排列与组合讲义-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习讲义计数原理、概

率、随机变量及其分布之排列与组合

一'知识点讲解及规律方法结论总结

1.排列、组合的定义

名称定义

从〃个不同元素并按照①二定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素中取

排列_

中取出m出根个元素的一个排列.

组合（加£〃）个元素作为一组，叫做从〃个不同元素中取出机个元素的一个组合二

注意排列有序，组合无序.

2.排列数、组合数的定义、公式及性质（〃，〃zGN*,且机W〃）

排列数组否数

从〃个不同元素中取出徵（mWn）个从〃个不同元素中取出相个元素

定

元素的所有不同排列的个数，用符号的所有不同组合的个数，用符号③c然

义

②A梁表示.表示.

A^1n(n—l)(n—2)...(n—m+1)

腺=n(〃-1)(〃-2)…(n-m+pm==④.

公'-1nAJSml

n\

式1)=、;.规定0!=1.n!

(n—m)!I,二.规定华=1.

A*="！=〃X(〃-1)X(〃-2)

性

X---X2X1；pmrn~m.rm1

L=L，L?I+I1

质1RL1RL

A爱="F+1）A「=桢二；

说明（：7=一一机的应用主要是两个方面:一是简化运算，当根〉;时，通常将计算C£转化

为计算C：m；二是列等式，由喘=e可得x=y或x+y=〃.

二'基础题练习

1.5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有

（B）

A.延种B.俏种C$8种D.85种

解析由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子

即可.故共有源种不同的放法.

2.［教材改编］从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法

种数是（B）

A.12B.24C.64D.81

解析4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人1本，则不同的分配方法种数为

A%=24.

3.［教材改编］某班举行了“弘扬中华文化”演讲比赛，有6人参加，并决出第1名到第6

名的名次（没有并列名次）.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你

和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从回答分析，6人的名次排列情

况可能有（D）

A.216种B.240种C.288种D.384种

解析由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，乙不是最后一名，所以最

后一名有4种可能性，所以6人的名次排列情况可能有4X4XA£=384（种）.

4.［多选］下列说法正确的是（BD）

A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列

B.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同

C.若喘=C/，贝I］x=m

-1

D.A^+1=A^+mA™

5.［易错题］计算G+C升a+C$的值为210.（用数字作答）

解析原式=C+e+C$=C?+C$=C?o=21O.

6.若量+1=鬃+第，则〃=6.

解析：C器1=瑞+第=髭+1,；."+1=3+4,解得w=6.

三、知识点例题讲解及方法技巧总结

命题点1排列问题

例1有3名男生、4名女生.

（1）若排成前、后两排，前排3人，后排4人，则不同的排列方法总数为5040.

（2）若全体排成一排，女生必须站在一起，则不同的排列方法总数为576.

（3）若全体排成一排，男生互不相邻，则不同的排列方法总数为1440.

（4）若全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，则不同的排列方法总数为—

3600.

（5）若全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排列方法总数为—

3720.

（6）若全体排成一排，其中甲、乙、丙三人从左到右顺序一定，则不同的排列方法总数为

840.

解析（1）分两步完成，先选3人站前排，有的种方法，余下4人站后排，有A*种方

法,共有AM=5040（种）.

（2）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有四种方法，再将女生全排列，有短

种方法，共有A乳A*=576（种）.

（3）先排女生，有A3种方法，然后在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男

生，有Ag种方法，共有A乳Ag=1440（种）.

（4）解法一先排甲，有5种方法，其余6人有A?种排列方法，共有5XA&=360（）

（种）.

解法二左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人，有髭种排法，剩下的5人有Ag

种排法，共有A看Ag=3600（种）.

（5）解法一甲在最右边时，其他人可全排列，有A?种方法；甲不在最右边时，因为甲

也不在最左边，所以可从余下的5个位置中任选1个，有盘种，而乙可从除去最右边的位

置后剩下的5个位置中任选1个，有墨种，其余人全排列，有A&种不同排法，共有A3+

禺禺Ag=3720（种）.

解法二7人全排列，有AZ种方法，其中甲在最左边时，有A国种方法，乙在最右边时，有

A?种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形（Ag种方法），故共有A4—

2Ai+A|=3720（种）.

（6）7人全排列，有A：种方法，由于甲、乙、丙的顺序一定，则不同的排列方法总数为

4=840.

Ai

方法技巧

求解排列问题的常用方法

直接法把符合条件的排列数直接列式计算.

优先法优先安排特殊元素或特殊位置.

魂部问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行『

捆绑法

歹L同时注意捆绑元素的内部排列.

不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元

插空法

素插在前面元素的排列空位中.

定序问题

定序问题，可先不考虑顺序限制进行排列，再除以定序元素的全排列.

除法处理

间接法正难则反，等价转化处理.

训练1（1）[2022新高考卷H]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若

甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（B）

A.12种B.24种C.36种D.48种

解析先将丙和丁捆在一起，有A纤中排列方式，然后将其与乙、戊排列，有Ag种排列方

式，最后将甲插入中间两空，有2种排列方式，所以不同的排列方式共有2A刍A,=24

（种），故选B.

（2）［2023济南市统考］由3个2,1个0,2个3组成的六位数中，满足有相邻4位恰好是

2023的六位数的个数为（B）

A.3B.6C.9D.24

解析2023用了2个2,1个0,1个3,还余下1个2,1个3,故将2023视作一个整体

与余下的1个2,1个3全排列，有Ag=6（种）不同的排法.故选B.

命题点2组合问题

例2（1）［多选］从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确

的有（CD）

A.若4人全部为男生，则有30种不同的选法

B.若4人中男生、女生各有2人，则有30种不同的选法

C.若男生中的甲和女生中的乙被选，则有28种不同的选法

D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选，则有140种不同的选法

解析4人全部为男生，选法有髭=15（种），故A错误；如果4人中男生、女生各有2

人，男生的选法有髭=15（种），女生的选法有量=6（种），则4人中男生、女生各有2

人的选法有15X6=90（种），B错误；如果男生中的甲和女生中的乙被选，在剩下的8人

中再选2人即可，有禺=28（种）不同的选法，故C正确；在10人中任选4人，有C%=

210（种）不同的选法，甲、乙都不在其中的选法有喘=70（种），故男生中的甲和女生中

的乙至少要有1人被选的选法有210—70=140（种），故D正确.

（2）［2023新高考卷I］某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从

这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有一

64种（用数字作答）.

解析解法一由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，

有禺禺种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有

黑田种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有田心

种方案.综上，不同的选课方案共有禺禺+黑田+山禺=64（种）.

解法二若学生从这8门课中选修2门课，则有量一田一田=16（种）选课方案；若学生

从这8门课中选修3门课，贝U有最一量一方=48（种）选课方案.综上，不同的选课方案共

有16+48=64（种）.

方法技巧

组合问题常见的两类题型

（1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由剩下的元素补足；

“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.

（2）“至少”与“最多”的问题：解这类题的关键是理解“至少”与“最多”这两个词的

含义，通常用直接法或间接法处理，分类复杂时，用间接法更容易处理.

训练2（1）[2023福州5月质检]“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，龙舟比赛的

划手分划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右

桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2

名划右桨，则不同的选派方法共有（C）

A.15种B.18种C.19种D.36种

解析按照从全能者（既会划左桨又会划右桨）中选多少人参与划左桨分类：①2名全能

者中选2人划左桨，有废谶=1（种）不同的选派方法；②2名全能者中选1人划左桨，有

禺禺禺=12（种）不同的选派方法；③2名全能者中选0人划左桨，有废量=6（种）不同

的选派方法.所以共有1+12+6=19（种）不同的选派方法.故选C.

（2）[2023南京市、盐城市二模]编号为1,2,3,4的四位同学，就座于编号为1,2,

3,4的四个座位上，每个座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学的编号和座位编号一致的

坐法种数为6.

解析先选择两位同学坐对编号，有废种方法，余下的两位同学只能交叉坐，只有1种方

法，故共有此XI=6（种）不同坐法.

命题点3排列与组合的综合应用

角度1有限制条件的排列、组合问题

例3（1）[2023沈阳市质监]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须

站在最中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（C）

A.24种B.36种C.72种D.96种

解析如图所示，当甲在3的位置时，乙、丙可能排在（1,2）,（4,5）,（5,6）,

先从这三种中选出一种安排乙、丙，然后在剩下的3个位置安排余下的3人，所以不同的

排队方法有禺A刍Ag=36（种）;当甲在4的位置时，由对称性可知不同的排队方法也有36

种.所以不同的排队方法共有36X2=72（种），故选C.

123456

（2）[2023重庆市名校联考]某校从8名教师中选派4名教师去4个偏远地区支教，每地1

人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案的种数是600.

（用数字作答）

解析分为两步，第一步，先选4名教师，第一步又分两类，第一类，甲去，则丙一定

去，乙一定不去，有髭=10（种）不同的选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能

去也可能不去，有谶=15（种）不同的选法.所以选4名教师，不同的选法有10+15=25

（种）.第二步，4名教师去4个偏远地区支教，有A*=24（种）分配方法.所以不同的选派

方案的种数是25X24=600.

方法技巧

有限制条件的排列、组合问题的解题策略

（1）先分析每个限制条件，然后考虑是分类还是分步，对于分类过多的问题可以采用间接

法；

（2）采用特殊元素（位置）优先原则，即先满足有限制条件的元素（位置），再考虑其他

元素（位置）.

角度2分组、分配问题

例4（1）有5个大学保送名额，计划分到3个班级，每班至少一个名额，有6种不同

的分法.

解析一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3

份，每份至少1个，（定份数）

将5个名额排成一列，中间有4个空，（定空位）

即只需在中间4个空中插入2个隔板，不同的方法共有比=6（种）.（插隔板）

（2）若将6名教师分到3所中学任教，其中一所1名，一所2名，一所3名，则有360

种不同的分法.

解析先将6名教师分组，共有玛髭噌=60（种）分法.

再将这3组教师分配到3所中学，有Ag=6（种）分法.

故不同的分法共有60X6=360（种）.

（3）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有1560

种.（用数字作答）

解析把6本不同的书分成4组，故有“3,1,1,1”和“2,2,1,1”两种不同的分组

方法.

若按“3,1,1,1”的分组方法，则不同的分法共有迤臀=20（种）.（有三组元素个数

相同，因与顺序无关，故需除去重复情况）

若按“2,2,1,1”的分组方法，则不同的分法共有要•婴=45（种）.（四组元素中，

分别有两组元素个数相同，分别为“2,2”和“1,1”，因与顺序无关，故需除去重复情

况）

所以不同的分组方法共有20+45=65（种）.

然后把分好的4组书分给4个人，分法共有A3=24（种），所以不同的分法共有65X24=

1560（种）.

方法技巧

分组、分配问题的解题思路是先分组后分配.

1.常见的分组

整体均匀分组分组后一定要除以A，(〃为均分的组数)，避免重复计数.

部分均匀分组若有机组元素个数相等，则分组时应除以加！.

不等分组分组时任何组中元素的个数都不相等.

注意关于分组问题，应注意无论分成几组，只要其中某些组中的元素个数相等，就存在

均分现象.

2.常见的分配

(1)相同元素的分配问题，常用“隔板法”求解.

(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配.

(3)有限制条件的分配问题，采用分类讨论法或间接法求解.

训练3(1)［多选/2023重庆八中模拟］将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A,B,C

3个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能被

安排到1个社区，则下列选项正确的是(BD)

A.共有72种安排方法

B.若甲、乙被安排在同一个社区，则有6种安排方法

C.若A社区需要2名志愿者，则有24种安排方法

D.若甲被安排在A社区，则有12种安排方法

解析对于A选项，将4名志愿者先分为3组，再分配到3个社区，所以安排方法种数为

窈浮XAg=36,所以A选项不正确.

对于B选项，甲、乙被安排在同一个社区，先从3个社区中选1个安排甲与乙，再把剩余

2个社区进行全排列，所以安排方法种数为C必刍=6,所以B选项正确.

对于C选项，A社区需要2名志愿者，所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区，再

把剩余2名志愿者进行全排列，所以安排方法种数为谶A刍=12,C选项不正确.

对于D选项，甲被安排在A社区，分为两种情况，(对甲安排在A社区进行分类讨论，讨

论A社区是甲单独一人还是甲与另外一人)

第一种为A社区安排了2名志愿者，则从剩余3名志愿者中再选择1名，分到A社区，然

后把剩余2名志愿者进行全排列，安排方法共有玛A今种；第二种是A社区只安排了甲志愿

者，此时剩余3名志愿者分为2组，再分配到剩余的2个社区中，此时安排方法有此A刍种.

(这两组是不均匀分组，故不需除以任何数)

所以安排方法种数一共为禺A刍+禺A,=12,D选项正确.故选BD.

（2）将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分

别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有1680种.（用数字作答）

解析先选出3人，有玛种选法，再从剩下的6人中选出3人，有髭种选法，最后剩下的

3人为一组，有田种选法.由分步乘法计数原理以及整体均匀分组方法，可知不同的安排方

案共有阿孽Ag=i680（种）.

四'命题点习题讲解

1.［命题点1/2023大同学情调研］现有高中数学新教材必修一、二，选择性必修一、二、

三，共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数

是（A）

A.72B.144C.48D.36

解析解法一先将选择性必修一、二、三这3本书排成一排，有Ag=6（种）排列方法，

再将必修一、必修二这2本书插入两端或3本书间的两个空隙中，有A3=12（种）排列方

法，由分步乘法计数原理得，把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的

排列方法种数是6X12=72.

解法二5本书放在书架上排成一排的排列方法共有虚种，其中必修一、必修二相邻的排

列方法有A5A》种，所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方

法种数为Ag—AM》=72.

2.［命题点2/2023合肥市二检］某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综

合实践”“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2

门校本课程.若小明必须选报“数学文化”课程，两位同学所选的课程至多有一门相同，则

不同的选课方案有（B）

A.24种B.36种C.48种D.52种

解析解法一当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，若相同的课程为“数

学文化”，则不同的选课方案有盘禺=12（种）；若相同的课程不是“数学文化”，则不

同的选课方案有屐禺=12（种）.所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共

有12+12=24（种）选课方案.当小明和小华两位同学所选的课程都不相同时，不同的选课

方案有心釐=12（种）.所以不同的选课方案有24+12=36（种），故选B.

解法二小明在“数学文化”课程外任选一门课程，小华任选2门课程时，不同的选课方

案有心髭=40（种），其中小明和小华2门课程都相同时，选课方案有最=4（种），故两

位同学所选的课程至多有一门相同时，不同的选课方案有40—4=36（种），故选B.

3.［命题点3角度1］某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有两辆不同的白色车

和两辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方

法总数为（B）

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.l680

解析由题意知，每行停放一辆白色车和一辆黑色车.第一步：取一辆白色车和一辆黑色车

停放到第一行，共有禺禺由A5=48（种）方法.第二步：把剩下的两辆车停放到第二行.若

白色车与第一行的黑色车在同一列，此时黑色车有3种停放方法；若白色车与第一行的黑

色车不在同一列，则白色车有2种停放方法，黑色车也有2种停放方法，所以共有2义2=

4（种）停放方法.所以把剩下的两辆车停放到第二行共有3+4=7（种）方法.由分步乘法

计数原理可知，满足题意的停车方法总数为48X7=336.

4.［命题点3角度24021全国卷乙］将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、

冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志

愿者，则不同的分配方案共有（C）

A.60种B.120种C.240种D.480种

解析根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿

者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1

人，共有釐种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A%种安排方法.故满足题

意的分配方案共有髭XA%=240（种）.

5.［命题点32023福建适应性测试］中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要

贡献，很好地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队

前往A,B,C3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个

受灾点至少安排一支救援队，其中甲救援队只能去8,C2个受灾点中的一个，则不同的安

排方法种数是（D）

A.72B.84C.88D.100

解析解法一（间接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3：1：1和2：2：1,再

将这3组分配到A,B,C3个受灾点，有Ag种分配方法，故共有度Ag+空qXA§=150

（种）安排方法，其中含有甲救援队去A受灾点的情形.当甲救援队去A受灾点时，变为余

下4支救援队随机去A,B,C3个受灾点，则A受灾点可以再去0支或1支或2支救援

队，B,C受灾点均至少去1支救援队，当A受灾点再去0支救援队时，余下4支救援队分

成两组（3：1或2：2）去B,C2个受灾点，不同的安排方法种数为管+当A受灾

点再去1支救援队时，余下3支救援队只能按2：1分组去8,C2个受灾点，不同的安排

方法种数为玛禺AQ当A受灾点再去2支救援队时，余下2支救援队只能1支去B受灾

点，1支去C受灾点，不同的安排方法种数为量A'.故满足题意的不同的安排方法种数为

150-（田A5+Cg+C；JA,+CgAp=100.故选D.

解法二（直接法）将5支救援队分成3组，有两种分法：3：1：1和2：2：1,再将这3

组分配到A,B,C3个受灾点.

①按3：1：1分组，若甲救援队单独一组，且甲救援队去8,C2个受灾点中的一个，则有

最熊A,种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还

需2支救援队，有金种选法，甲救援队所在的组去3,C2个受灾点中的一个，有最种方

法，余下的2支救援队分成两组各去一个受灾点，有掰种方法，故有鬣玛A乡种不同的安排

方法.

②按2：2：1分组，若甲救援队单独一组，且甲去3,C2个受灾点中的1个，则有

r*2r2

禺X咎XA'种不同的安排方法；若甲救援队不单独一组，则甲救援队所在的组还需1支

救援队，有盘种选法，甲救援队所在的组去8,C2个受灾点中的1个，有废种方法，余

下的3支救援队按2：1分成两组各去一个受灾点，有玛A,种方法，故有禺禺禺A'种不同

的安排方法.

故满足题意的不同的安排方法种数为禺禺A,+鬣禺A刍+C/X爷XA刍+禺禺釐A刍=16+24

+12+48=100.故选D.

五'习题实战演练

1.[新高考卷1]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场

馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（C）

A.120种B.90种C.60种D.30种

解析第1步，抽1名志愿者安排到甲场馆，有玛种安排方法；第2步，从剩下的5名志

愿者中抽取2名安排到乙场馆，有器种安排方法；第3步，将剩下的3名志愿者安排到丙

场馆.由分步乘法计数原理得，不同的安排方法共有船髭=60（种），故选C.

2.[2024吉林市田家炳高级中学模拟]从A,B,C,D,E这5人中选出4人，安排在甲、

乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则不同的安排方法有（D）

A.56种B.64种C.72种D.96种

解析解法一（优先特殊元素）根据题意可知，按A是否入选进行分类.

若A入选，则先从乙、丙、丁3个岗位上安排1个岗位给A,有玛=3（种）安排方法，再

给剩下3个岗位安排人，有Aj=24（种）安排方法，共有3X24=72（种）安排方法.

若A不入选，则4个人4个岗位，有A%=24（种）安排方法.

综上，共有72+24=96（种）安排方法.故选D.

解法二（优先特殊位置）先安排去甲岗位的，A不能去，其他4人中选1人，因而有黑

种安排方法，再选3人安排其他岗位，有题种安排方法，从而共有禺A宠=96（种）安排方

法.故选D.

3.［2024北京市第十二中学模拟］4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，

如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为(D)

A.10B.20C.24D.30

解析解法一不考虑限制条件，将6位同学排成一排准备照相，共有A3种排法，如果保

持原来4位同学的相对顺序不变，则有笔=30(种)排法，故选D.

解法二插入2位同学后变成6位同学6个位置，原4位同学占4个位置，但相对顺序没

变，因而有墨种排法，再排新插入的2位同学有A,种排法，从而共有(：抬,=30(种)排

法，故选D.

解法三6个位置可以先排后加入的2位同学，有A2=30(种)排法，剩下4个位置原4

位同学按原顺序排入即可，只有1种方法，因而共有30种排法，故选D.

4.［2024湖南衡阳模拟］2023年春节，在北京工作的五个家庭开车搭伴一起回老家过年，若

五辆车分别为A,B,C,D,E,五辆车随机排成一列，则A车与3车相邻，且A车与C

车不相邻的排法有(A)

A.36种B.42种C.48种D.60种

解析将A车与8车捆在一起当成一个元素使用，有A刍种不同的捆法，将其与除C车外的

2个元素全排列，有Ag种排法，将C车插入，不与A车相邻，有种插法，故共有

A^XAjXA1=36(种)排法.故选A.

5.5个小朋友站成一圈，不同的站法一共有(D)

A.120种B.60种C.30种D.24种

解析先将5个小朋友编为1〜5号，然后让他们按1〜5的顺序站成一圈，这样就形成了

一个圆排列.分别以1,2,3,4,5号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到5种排列：

12345,23451,34512,45123,51234.这就是说，这个圆排列对应了5个排列.因此，要求

A5

圆排列数，只需要求出全排列数再除以5就可以了，即这些小朋友不同的站法一共有个=

A1=24(种)，故选D.

6.［多选］下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是(ABD)

A.(w+1)

C.C忏普D.匕A犷』解

解析对于A,(〃+1)A#=(n+1)n(n—1)…(H—m+1)=人黑?，故A正确；对

于BQ1711—(n—1)!gm_n!_n'(n—1)!_n(n—1)!_n1

，n—1(m—l)!(n—m)l,nm!(n—m)!m-(m—l)!(n—m)!m(m—l)!(n—m)!mn-l'

所以mC£=wCmT,故B正确；对于C,c7=等=至，故C错误；对于D,二一A犷1=

nn-lnmln—mn

---n(n—1)•(n—m)=n(〃-1)…(九一m+1)=嗨,故D正确.故选ABD.

n—m

7.［多选Z2024湖南湘潭联考］从10名男生和8名女生中选出3人去参加创新大赛，则至少

有1名女生的选法种数为（AC）

A.C38—GioB.CgCi7

C玛哈+髭4+髭D.%禺+/髭

解析对于A,从18名学生中选取3人，有C去种不同的选法，从18名学生中选取3人，

选的都是男生有C；o种不同的选法，所以至少有1名女生的选法有C%—C：O=696（种），A

正确；

对于B,CK务=1088/696,故B错误；

对于C,至少有1名女生的选法有三种情况：1名女生，2名女生，3名女生，所以至少有

1名女生的选法有玛肾（）+髭Ch）+C=360+280+56=696（种）,C正确;

对于D,好。禺+禺0髭=360+280=640W696,故D错误.

8.［2024上海市华东师范大学第二附属中学质检］7个志愿者的名额分给3个班，每班至少

一个名额，则有15种不同的分配方法（用数字作答）.

解析7个志愿者的名额分配给3个班，每班至少一个名额，其实就是在7个志愿者的名

额产生的6个空位中插入2个“档板”，共有髭=15（种）不同的分配方法.

9.高考期间，为保证考生能够顺利进入某考点，交管部门将6名交警分配到该考点周边3

个不同路口疏导交通，每个路口2人，则不同的分配方法共有90种.

解析根据题意，分两步进行分析.第一步，将6名交警分成“2,2,2”的三组，有空立

Ai

=15（种）分组方法；第二步，将分好的三组全排列，对应3个路口，有Ag=6（种）情

况，则共有15X6=90（种）分配方法.

10.某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙

必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工

程的不同排法种数是20（用数字作答）.

解析解法一（特殊元素优先法）丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为

丙丁，则6项工程可视为5个元素.分成两步来完成：第一步，从5个位置中选择3个位置

排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素，又甲、乙、丙丁的相对顺序固定，故不同的排法有《

=10（种）；第二步，将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上，不同的排法有

的=2（种）.由分步乘法计数原理，可知不同排法共有10X2=20（种）.

解法二（插空法）分成两步来完成：第一步，将相对顺序固定的甲、乙、丙、丁排列

好，丙、丁相邻且顺序固定，从而形成3个特殊元素（丙、丁视为1个元素），共有1种

排法；第二步，将余下的2项工程逐个插入，排法共有禺*=20（种）.根据分步乘法计数

原理，安排这6项工程的不同排法共有1X20=20（种）.

解法三丙、丁相邻且顺序固定，故将其视为1个元素，记为丙丁，其余4项工程各视为

1个元素.对5个元素全排列，共有Ag种排法.其中，甲、乙、丙丁这3个特殊元素的位置共

有Ag种不同的排法，而符合要求的甲、乙、丙丁的排法仅有1种，所以安排这6项工程的

不同排法共有号=20（种）.

11.[2024河南省实验中学模拟]某院派出医护人员共5人，分别派往4,B,C三个区，每

区至少一人，甲、乙主动申请前往A区或B区，且甲、乙恰好分在同一个区，则不同的安

排方法有（C）

A.12种B.18种C.24种D.30种

解析用捆绑法将甲、乙两人看成一个整体，若甲、乙和另一人共3人分为一组，则有

2禺A4=12（种）安排方法；若甲、乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组1人，一组

2人,则有禺C弼A〈=12（种）安排方法.

综上，共有12+12=24（种）安排方法.故选C.

12.[2024浙江省名校联考]某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校

打算关掉3盏路灯，且头尾2盏路灯不能关闭，关掉的相邻2盏路灯之间至少有2盏亮的

路灯，则不同的方案种数是（B）

A.324B.364C.560D.680

解析将20盏路灯分成2盏，15盏，3盏共3组，先将15盏亮的路灯排成一列，把3盏

关掉的路灯插空，因为头尾2盏路灯不能关闭，所以是在除头尾之外的14个空位中插入3