新高考数学一轮复习讲义：立体几何（2022-2023年高考试题）（原卷版+解析）

第6讲立体几何（2022-2023年高考真题）

一.选择题

1.（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积（

）

I---------1—I---------1—I---------1

L_J___I______I___I______I

I---------1------I-----------1------I-----------1

t---------1------I----------1------I-----------1

IIIIII

I_____I___I______I____I______I

A.24B.26C.28D.30

2.（2023•甲卷）在三棱锥P-A5c中，AABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PCf,则该棱

锥的体积为（）

A.1B.A/3C.2D.3

3.（2023•乙卷）已知圆锥尸O的底面半径为VLO为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线，ZAOB=120°,

若AR4B的面积等于为巨，则该圆锥的体积为（）

4

A.reB.瓜兀C.3兀D.3巫兀

17

4.（2023・天津）在三棱锥。-加。中，线段尸。上的点〃满足9=-2。，线段?_8上的点？/满足附=一尸5,

33

则三棱锥P-AAW和三棱锥P-ABC的体积之比为（）

A.-B.-C.-D.-

9939

5.（2023•甲卷）在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCO为正方形，AB=4,PC=PD=3,NPC4=45。，则

APBC的面积为（）

A.2夜B.372C.4A/2D.5夜

6.（2023•乙卷）已知AABC为等腰直角三角形，钻为斜边，AAaD为等边三角形，若二面角C-AB-。为

150°,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）

7.（2022•浙江）如图，己知正三棱柱ABC-AgG,AC=AAl,E,P分别是棱3C,AG上的点.记EF

与A4,所成的角为c,EF与平面ABC所成的角为二面角尸-3。-4的平面角为7,贝U（）

A.技眩yB.理krC.尸强加aD.战Wp

8.（2022•甲卷）在长方体ABC。-A4c12中，已知瓦。与平面ABCD和平面A414g所成的角均为30。,

则（）

A.AB=2AD

B."与平面ABC。所成的角为3。。

C.AC=CB}

D.耳。与平面BB|GC所成的角为45。

9.（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：。/）是（）

俯视图

A.22%B.87r

10.（2022•北京）已知正三棱锥尸-ABC的六条棱长均为6,S是AABC及其内部的点构成的集合.设集合

T={Q^S\PQ„5},则T表示的区域的面积为（）

B.71D.31

11.（2022•新高考I）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3瓶r3百，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.[18,—]B.[—,—]C.[—,—]D.[18,27]

44443

12.（2022•乙卷）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当该

四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.1B.1C.gD.也

3232

13.（2022•甲卷）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的

体积为（）

A.8B.12C.16D.20

14.（2022•乙卷）在正方体ABCD-A4GA中，E,歹分别为钻，的中点，则（）

A.平面8乃/_1_平面BORB.平面4E/_L平面

C.平面片所//平面A/CD.平面与£F//平面AG。

15.（2022•甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2%,侧面积分别为际和S乙，

体积分别为％和七.若券=2,则券=（）

s乙彩

A.行B.2A/2C.710D.

4

16.（2022•新高考II）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3』和4百，其顶点都在同一球面上，

则该球的表面积为（）

A.1004B.128万C.144万D.192万

17.（2022•新高考I）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已

知该水库水位为海拔148.5〃?时，相应水面的面积为140。万“2；水位为海拔157.5”?时，相应水面的面积为

18O.OW.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5机上升到157.5%时，

增加的水量约为（近X2.65）（）

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4X109/7J3D.1.6xl09m3

二.多选题

18.（2023•新高考I）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：%）的正方体容器（容器壁厚度忽略

不计）内的有（）

A.直径为0.99机的球体

B.所有棱长均为14〃的四面体

C.底面直径为0.01”工，高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2租，高为0.01”?的圆柱体

19.（2023•新高考II）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,为底面直径，ZAPB=120°,24=2,点

C在底面圆周上，且二面角尸—AC—O为45。，贝1（）

A.该圆锥的体积为万B.该圆锥的侧面积为4岛

C.AC=20D.Aft4c的面积为有

20.（2022•新高考I）已知正方体,则（）

A.直线BG与D4t所成的角为90。

B.直线BQ与所成的角为9。。

C.直线BQ与平面BBQQ所成的角为45。

D.直线BQ与平面ABCD所成的角为45。

21.（2022•新高考II）如图，四边形ABCD为正方形，ED_L平面ABCD,FB//ED,AB=ED=2FB.记

三棱锥E—ACD,F-ABC,尸—ACE的体积分别为匕，匕，匕，贝U（）

A.匕=2%B.匕=匕C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

三.填空题

22.（2023•上海）空间中有三个点A、B、C,且筋=3。=&4=1,在空间中任取2个不同的点，使得它

们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有种.

23.（2023•新高考II）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为

3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

24.（2023•新高考I）在正四棱台中，AB=2,4耳=1,AAi=y/2,则该棱台的体积

为.

25.（2023•乙卷）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，AABC是边长为3的等边三角形，&4，平

面ABC,则S4=.

26.(2022•上海)已知圆柱的高为4,底面积为9万，则圆柱的侧面积为

四.解答题

27.(2023•乙卷)如图，在三棱锥P—ABC中，AB±BC,AB=2,BC=2也,PB=PC=A/6,AD=yf5DO,

BP,AP,3c的中点分别为D,E,O,点尸在AC上，BF±AO.

(1)证明：EF//平面ADO；

(2)证明：平面ADO_L平面BEF；

(3)求二面角O-AO-C的正弦值.

28.(2023•上海)已知直四棱柱,AB±AD,AB!/CD,AB=2,AD=3,CD=4.

(1)证明：直线AB//平面。CCQ；

(2)若该四棱柱的体积为36,求二面角4-8D-A的大小.

29.(2023•甲卷)在三棱柱ABC-421cl中，A4i=2,AC_L底面ABC,ZACB=90,Ai到平面BCCiBi

的距离为1.

(1)求证：AC—AiC；

(2)若直线A41与BBi距离为2,求A81与平面8CC181所成角的正弦值.

30.(2023•天津)如图，已知AA_L平面ABC,AB±AC,AB=AC=AA,=2,AG=1，M,N分别为

BC,AB中点.

(I)求证：AN〃平面GMA；

(II)求平面与平面AC£A所成角的余弦值；

(III)求点C到平面GK4的距离.

31.(2023•新高考H)如图，三棱锥A—BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADB=ZADC=6O°,E为

3c中点.

(1)证明3C_LD4；

(2)点尸满足历=D4,求二面角。―AB—B的正弦值.

32.(2023•新高考I)如图，在正四棱柱ABC。—中，AB=2,44,=4.点为，B2,C2,D?分

BB

别在棱A4,,BB[,CC]，上，9=1，2=DD2=2,CC2=3.

(1)证明：B2C2//A,D2；

(2)点尸在棱8片上，当二面角P-&C2-3为150。时，求生P.

33.(2022•天津)直三棱柱ABC—A4G中，AA1=AB=AC=2,A^IAB,AC±AB,。为A4中点,

E为的中点，P为CD中点.

(1)求证：EF//平面ABC；

(2)求直线3E1与平面CC；。的正弦值；

(3)求平面AC。与平面CCQ夹角的余弦值.

34.(2022•浙江)如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=\,

ZBAD=ZCDE=&)°,二面角产一OC—B的平面角为60。.设M,N分别为AE,3C的中点.

(I)证明：FN1AD；

(II)求直线与平面ADE■所成角的正弦值.

35.(2022•甲卷)在四棱锥尸一ABCD中，PD_L底面ABCD,CDHAB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=0.

(1)证明：BD1.PA；

(2)求PD与平面RW所成的角的正弦值.

36.(2022•北京)如图，在三棱柱ABC-ABIG中，侧面8CG瓦为正方形，平面BCC4_L平面延耳人,

AB=BC=2,M,N分别为4耳，AC的中点.

(I)求证：上w//平面8CG4；

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.

条件①：AB±MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

37.(2022•新高考H)如图，尸O是三棱锥尸—ABC的高，PA=PB,AB±AC,E为的中点.

(1)证明：OE7/平面B1C；

(2)若NABO=NC8O=30。，尸0=3,PA=5,求二面角C-AE-3的正弦值.

38.(2022•新高考I)如图，直三棱柱ABC-4aG的体积为4,4ABC的面积为2班.

(1)求A到平面ABC的距离；

(2)设。为4c的中点，A\=AB,平面A3C_L平面A34A，求二面角A—BD—C的正弦值.

B

39.(2022•乙卷)如图，四面体ABCD中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面BEE»_L平面ACD；

(2)设AB=BD=2,ZACB=60°,点尸在上，当AAFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角

的正弦值.

40.(2022•上海)如图所示三棱锥，底面为等边AA5C,。为AC边中点，且PO_L底面ABC,

AP=AC=2.

(1)求三棱锥体积

(2)若加为3c中点，求尸河与面上4c所成角大小.

B

第6讲立体几何（2022-2023年高考真题）

选择题

1.（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则

该零件的表面积（）

I------1—I------1—I------1

।------1--।----1—r-1

।।।।।।

।___।__।___।__।____।

A.24B.26C.28D.30

【答案】D

【解析】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体.

如图所示：

故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4=30.

故选：D.

2.（2023•甲卷）在三棱锥P-ABC中，AABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,

PC=y[6,则该棱锥的体积为（）

A.1B.石C.2D.3

【答案】A

【解析】如图，

p

PA=PB=2,AB=BC=2,取AB的中点。，连接PD,CD,

可得AB_LPD,ABLCD,

又PD[CD=D,PD、CZ)u平面尸CD,r.AB_L平面尸CD,

在与AABC中，求得PD=CD=&-f=6,

在APCD中，由PD=a>=J5,PC=y/6,^PD2+CD2=PC2,则P£»_LC£>,

5Ape0=；xPDxC£)=gx退=q,

113

^P-ABC~,"CDX钻=2X2=^,

故选：A.

3.(2023•乙卷)已知圆锥PO的底面半径为百，O为底面圆心，PA,PB为圆锥的母线,

ZAOB=120°,若AR4B的面积等于竽，则该圆锥的体积为()

A.兀B.娓兀C.3万D.3底兀

【答案】B

【解析】根据题意，设该圆锥的高为〃，即PO=/z,取AB的中点E,连接PE、OE,

由于圆锥PO的底面半径为若，即OA=O8=g,

而ZAOB=120°，故A8=A/0A2+OB2-20A-OB-cos120°=,3+3+3=3,

同时OE=OAxsin30°=—,

2

AR4B中，PA=PB,E为AB的中点，则有

又由ARAB的面积等于生叵，即工=变形可得依=空，

4242

而PE=Jh?+*,则有/+3=0,解可得力=&\

V444

故该圆锥的体积丫=工万'(6)2/1=吗.

3

故选：B.

p

4.（2023•天津）在三棱锥P-ABC中，线段尸。上的点M满足PM=’尸。，线段PB上的

3

点、N漏定PN=《PB,则三棱锥尸-AWN和三棱锥尸-ABC的体积之比为（）

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】B

【解析】在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足尸M=』PC,线段Pfi上的点N满足

3

PN=-PB,

3

所以^^PMA=gS"AC，

设N到平面PAC的距离4,B到平面PAC的距离d2,则&=,

则三棱锥P-AMN的体积为

__1.,_1入2_2

vV三棱黜—AMV_vV三棱幽—APM_§»APAM'^*1一§*§»*AC乂］%~~丫三棱黜_/>AC'

故三棱锥P-AWV和三棱锥P-ABC的体积之比为』.

9

故选：B.

5.（2023•甲卷）在四棱锥尸一ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC=PD=3,

ZPCA=45°,则AP3c的面积为（）

A.2A/2B.3A/2C.40D.5点

【答案】C

【解析】如图，设尸在底面的射影为//,连接"C,

TT

设./PCH=e,ZACH=a,>ae(0,-),

贝U/"CD=45。一以，或/"CD=45°+rz,

2

易知cosNPCD=—,又NPC4=45。，

3

则根据最小角定理(三余弦定理)可得:

jcosZPCA=cos0cosa

|cos/PCD=coscosZHCD

，正SA

—=cosOcosa——=cos"cosa

！

2或＜:2

22

—=cos^cos(45°-OL)—=cos6cos(45。+a)

cos(45一a)2后—cos(45+a)242

----------=----取-----------=----

cosa3cosa3

cosa+sina4cosa-sina4

cosa33

/.tana=-^tana=-一，又CCG(0,1),

332

13.1

tana=—,/.cosa=—=,sina--=,

3710V10

.•.cos*且,

,・祟卡"3

再根据最小角定理可得:

cos/PBC=cos0cos(45°+a)=x(-^=--^=)=；,

sinZPBC=^^,又BC=4,PC=3,

3

112、5r-

223

6.（2023•乙卷）已知AABC为等腰直角三角形，AB为斜边，AABD为等边三角形，若二

面角C-。为150。,则直线8与平面ABC所成角的正切值为（）

【答案】C

【解析】如图，取的中点E,连接CE,DE,

则根据题意易得AB_LCE,ABIDE,

二面角C—AB—D的平面角为NCED=150。，

ABLCE,ABYDE,且cq：Z)E=E,

平面AS),又ABu平面ABC,

二.平面AED_L平面ABC,

CD在平面ABC内的射影为CE,

直线CD与平面ABC所成角为ZDCE,

过。作D"垂直CE所在直线，垂足点为H,

设等腰直角三角形ABC的斜边长为2,

则可易得CE=1,DE=s/3,又NDEH=30。,

:.DH=—,EH=~,:.CH=l+-=~,

2222

同

tanZDCE=-=^-=—.

CH55

2

故选：C.

7.(2022•浙江)如图，己知正三棱柱ABC-A旦G,AC=A\,E,F分别是棱3C,AG

上的点.记所与相所成的角为c,£F与平面ABC所成的角为£,二面角尸-3C-A的

平面角为贝!1()

AiG

B

A.隰眩/B.康hyC.鹰i卜aD.砚/°

【答案】A

【解析】・正三棱柱ABC-A4G中，AC=AAl,

，正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1,

如图，过/作FG_LAC,垂足点为G,连接GE,则AA//FG,

GF

3与朋所成的角为4。“‘旦tana=B=GE'

又GEG[0,1],/.tanae[0,1],

.•.£F与平面ABC所成的角为NFEG=尸，J.tan/7=—=—e[l,+oo),

GEGE

tan..tana,…①，

再过G点作GHLBC,垂足点为〃，连接HF,

又易知FG_L底面ABC,BCu底面ABC,

:.BC±FG,又FGp|G/7=G,平面GHF,

GF1

.•.二面角尸—BC—A的平面角为NGHF=7,且tan/=——=——,又G“£[0,

GHGH

/.tan/e[^^-,+8),/.tan/..tancr,…②，

又GE..GH,tan(3,,tany,…③，

由①②③得tan瀛Jtan尸tan/,又a,J3,/e[0,,y=tanx在[0,])单调递增,

:.o^3y,

故选：A.

F

AiCi

8.（2022•甲卷）在长方体ABCD-4耳CQi中，已知耳O与平面ABC。和平面A4t始3所成

的角均为30。，贝底）

A.AB=2AD

B.AB与平面ABC。所成的角为30。

C.AC=CB,

D.耳。与平面8瓦GC所成的角为45。

【答案】D

【解析】如图所示，连接A4，BD,不妨令抽=1,

在长方体ABCD-AaCQj中，AD±ffi^4,^5,8片_1面筋8,

所以NB]DB和ZDBtA分别为与平面ABCD和平面AA^B所成的角,

即ZB,DB=ZDBlA=30°,

所以在RtABDBj中，BBl=AAl=l,BD=6,B、D=2,

在RtAADB[中，DB[=2,AD=l,ABl=A/3,

所以=CB、=垃,AC=A/3,

故选项A,C错误，

由图易知，AB在平面上的射影在M上，

所以NB[AB为AB与平面AB^D所成的角，

在RtAABB,中，sin/耳AB=幽=J="

故选项3错误，

则在平面BB£C上的射影为BtC,

所以ZD4c为BtD与平面BB£C所成的角,

在加△。瓦C中，BlC=-Ji=DC,所以4c=45。,

所以选项。正确，

故选：D.

9.（2022•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：切），则该几何体的体积（单位：an3）

是（）

a--------*4a

2

41K-2-X1**1*2-►i1*

正视图侧视图

2216

A.221B.8%C.——71D.一71

33

【答案】C

【解析】由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台,

所以几何体的体积为：—X—xl3+^-xl2x2+—(22X^-+l2X7T+\/22X71X]2X7T)x2=—7l.

2333

故选：c.

10.（2022•北京）已知正三棱锥尸-ABC的六条棱长均为6,S是AABC及其内部的点构成

的集合.设集合7={QcS|PQ,,5},则T表示的区域的面积为（）

37r一

A.——B.7：C.2兀D.37r

4

【答案】B

【解析】设点尸在面ABC内的投影为点O,连接。4,则04=2x3出=2百，

3

所以。尸=VPA2-OA2=V36-12=2底,

由=^25-24=1,知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆，

所以其面积S=%.

11.（2022•新高考I）已知正四棱锥的侧棱长为心其各顶点都在同一球面上.若该球的体

积为36万，且3御373,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.[18,27]

44443

【答案】C

【解析】如图所示，正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，连接AC与交于点E,

连接PE,则球心O在直线PE上，连接。4,

设正四棱锥的底面边长为。，高为人,

在RtAPAE中，P/C=AE2+PE2,即产=（警产+/=3^+小，

­球O的体积为36万，，球O的半径R=3,

在RtAOAE中，OA2=OE2+AE2,即&=①-3?+（学了，

—a?+弟—6/z=0,「.-a2+林=6h,

22

:』=6h,又；3麴1373,/.,

22

119

该正四棱锥体积V(h)=-a2h=-(12h-2lr)h=--/i3+4外,

V'(h)=-2h2+8〃=2/1(4-h),

QQ

.•.当时，F（/z）＞0,V（/z）单调递增；当4＜九，三时，r（/i）＜0,V（/i）单调递减,

22

,且巴巴

44

即该正四棱锥体积的取值范围是[区,—],

43

故选：C.

12.（2022•乙卷）己知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.-D,也

322

【答案】C

【解析】对于圆内接四边形，如图所示,

1,

-2r-2r-sin900=2r2,

2

当且仅当AC,比）为圆的直径，且ACLBD时，等号成立，此时四边形ABCD为正方形,

当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为。，底面所在圆的半径为r,

则”*

，该四棱锥的高〃=

该棱锥的体积

aa1a2____

24p«2«24J+Z+2.34/一46

7卜万一退丁SW----------3---------)=2)=下

当且仅当即片=±时，等号成立,

423

，该四棱锥的体积最大时，其高

故选：C.

13.（2022•甲卷）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,

则该多面体的体积为（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD-A瓦GA，

四棱柱的底面是直角梯形ABCD,如图，

AB^4,AD^2,A4,=2,A4,_L平面ABCD,

该多面体的体积为：

V=1（4+2）x2x2=12.

故选：B.

14.（2022•乙卷）在正方体ABCD-中，E,尸分别为AB,3C的中点，则（

）

A.平面用E/_L平面%）口B.平面片石尸，平面A3。

C.平面B|EF//平面AACD.平面片EF//平面ACQ

【答案】A

【解析】对于A,由于E,尸分别为AB,3c的中点，则EF//AC,

又AC_LftD,AC±,BD^\DDX=D,且BD,DQu平面

.-.AC±平面BDD{,则即_L平面BDR,

又EFu平面耳斯，

二.平面耳E/_L平面2。〃，选项A正确；

对于3,由选项A可知，平面平面而平面BZ）0c平面4即=2。，在该

正方体中，试想R运动至4时，平面耳跖不可能与平面ABD垂直，选项5错误；

对于C,在平面AB4A上，易知明与瓦£必相交，故平面男呼与平面AAC不平行，选

项C错误；

对于D,易知平面A^C//平面AQZ）,而平面AB,C与平面B.EF有公共点B,,故平面ByEF

与平面4G。不可能平行，选项。错误.

故选：A.

15.（2022•甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2万，侧面积

分别为S甲和名,体积分别为%和%.若*=2,则地=（）

s乙吟

A.A/5B.2夜C.V10D.-^―

4

【答案】C

甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3,甲、乙两

个圆锥的底面半径分别为小4，高分别为％，为，

则2"q=4万，2兀丫?=2万，解得/;=2,4=1,

由勾股定理可得％=如，屈=2近，

故选：C.

16.（2022•新高考II）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3c和4班，其顶点

都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.100万B.128TTC.144万D.1927

【答案】A

【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为=3,

2sin60°

下底面所在平面截球所得圆的半径为上^—=4,如图，

2sin60°

设球的半径为R,则轴截面中由几何知识可得-，改一42=1,解得R=5,

该球的表面积为4万7?2=4^x25=100万.

当球心在台体内时，如图，

o

［。臼

此时依-32MR2■-d=1,无解.

综上，该球的表面积为1007.

故选：A.

17.（2022•新高考I）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄

入某水库.已知该水库水位为海拔1485找时，相应水面的面积为140.0初,；水位为海拔

157.5m时，相应水面的面积为180。h〃2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，

则该水库水位从海拔148.5加上升到157.5〃工时，增加的水量约为（ba2.65）（）

A.1.0x109MB.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【解析】140W=140xl06m2,180W=180xl06m2,

根据题意，增加的水量约为"1。』8。＞＜1。6+3山。＞＜1。隈18四(＜呷,5_]48.5)

(140+180+6077)xlO60

=--------------------x9

3

®(320+60x2.65)xl06x3=1437xl06«1.4xl09m3.故选：C.

18.（2023•新高考I）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：山）的正方体容器（容

器壁厚度忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99〃z的球体

B.所有棱长均为14〃的四面体

C.底面直径为0.01;〃，高为1.8帆的圆柱体

D.底面直径为1.2加，高为0.01m的圆柱体

【答案】ABD

【解析】对于A,棱长为1的正方体内切球的直径为1＞0.99,选项A正确;

对于5,如图，

正方体内部最大的正四面体D-A2G的棱长为=应＞1.4,选项3正确；

对于C,棱长为1的正方体的体对角线为占＜1.8,选项C错误；

对于D,如图，六边形EFGH7为正六边形，E,F,G,H,I,J为棱的中点,

高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，

六边形EFGEff/棱长为也米，NGFH=NGHF=3。°,

2

所以FH=米,故六边形EFGHA7内切圆半径为逅米，

22

而停）2=|“ay=1.44,选项。正确.

故选：ABD.

19.（2023•新高考H）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,钻为底面直径，ZAPB=nO°,

PA=2,点C在底面圆周上，且二面角尸—AC—O为45。，则（）

A.该圆锥的体积为万B.该圆锥的侧面积为4号

C.AC=2忘D.AR4c的面积为A

【答案】AC

【解析】取AC中点。，则OD_LAC,PD±AC,

由二面角的定义可知，二面角尸-AC-O的平面角即为ZRDO=45。,

对于A,AR4B中，由于E4=PB=2,ZAPS=120°,

则尸0=1,AO=6

则8=1,丫=、3万・1=不，选项A正确.

3

对于3,S帆=兀义琳义2=2耶兀,选项3错误.

对于C,AC=2A/^T=2近，选项C正确.

对于。，PD=42,SAPAC=|XA/2X2^=2,选项。错误.

故选：AC.

20.（2022•新高考I）已知正方体ABCD-AqGR,贝1|（）

A.直线8G与D4,所成的角为90。

B.直线BQ与。，所成的角为90。

C.直线8G与平面8瓦0。所成的角为45。

D.直线8G与平面ABCD所成的角为45。

【答案】ABD

【解析】如图，

连接BQ,由A4〃DC,A4=OC,得四边形。为平行四边形，

可得DA//B。,耳C,.•.直线3C］与必所成的角为90°，故A正确；

\B}±BC,,BCX±B.C,ABJ,4c=与，BC】J_平面出台u，而CAu平面以与夕，

BC.LCA,,即直线BQ与。1所成的角为90。，故3正确；

设AG「8。=O,连接30,可得G。1平面BBRD,即ZQBO为直线BCt与平面BBRD

所成的角，

sin/CI3O=2J=L.•.直线BQ与平面RBQD所成的角为30。，故C错误；

BC、2

CC|_L底面ABCD,为直线BG与平面ABCD所成的角为45。，故O正确.

故选：ABD.

21.（2022•新高考II）如图，四边形ABCD为正方形，£D_L平面ABCD,FB//ED,

AB=ED=2FB.记三棱锥E—ACD,F-ABC,_F—ACE的体积分别为匕，匕，匕，则（

A.V3=2V2B.匕=耳C.%=K+KD.2匕=3%

【答案】CD

【解析】设AB=ED=2FB=2,

14

^=-X5MCDX|E£>|=-)

v

2=gx5MBex|FB|=g,

如图所示，

连接BD交AC于点M,连接EM、FM,

贝iJ—W=g,EM=娓,EF=3,

故S^EMF=gXQx遥=,

11Q5

V3=~SAEMF^AC=-XX272=2,

故C、D正确，A、3错误.

故选：CD.

三.填空题

22.（2023•上海）空间中有三个点A、B、C,且A5=3C=C4=1,在空间中任取2个不

同的点，使得它们与A、B.C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有

种.

【答案】2.

【解析】如图所示，设任取2个不同的点为尸、Q,

当AABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABP。作为圆锥的底面,

有2种情况，

同理以BCPQ、ACPQ为底面各有2种情况，所以共有6种情况;

当AABC为正四棱锥的截面时，如图，P、。位于AB两侧，AP3Q为圆锥的底面，只有一

种情况，

同理以BPC。、APC。为为底面各有1种情况，所以共有3种情况；

综上，共有6+3=9种情况.

故答案为：9.

23.（2023•新高考II）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面

边长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.如图所示，根据题意易知

,2=空=9'，又sq=3,

SOOA202

:.SO=6,:.OOt=3,又上下底面正方形边长分别为2,4,

所得棱台的体积为g*（4+16+a^l?）x3=28.

故答案为