考点17 多边形与平行四边形（精讲）-2024年中考数学一轮复习之核心考点精讲精练（原卷版）

考点17.多边形与平行四边形（精讲）【命题趋势】多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可能性比较大。中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函数、解直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。【知识清单】1：多边形的相关概念（☆☆）1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形，n边形的对角线条数为。4）多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）。5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于360°；所有正多边形中，单独使用其中一种能够进行密铺(镶嵌)的只有正三角形、正方形、正六边形。如果选用多种，则需要满足：(1)边长相等；(2)选用正多边形若干个内角的和恰好等于360°。2：平行四边形的性质与判定（☆☆☆）1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2）平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。4）补充性质：（1）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积和周长。（2）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE。（3）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE。（4）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD。5）平行四边形的判定定理：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。3：中位线（☆☆☆）1）三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线。2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。3）三角形中位线定理的作用：（1）证明位置关系：可以证明两条直线平行；（2）证明数量关系：可以证明线段的倍分关系。4）常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。【易错点归纳】1.多边形的有关计算的公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误；2.切记一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。【核心考点】核心考点1.多边形的相关概念例1：（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为．变式1.（2023·江苏连云港·校考三模）一个多边形的内角和等于，那么它是（）A．十边形 B．十一边形 C．十二边形 D．十三边形变式2.（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为度．

变式3.（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．例2：（2023·北京·统考中考真题）正十二边形的外角和为（）A． B． C． D．变式1.（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（

）

A． B． C． D．变式2.（2023·湖北黄冈·统考中考真题）若正n边形的一个外角为，则．变式3.（2023·河北保定·校考模拟预测）如果一个正多边形的内角比它相邻的外角大，那么这个多边形是边形．例3：（2023·浙江·模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为．变式1.（2023·吉林长春·校考三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为度．

变式2.（2023·广东深圳·校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了，两种菱形进行了密铺，则菱形的锐角的度数为°．

例4：（2023·浙江丽水·统考一模）已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（

）A．10 B．16 C．20 D．40变式1.（2023·河北保定·统考一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（

）A．3 B．6 C．9 D．18变式2.（2023·陕西西安·校考模拟预测）一个正多边形每一个中心角都为40°，则这个正多边形共有条对角线．核心考点2.平行四边形的性质与判定例5：（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（

）

A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度减小C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变变式1.（2023·北京海淀·校考模拟预测）下列命题中的假命题是（

）A．对角线互相平分的四边形是中心对称图形B．有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形C．对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形D．等边三角形既是轴对轴图形，又是中心对称图形变式2.（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是(6，0)，点C的坐标是(1，4)，则点B的坐标是．例6：（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为．

变式1.（2023·山东潍坊·统考二模）已知中，∠A=55°，分别以点B，点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M，N，作直线交于点E，则的度数为（）

A．55° B．60° C．65° D．70°变式2.（2022·湖南湘潭·中考真题）在中（如图），连接，已知，，则（

）A． B． C． D．例7：（2023·海南·统考中考真题）如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（

）

A．6 B．4 C． D．变式1.（2023·福建·统考中考真题）如图，在中，为的中点，过点且分别交于点．若，则的长为．

变式2.（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为．

变式3.（2023·山西·统考中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为．

例8：（2023·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（

）

A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④变式1.（2023·广西北海·统考三模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（）

A．1.5 B．3 C．6 D．4变式2.（2023·广东潮州·二模）如图，在中，为对角线．(1)求证：．(2)尺规作图：作的垂直平分线，分别交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；(3)若的周长为10，求的周长．变式3.（2023·湖南·统考中考真题）如图，在中，平分，交于点E，交的延长线于点F．(1)求证：；(2)若，求的长和的面积．

例9：（2023·湖南·统考中考真题）如图，在四边形中，已知，添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（）

A． B． C． D．变式1.（2023·江苏南通·统考二模）如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加下列选项中的（

）A． B． C． D．变式2.（2023·河南周口·校联考模拟预测）如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（

）A． B． C． D．例10：（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，．(1)求证：≌．(2)连接，求证：四边形是平行四边形．变式1.（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)若的面积等于2，求的面积．

变式2.（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．(1)求证：四边形为平行四边形；(2)，求线段的长度．

核心考点3.中位线例11：（2023·江苏盐城·统考中考真题）在中，，分别为边，的中点，，则的长为cm.变式1.（2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则．

变式2.（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为．

变式3.（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（

）

A．4 B．5 C． D．例12：（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，，D是AC延长线上的一点，．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是．

变式1.（2023·海南儋州·校联考模拟预测）如图，在中，平分平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（

）A． B．2 C． D．1变式2.（2023·广东广州·统考中考真题）如图，在中，，，，点M是边上一动点，点D，E分别是，的中点，当时，的长是．若点N在边上，且，点F，G分别是，的中点，当时，四边形面积S的取值范围是．

例13：（2023·山西·统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．∵分别为的中点，∴．（依据1）

∴．∵，∴．∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．∵，即，∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．∵，∴．同理，…任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．(2)请用刻度尺