辽宁省辽南协作校2025届高三数学5月模拟考试试题理含解析

PAGE28-辽宁省辽南协作校2025届高三数学5月模拟考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A.（﹣∞,2） B.（﹣1,0] C.（﹣1,2） D.（﹣1,0）【答案】B【解析】【分析】分别依据对数与二次不等式的运算求解集合,进而求得即可.【详解】∵集合,,∴,故选：B【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2.已知，若，则a=()A.1 B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】先把复数进行化简，得到，再依据共轭复数的概念求出，然后干脆计算即可求解.【详解】，∴，a＞0，解得.故选：A【点睛】本题考查复数的共轭，以及复数的四则运算，属于简洁题3.已知，则()A.a＞b＞c B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c【答案】C【解析】【分析】依据指数的性质可得，，依据对数的性质可得，综合即可得结果.【详解】∵，∴，∵，∴，∵，且，∴，∴，故选：C.【点睛】本题主要考查了指数、对数值的大小比较，娴熟驾驭指数函数和对数函数的单调性是解题的关键，属于基础题.4.某公司对旗下的甲、乙两个门店在1至9月份的营业额（单位：万元）进行统计并得到如图折线图.下面关于两个门店营业额的分析中，错误的是()A.甲门店的营业额折线图具有较好的对称性，故而营业额的平均值约为32万元B.依据甲门店的营业额折线图可知，该门店营业额的平均值在[20，25]内C.依据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势D.乙门店在这9个月份中的营业额的极差为25万元【答案】A【解析】【分析】依据折线图依次推断每个选项：甲门店的营业额平均值远低于32万元，A错误，其他正确，得到答案.【详解】对于A，甲门店营业额折线图具有较好的对称性，营业额平均值远低于32万元，A错误.对于B，甲门店的营业额的平均值为21.6，即该门店营业额的平均值在区间[20，25]内，B正确.对于C，依据乙门店的营业额折线图可知，其营业额总体是上升趋势，C正确.对于D，乙门店在这9个月中的营业额最大值为30万元，最小值为5万元，则极差为25万元，D正确.故选：A.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的识图实力和应用实力.5.闻名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和探讨中，我们常常用函数的图象来探讨函数的性质，也常常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的美丽曲线，下列函数中，其图象大致可“完备”局部表达这条曲线的函数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】推断函数的奇偶性，函数值的正负确定正确选项．【详解】美丽曲线关于轴对称，为偶函数，中函数为奇函数，解除，同理D中函数也是奇函数，解除，A，C都是偶函数，时，，只有C满意美丽曲线在旁边的正负，解除A．故选：C．【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题时可通过探讨函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等解除一些选项，再依据函数值的正负，特别的函数值，函数值的改变趋势等解除一些选项，从而可得正确选项．6.已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若，则正数的最小值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知，函数的半周期为，故可求得，又由条件，推得是的一条对称轴，故而求得的表达式，由，求得最终结果.【详解】∵函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，∴，∴，∴，又∵，∴是的一条对称轴，∴，，∴.∵故令，得为最小值.故选：B.【点睛】本题为考查“的图像和性质”的基本题型，考查学生对三角函数相关性质的理解记忆，以及运用，为中等偏下难度题型.7.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果是（）A.1461 B.2922 C.4383 D.7305【答案】A【解析】【分析】依据程序框图依次计算运行的值，直到满意条件终止运行，输出值.【详解】第一步：输入，得；其次步：，得；第三步：，得；第四步：，得，输出.故选：A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图.属于较易题.8.抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于M，N两点，点P为抛物线C上的动点，且点P在l的左侧，则面积的最大值为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】易得直线l的方程为，联立直线和抛物线的方程并结合抛物线的性质得出；设与直线l平行的直线为：，当直线与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，进而求得m的值，再求出直线l与直线的距离，最终计算面积即可.【详解】由题意可知直线l的方程为：，设，，代入抛物线的方程可得，，由抛物线的性质可得，设与直线l平行的直线方程为：，代入抛物线的方程可得，当直线与抛物线相切时，P到直线l的距离有最大值，所以，解得，直线l与直线的距离，所以面积的最大值为，故选：D.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查逻辑思维实力和运算求解实力，属于常考题.9.甲、乙两人进行飞镖竞赛，规定命中6环以下（含6环）得2分，命中7环得4分，命中8环得5分，命中9环得6分，命中10环得10分（两人均会命中），竞赛三场，每场两人各投镖一次，累计得分最高者获胜.已知甲命中6环以下（含6环）概率为，命中7环的概率为，命中8环的概率为，命中9环的概率为，命中10环的概率为，乙命中各环对应的概率与甲相同，且甲、乙竞赛互不干扰.若第一场竞赛甲得2分，乙得4分，其次场竞赛甲、乙均得5分，则三场竞赛结束时，乙获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】若乙获胜，则第三场竞赛乙至多比甲低一分.所以逐一分析乙得分时对应甲的各种状况，计算概率求和即可.【详解】解：竞赛结束，若乙获胜，则第三场竞赛乙至多比甲低一分.当乙得2分时，甲得2分，当乙得4分时，甲可得2分，4分，5分，当乙得5分时，甲可得2分，4分，5分，6分，当乙得6分时，甲可得2分，4分，5分，6分，当乙得10分时，甲可得2分，4分，5分，6分，10分，乙获胜的概率为：.故选：B.【点睛】本题考查独立事务同时发生的概率，考查学生分类探讨的思想，同时也考查学生的计算实力，属于中档题.10.在矩形ABCD中，，，沿矩形对角线BD将折起形成四面体ABCD，在这个过程中，现在下面四个结论：①在四面体ABCD中，当时，；②四面体ABCD的体积的最大值为；③在四面体ABCD中，BC与平面ABD所成角可能为；④四面体ABCD的外接球的体积为定值.其中全部正确结论的编号为()A.①④ B.①② C.①②④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】对四个结论逐一分析推断，对于①，利用翻折前后这个条件不变，易得平面，从而；对于②，当平面平面时，四面体ABCD的体积最大，易得出体积；对于③，当平面平面时，BC与平面ABD所成的角最大，即，计算其正弦值可得出结果；对于④，在翻折的过程中，BD的中点到四面体四个顶点的距离均相等，所以外接球的直径恒为BD，体积恒为定值.【详解】如图，当时，∵，∴平面，∵平面，∴，即①正确；当平面平面时，四面体ABCD的体积最大，最大值为，即②正确；当平面平面时，BC与平面ABD所成的角最大，为，而，∴BC与平面ABD所成角肯定小于，即③错误；在翻折的过程中，和始终是直角三角形，斜边都是BD，其外接球的球心恒久是BD的中点，外接球的直径为BD，∴四面体ABCD的外接球的体积不变，即④正确.故正确的有①②④.故选：C.【点睛】本题考查图形翻折的应用，解题关键是应抓住翻折前后的“不变量”和“变量”，进而分析计算，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养，属于常考题.11.已知、分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题首先可以结合题意绘出双曲线图像，然后依据得出，依据双曲线的定义得出，再然后依据得出以及，依据得出，最终将点坐标代入双曲线中，通过化简即可得出结果.【详解】设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，绘出双曲线的图像，如图，过点作于点,因，所以，，因为，所以，因为双曲线上的点到原点的距离为，即，且，所以，，故，，因为，所以，，将代入双曲线中，即，化简得，，，，，解得或（舍去），，，则该双曲线的渐近线方程为，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线定义以及等面积法的敏捷应用，考查计算实力，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，体现了综合性，是难题.12.已知函数，则f（x）的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角函数恒等变换的应用可得函数，然后对函数求导，利用函数的单调性可得函数的最值.【详解】令为减函数，且所以当时，，从而，当时，，从而，故.故选：C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，考查利用导数探讨函数的最值问题，考查学生分析问题的实力及计算实力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量，，向量在方向上的投影为，则_____.【答案】2【解析】【分析】由向量投影的定义列出关于m的方程求解即可.【详解】由题意可知：向量在方向上的投影为，两边平方，可得，解得或，当时，，不符合题意，∴.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平面对量数量积的应用，考查计算实力，属于基础题.14.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则______.【答案】2【解析】【分析】依据余弦定理，列方程求解即可.【详解】由余弦定理，可得，(舍).故答案为：2【点睛】此题考查依据余弦定理求三角形的边，关键在于娴熟驾驭公式，精确求解方程.15.若，则_____.【答案】-3【解析】【分析】利用二倍角公式化简，可求出的值，将所求利用二倍角公式化简，再利用齐次式求出结果即可.【详解】因为，所以，则.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的二倍角公式，考查齐次式的应用，属于基础题.16.在四棱锥P﹣ABCD中，P﹣BCD是底面边长为2正三棱锥，E为PC的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则正三棱锥P﹣BCD的侧棱长为_____；若AD⊥PD，AD⊥AB，AC＝_____.【答案】(1).4(2).【解析】【分析】如图，记为的中点，点为的中点，利用已知条件先找到异面直线所成角，再作平行四边形，设，由“平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和”和得出的值，再利用线面垂直和面面垂直关系得出四边形为矩形，最终利用勾股定理即可得出结论.【详解】如图，记为的中点，点为的中点，则为的中位线，所以，则为异面直线与所成的角；作平行四边形，设，由“平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和”，得，即，得；因为，所以，解得；易证面面，，所以可推出面，可得；因为，所以四边形为矩形，因为的边长为，所以，故.故答案为：；.【点睛】本题主要考查利用异面直线成角，平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和以及利用线面垂直和面面垂直关系解决问题.属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.设{an}是一个首项为2，公比为q（q1）的等比数列，且3a1，2a2，a3成等差数列.（1）求{an}的通项公式；（2）已知数列{bn}的前n项和为Sn，b1=1，且1（n≥2），求数列{anbn}的前n项和Tn.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意结合等差数列、等比数列的性质可得4×2q=3×2+2q2，解方程后利用等比数列的通项公式即可得解；（2）由题意结合等差数列的判定与通项公式可得，利用与的关系可得，进而可得，再利用错位相减法即可得解.【详解】（1）因为3a1，2a2，a3成等差数列，所以4a2=3a1+a3，又{an}是一个首项为2，公比为q（q1）的等比数列，所以4×2q=3×2+2q2，解得q=3或q=1（舍去），则；（2）由，且，可得是首项和公差均为1的等差数列，所以，所以，可得n=1时，b1=S1=1；时，，对于n=1时，该式也成立，则，所以所以，，两式相减可得，所以.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，考查了数列与的关系与错位相减法求数列前n项和的应用，牢记错位相减法对应的形式并且细心计算是解题关键，属于中档题.18.如图，在正四棱柱中，，，，，是棱的中点，平面与直线相交于点.（1）证明：直线平面.（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出，，设点为的中点，连结，，推导出平面，平面，从而平面平面，由此能证明平面．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【详解】解：（1）证明：平面平面，平面平面，平面平面，，由题意得，设点为的中点，连结，，是棱的中点，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，平面，，平面平面，平面，平面．（2）解：，，如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，1，，，0，，1，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，设二面角的平面角为，由，，二面角的正弦值为．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查推理论证实力与运算求解实力，属于中档题．19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上随意一点，且的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.【答案】（1），（2）直线恒过定点.【解析】【分析】（1）本题首先可以联立椭圆方程与直线方程求出、两点坐标，然后写出与，再然后依据得出，化简得出，最终依据的最大值为即可求出、的值并写出椭圆的方程；（2）本题可以分为直线的斜率存在以及直线的斜率不存在两种状况进行分类探讨，当直线的斜率存在时，首先可以设出直线的方程并与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出、，再然后依据直线、的斜率之和为即可求出，最终依据直线的点斜式方程得出直线恒过定点；当直线的斜率不存在时，首先设出直线的方程以及和两点坐标，然后依据椭圆的对称性得出，再然后依据直线、的斜率之和为即可求出以及直线恒过定点，最终综合两种状况，即可得出结果.【详解】（1）联立方程，解得或，不妨设，，因为，所以，，因为，所以，化简得，即，因为，所以，，故椭圆的方程为，（2）当直线的斜率存在时：明显斜率不为，否则直线、的斜率之和为，不符合题意，设直线的方程为，，，联立，得，则，，因为直线、的斜率之和为，，所以，代入，，即，化简得，故直线的方程为，即，恒过定点，当直线的斜率不存在时：设直线的方程为，，，其中，因为直线、的斜率之和为，，所以，解得，恒过定点，综上所述：直线恒过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法以及椭圆中直线过定点问题，考查向量垂直的相关性质，考查基本不等式以及韦达定理的敏捷应用，考查椭圆与直线相交的相关问题的求解，考查直线斜率的相关性质，考查化归与转化思想，考查计算实力，是难题.20.2024年4月8日零时正式解除离汉通道管控，这标记着封城76天的武汉打开城门了.在疫情防控常态下，武汉市有序复工复产复市，但是仍旧不能麻痹大意仍旧要保持警惕，严密防范、慎终如始.为科学合理地做好小区管理工作，结合复工复产复市的实际须要，某小区物业供应了A，B两种小区管理方案，为了确定选取哪种方案为小区的最终管理方案，随机选取了4名物业人员进行投票，物业人员投票的规则如下：①单独投给A方案，则A方案得1分，B方案得﹣1分；②单独投给B方案，则B方案得1分，A方案得﹣1分；③弃权或同时投票给A，B方案，则两种方案均得0分.前1名物业人员的投票结束，再支配下1名物业人员投票，当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时，就停止投票，最终选取得分多的方案为小区的最终管理方案.假设A，B两种方案获得每1名物业人员投票的概率分别为和.（1）在第1名物业人员投票结束后，A方案的得分记为ξ，求ξ的分布列；（2）求最终选取A方案为小区管理方案的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由题意知，ξ的全部可能取值为﹣1，0，1，然后，列出ξ的分布列即可(2)记M1表示事务“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记M2表示事务“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记M3表示事务“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，记选取A方案为小区管理方案的概率为P，然后分别求出，，的值，则选取A方案为小区管理方案的概率为：，然后计算求解即可.【详解】（1）由题意知，ξ的全部可能取值为﹣1，0，1，P（ξ=﹣1）=（1），P（ξ=0），P（ξ=1），∴ξ的分布列为（2）记M1表示事务“前2名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，由（1）知，，记M2表示事务“前3名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，，记M3表示事务“共有4名物业人员进行了投票，且最终选取A方案为小区管理方案”，①若A方案比B方案多4分，有两类：第一类，A方案前三次得了一次1分两次0分，最终一次得1分，其概率为；其次类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，后两次均得1分，其概率为，②若A方案比B方案多2分，有三类：第一类，A方案四次中得了一次1分，其他三次全0分，其概率为；其次类，A方案前三次得了一次1分，一次0分，一次﹣1分，最终一次得了1分，其概率为；第三类，A方案前两次得了一次1分一次﹣1分，第三次得1分，第四次得0分，其概率为.故，∴最终选取A方案为小区管理方案的概率为.【点睛】本题考查离散随机变量的分布列问题，属于中档题.21.已知函数.（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的单调区间；（2）当时，若，且，证明：.【答案】（1）的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意先求出的值，再利用导函数分析函数的单调性，即可得出结论；（2）先代入数值求导，构造函数，求导得出的单调性，整理已知条件，再次构造函数，求导分析函数的单调性，利用单调性整理即可得出结论.【详解】（1），，则，，令，得或；令，得；所以的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）证明：，，令，则，所以在上为增函数；，，与同号，不妨设，设，则