赛,
X的可能取值为2,3,4,
又P(X=2)=(|)2=小
P(X=3)=须|)©)(|)+C削尸=摄+/
P(X=4)=Cix(|)2x|=1,
随机变量X的分布列为:
X234
412
P
939
E(x)=2x1+3x|+4x|-^,即X的数学期望为京
17.解:⑴由题意知/(%)=+aX+b的定义域为(0,+8),/z(x)=Inx+1+a,
由于函数f(%)=x\nx+a%+b在x=e'时取得极值,且满足f(l)=1,
故1(?-3)=-3+1+a=0,且/(I)=a+b=1,
解得a=2,b=-1,则/(%)=In%+3,
经验证函数/(%)在%=?-3时取得极小值,适合题意
故/(%)=x\nx+2%—1;
(2)由题意存在实数久>0,使得质>/(%+1)成立,
即k>更+D1n(x+1)+2x+1恒成立
X
人,、(x+l)ln(x+1)+2%+1、八l,/、%—1—ln(x+1).、
令g(%)=-------------------,%>0,则1Th“(%)=-----------e(0,+oo),
令h(x)=x-l-ln(x+1),贝!=1—17=0在(。+8)上恒成立,
X~r1.,十人
故九(%)=x-l-ln(x+1)在(0+8)单调递增,
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又h(2)=l-ln3<0,/i(3)=2-ln4>0,
故存在唯一的x()e(2,3)使得无(久0)=0,即为-1=In。。+1),
则当0(尤<x()时,h(x)<0,即g'Q)<0,当x>久()时,h(x)>0,即g'(x)>0,
所以g(x)在(0,&)上单调递减,在(久°,+8)上单调递增,
故g(x)min=9(孙)=(工。+1"+1)+2益+1=(X。+1)(刈-1)+2益+1=祀+2,
第0%0
故k>Xo+2,结合xo6(2,3),得劭+26(4,5),故整数k的最小值为5.
18.解:(1)由题可知,椭圆右焦点坐标为(1,0),抛物线焦点坐标为§,0)
所以]=l=p=2,
所以抛物线方程为*=4%,
⑵
由题可知,。为抛物线准线,所以点P到A的距离等于点P到焦点(1,0)的距离小;
联立,+yX+3=o^y2+4y+12=°n(y+2)2+8=。,
显然无实数根,故直线%与抛物线相离,记点P到12的距离为42,
所以心+d2的最小值为焦点(1,0)到直线/2:x+y+3=。的距离为法中=2
⑶
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设点力(Xo,y。),已知点0(0,0),F(1,O)
所以ADOF的面积S,OOF=||yob
设△DOF的内切圆半径为r,
则有S,/0F=10F|r;S,/DF,DF|r;S,/0D=J。”,
所以S./”:S,/DF:S./OD:S.DOF=|0F|:|DF|:|0D|:(|0F|+\DF\+|0D|),
、\OF\11
S
所以SA/OF=\0F\+\DF\+\0D\ADOF=J就+羽+汽0+1+1X'IyoI,
因为点。是抛物线C上一点(不同于坐标原点。),
所以配=*,yo*o-
q
]
所以S,IOF=&+2二。+1+1X打01=搦+羽+苧+2X301,
__________2__________
经整理得:S“OF=Jy:+i6+|yol+岛,
构造函数/(%)=J/+16+%+%%>0),
1O
得广(%)=j;与-豆+L
1O
显然/'(%)=j+与-杀+1单调增,
令/⑺=在1_e+1=0,解得久=竽,
所以当xe(o,竽)时,f(X)<0,外均单调递减;
当xe(¥,+8)时,r(x)>0,/(X)单调递增;
所以/(%)?/(竽)=苧,
第7页,共8页
所以53=信€(0,中.
19.解:(1)因为得)'=%,所以设尸(x)=:+C,
又F⑴=1,代入上式可得F⑴=%1C=1,解得。=右1
所以F(%)=苧+2
(2)因为产(%)=fcosxdx=sinx+C,所以后cosxdx=sina—sin
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