河南省林州市林虑中学2024-2025学年高一数学下学期开学考试试题

PAGEPAGE16河南省林州市林虑中学2024-2025学年高一数学下学期开学考试试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知是，直线总经过点（）A. B. C. D.3.已知，则的值为（）A.1 B.2 C.7 D.104.已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（）A. B.C. D.5.已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（）A.2 B.6 C. D.86.已知为不同的直线，为不同的平面，有下列四个命题：①②③④.其中正确命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知点与关于直线对称，则的值分别为（）A.1，3 B.， C.-2，0 D.，8.已知函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.9.如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（）A.2 B. C.4 D.10.已知函数为偶函数，那么函数的定义域为（）A. B. C. D.11.已知圆，圆，两圆公切线的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.412.已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，AE⊥平面，平面，且.点Q为DF的中点，点P是CE上的动点，则PQ长的最小值为（）A. B.2 C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知三角形的三个顶点是，，，则此三角形边上的中线所在直线的方程为____________.14.四棱锥中，底面是正方形，各条棱长均为2.则异面直线与所成角的大小为____________.15.已知定义在上的函数满意，当时，，则不等式的解集为____________.16.在棱长为9的正方体中，点，分别在棱，上，满意，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为____________.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知点，到直线的距离相等.（1）求实数值；（2）已知，试求上点的坐标，使得，，构成以为直角顶点的直角三角形.18.在棱长为2的正方体中，是底面的中心.（1）求证:平面;（2）求点到平面的距离.19.已知函数.（1）若，求实数的值；（2）若关于的方程恰有三个解，求实数的取值范围.20.如图.在三棱锥中,平面,,于点,于点,,.（1）求；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21.已知奇函数与偶函数满意：.（1）求函数与解析式；（2）若对随意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.22.点，圆，动点P在圆B上，Q为PA中点，直线.（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）若直线l与曲线E交于不同两点S，T，坐标原点为O，当△OST的面积为，∠SOT为锐角时，求斜率k的值；（3）若k=1，当过直线l上的点C能作曲线E的两条切线时，设切点分别为M，N，直线MN是否过定点？若过定点，恳求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.

林虑2024级高一下学期开学检测数学答案1.【答案】A【解析】【分析】可依据特别元素与集合的关系作答.【详解】A.为偶数，故，故B.，故B错C.，故错D.,故D错.故选：A2.【答案】B【解析】【分析】把整理成，依据方程特点可得答案.【详解】由得，对于总成立，，所以，即总经过点是.故选：B.3.【答案】A【解析】【分析】由求出a、b，表示出，进而求出的值.【详解】,.故选：A4.【答案】D【解析】【分析】设圆的方程为，解方程组即得解.【详解】设圆的方程为，把点，，代入得,解得，，，所以圆的方程是．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】依据斜二测画法可换元原图形，依据原图形计算周长即可.【详解】由直观图可得原图形如图，依据斜二测画法可知，,在中,,又,所以四边形的周长为,故选：D6.【答案】A【解析】【分析】依据线面平行的推断定理推断①，依据线面垂直，面面垂直的性质定理推断②③④.【详解】①不成立，缺少这个条件；②不成立，不满意线面垂直的推断定理；③不成立，缺少条件；④正确，依据面面垂直的性质定理推断.故选：A7.【答案】B【解析】【分析】点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.【详解】，若点与关于直线对称，则直线与直线垂直，直线的斜率是，所以，得.线段的中点在直线上，则，得,故选:B8.【答案】C【解析】【分析】由函数零点问题，转化为，成立，求函数的值域.【详解】在区间内有解，转化为，成立，，时，.故选：C9.【答案】A【解析】【分析】依据三视图还原几何体，计算体积即可.详解】还原几何体如图，为四棱柱，底面积为，高为2故体积为：2故选：A10.【答案】B【解析】【分析】依据是偶函数求出，代入中求解定义域即可【详解】为偶函数，故对称轴为，故则且解之得故选：B11.【答案】C【解析】【分析】首先推断两圆的位置关系，再推断公切线条数.【详解】圆，圆心，半径，圆，圆心，半径，圆心距，，所以两圆相外切，公切线条数是3条.故选：C12.【答案】A【解析】【分析】依据题意，以A为原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AE为z轴正方向，建立空间直角坐标系，把PQ转化为，利用二次函数求最小值.【详解】如图示，以A为原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AE为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A（0,0,0）、D（2,0,0）、C（2,2,0）、E（0,0,2）、F（2,0,2）、Q（2,0,1）、设P（x,y,z）,由点P是CE上的动点，知,即，故P(x,x,2-x),所以当时故PQ长的最小值为.故选：A13.【答案】【解析】【分析】先求线段的中点的坐标，再求直线的方程.【详解】，，线段的中点是，即，，所以三角形边上的中线所在直线的方程为，即.故答案为：14.【答案】60°【解析】【分析】依据AB∥CD,得到异面直线与所成角即为∠VCD,由△VCD为等边三角形，即可求解.【详解】如图示，因为是正方形，所以AB∥CD,所以异面直线与所成角即为∠VCD.又各条棱长均2，所以△VCD为等边三角形，所以∠VCD=60°，异面直线与所成角的大小为60°.故答案为：60°15.【答案】【解析】【分析】可求出分段函数在时的解析式，分两种状况解不等式，求并集.【详解】当时，，，则当时，，故，，则，则，则，则此时综上有故答案为：16.【答案】【解析】【分析】以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，设，由平面可得P点的坐标，依据四棱锥的特点可得外接球的直径可得答案.【详解】以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，，由，则，，，设，，，设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，得，因为平面，所以，即，解得，所以，由平面，且底面是正方形，所以四棱锥外接球的直径就是，由，得，所以外接球的表面积.故答案为：.【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算实力.17.【答案】（1）或；（2）点的坐标为或.【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式建立等式求解的值；（2）可求出以为直径的圆的方程，与直线的方程联马上得点的坐标.【详解】（1）由点到直线的距离公式知：，即，或，或.（2），的中点为，以为直径的圆的方程为，直角三角形的直角顶点是以为直径的圆与直线的交点.设，故满意由知，，直线，又在上联立方程消去得：，或.或点的坐标为或.【点睛】①，，构成以为直角顶点的直角三角形，等价于以为直径的圆过点，且，，三点不共线.②处理圆与直线交点问题时，可由圆心到直线的距离与半径作比较，得出位置关系.联立两者方程，可求出交点坐标.18.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，设，连接，证明是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）由题意可得平面平面，过点作于，在矩形中，连接，可得，由三角形相像，对应边成比例即可求解.【详解】（1）证明：连接，设，连接.且，是平行四边形..又平面，平面，平面.（2），，且，平面.平面平面，且交线为.在平面内，过点作于，则平面，即的长就是点到平面的距离.在矩形中，连接，，则，.即点到平面距离为.【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点作于，得出的长就是点到平面的距离，考查了计算实力.19.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令，分和两种状况解方程，求出a的值；（2）在同一坐标系内分别作出和的图像，视察交点的个数求出的取值范围.【详解】（1）当，即，解得，均满意条件.当时，，，无解.故.（2）如图示，在同一坐标系内分别作出和的图像，当时，单调递增，；当时，在上递减，在上递增，.故当时，方程恰有三个解，即实数的取值范围是.【点睛】分别参数法求参数的范围：数形结合求零点个数的问题是转化为，分别做出和的图像，视察交点的个数即为零点的个数，依据交点个数求出的取值范围.20.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定可证得平面,则平面平面,由,进而可得平面,即可证得结论.(2)由平面,则就是在平面内的射影,即为与平面所成的角,计算即可求得结果.【详解】(1)证明：平面,平面..又,,平面.平面平面.又平面平面,平面,,平面.又平面.(2)由(1)知平面,连结,则就是在平面内的射影.就是与平面所成的角.,,,..在中,.与平面所成角的正弦值为.21.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）用代替代入中，得到另外一个式子，用方程思想求解与的解析式即可.（2）化简不等式，分别参数，转化为求值域的问题.【详解】（1）用代替代入中，得，是奇函数，是偶函数，，上式与联立，可得，.（2）即，.令，则.，，，，.，即实数的取值范围是.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.22.【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点.【解析】【分析】（1）由Q为PA的中点，得，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，干脆写出圆的方程；（2）利用垂径定理，把△OST的面积表示出来，求出斜率k；（3）先表示出MN的方程，在整理成点斜式，证明过定点（-2,2）.【详解】（1）由题意知，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其方程为.（2）设到直线的距离为，则由△OST面积为，得，解得或1.当时，为钝角，舍去，故.，解得.（3