2024-2025学年山东省滨州市滨城某中学九年级（上）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年山东省滨州市滨城六中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对

称图形的是（）

2.已知二次函数沙=（2+1）2—2的图象上有三点A（141）,3（2,仪），。（—2,仍），则力，沙2,%的大小关

系为（）

A.yi>y2>券B.y2>yi>姬c.y3>yi>於D.第>为>yi

3.如图，在同一坐标系中，二次函数沙=a/+c与一次函数〃=a，+c的图象大致是（）

4.如图，某小区计划在一块长为32加，宽为20加的矩形空地上修建三条

同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路

的宽为x%,则下面所列方程正确的是（）

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A.(32-a:)(20-z)=32x20-570B.32e+2x20®=32x20-570

C.(32—2c)(20—2)=570D.32/+2x20s-2/=570

5.如图，PA,网分别切©0与点4,B,"N切。。于点C,分别交尸/,PB于

点M,N,若PA=7.5cm,则的周长是（）

A.7.5cm

B.10cm

C.12.5cm

D.15cm

6.如图，/OOE是0。内接四边形ABC。的一个外角，若NDCE=82°,那么

NBOO的度数为（）

A.160°

B.164°

162°

D.170°

7.正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（）

A.1：2：3B.2：3：4

8.已知二次函数沙=a/+6a；+c（a#0）的图象的一部分如图所示，其中

对称轴为：2=1,下列结论：①abc〉0;②a+c〉0；③2a+3b>0；

@a+b>am2+上述结论中正确结论的个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

9.若方程（a-2）*「2+4工+3=0是关于x的一元二次方程，则a的值为,

10.若扇形的圆心角为90°，半径为6,则该扇形的弧长为.

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11.为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式

（每两队之间赛一场）.现计划赛程3天，每天安排5场比赛，则应邀请_____个球队参赛.

12.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数

是73,则每个支干长出的小分支数是个.

13.若函数沙=+2a;+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数加的值是.

14.温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁.如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米,

拱高CA为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为米.

15.在平面直角坐标系中，将抛物线沙=«-2c+2向左平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为

16.如图，QM■的半径为4,圆心M的坐标为（6,8）,点P是⑷上的任

意一点，PA±PB,且尸/、尸3与x轴分别交于/、3两点.若点/、点8

关于原点O对称，则当AB取最大值时，点/的坐标为.

三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题16分）

解方程：

（1）/—6H一4=0；（配方法）

（2）2/—7c—4=0；（公式法）

⑶3/Q—2）=2z—4；

⑷立2—x-2=0.

18.（本小题10分）

如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点上.

（1）画出△ABC关于原点对称的△4B1G；

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⑵画出△ABC绕点N逆时针旋转90°得到的△4B202,并写出点为、G的坐标;

⑶若点P为x轴上一点，则P4+PC的最小值为.

19.(本小题10分)

我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件

数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同.

(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；

(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？

20.(本小题12分)

在RtZSAB。中，AACB=90%BE平分NABC交4c于点E,D是边4B上一点,以3。为直径的0O经

过点£,且交于点F.

(1)求证：NC是。。的切线；

⑵若CF=3，CE=3V3＞求图中阴影部分的面积.

21.(本小题12分)

戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如

果按每盒70元销售，每天可卖出20盒.通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2

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(1)若每盒售价降低X元，则日销量可表示为_____盒，每盒口罩的利润为元-

(2)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？

(3)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润.

22.(本小题12分)

如图1,已知△ABC是的内接三角形，为直径，ZA=38°，。为1百上一点.

图1图2

(1)当点。为GG的中点时，连接。£DC,求/ABC和乙4RD的大小；

(2)如图2,过点。作0。的切线，与的延长线交于点尸，且DP〃AC,连接。C,OC,求N。。。的大

小.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念.判断轴对称

图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心,

图形旋转180。后与原图重合.根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.

【解答】

解：4是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

员是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

。.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：C.

2.【答案】B

【解析】解：•.•二次函数沙=(必+1)2—2,

a=1>0,开口向上，对称轴为直线2=—L

二当/<—1时，y随x的增大而减小，当2〉-1时，y随x的增大而增大，

1<2,

二〉见，

•.-1-(-1)=2,-1-(-2)=1,2>1,

，yi>y3,

：.yi>yi>V3,

故选：B.

根据二次函数解析式得出a=l〉O,开口向上，对称轴为直线/=-1,再根据二次函数的增减性判断即

可得到答案.

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：/、由抛物线可知，a<0,由直线可知，a〉0,不一致；

8、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a<0,不一致；

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都过点(0,c),正确；

C、由抛物线可知，a<0,由直线可知，a<0,不交于y轴同一点，不一致；

D、由抛物线可知，a>0,由直线可知，a>0,都过点(0,c),一致；

故选：D.

先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数沙=ax2+c的图象相比较看是否一致.

主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题.

4.【答案】C

【解析】解：1•道路的宽为xm,

二种植草坪的部分可合成长为(32-2x)m,宽为(20-2)也的矩形.

根据题意得：(32-2x)(20-a;)=570.

故选：C.

由道路的宽为xm,可得出种植草坪的部分可合成长为(32-2口加，宽为(20-劝篇的矩形，根据草坪的面

积为570m2,即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：•.•直线P/、PB、AW分别与◎。相切于点/、B、C,

：.MA=MC,NC=NB,

△PA/N的周长

=PM+PN+MC+NC=PM+MA+PN+NB=PA+PB=7.5+7.5=15(cm).

故选：D.

根据切线长定理得AL4="C，NC=NB，然后根据三角形周长的定义进行计算.

本题考查了切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理.

6.【答案】B

【解析】解：•.•NOOE=82°，

ABCD=180°-ADCE=98°,

•.•四边形48CD内接于。。，

ZA+ZBCD=180%

，/4=82°，

NBOO=2A4=164°，

故选：B.

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求出/BCD的度数，根据圆内接四边形的对角互补得出乙4+NBC。=180°,求出乙4=82°，根据圆周

角定理得出=2/4再求出答案即可.

本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的性质和圆周角定理是解此题的关键.

7.【答案】A

A

【解析】解：如图：在直角三角形8。£>中，AOBD=30°,/TV'X

•.•4D是5C边上的图加OA=OB,\Z<：rZ\

，h=R+T=3r.

/.r：R：h=r-2r：3r=1：2：3.

即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3.

故选：A.

画出图形，连接。5,连接40并延长交5C于点。，得到直角三角形50D,利用30。角所对的直角边等于

斜边的一半，得到R=2r,然后求出〃与尸的关系，计算匕R与〃的比.

本题考查的是正多边形和圆，连接05,连接40并延长得到直角三角形，利用直角三角形求出心一和〃

的比值.

8.【答案】C

【解析】解：抛物线的开口向下，

/.Q<0，

,对称轴为：X=—=1,

/.b=—2a>0,

•.•抛物线与》轴交于>轴的正半轴,

/.c〉0,

/.abc<0,

故①不正确;

•.•2x1-3=—1,当力=3时，y=0,

.,.当/=—1时，Q—b+c=0,

:.a+c=b,

'：b=-2a>0，

：,a+c>0,

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故②正确；

b=—2a,

.2a+36—2a—6a——4a〉0,

故③正确，

,当c=l时，y=a+b+c,a<Q,

二函数的最大值为：a+b+c,

a+b+c>am2+bm+c(m^O)，

;.a+b>am2+bm，

故④正确，

二②③④正确，

故选：C.

由抛物线的开口方向可判定。的符号；结合抛物线的对称轴6的符号可判断①；通过2=-1和田=3的对

称性判断②；将不等式的两边加上c,进而判断出③；将6=—2a,a—6+c=O可推出④.

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决问题的关键是熟练掌握二次函数及其图象的性质.

9.【答案】—2

【解析】解：•.•方程(a-2)/J2++3=0是关于x的一元二次方程，

a—2刈且。2一2=2，

解得：a=—2.

故答案为：—2.

根据一元二次方程的定义得出a一2多0且/_2=2,再求出答案即可.

本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出a-2#0且a2—2=2是解此题的关键.

10.【答案】37r

【解析】解：该扇形的弧长=黑/=3兀

lot)

故答案为：37r.

根据弧长公式计算.

本题考查了弧长的计算：弧长公式：，=不(弧长为/,圆心角度数为"，圆的半径为r.

loU

11.【答案】6

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【解析】解：设应邀请X个球队参赛，

由题意得：）（x-l）=5x3,

解得：2=6或—5（不符合题意，舍去），

即应邀请6个球队参赛，

故答案为：6.

设应邀请x个球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），x个球队比赛总场数为1）,列出

一元二次方程，解方程即可.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

12.【答案】8

【解析】解：设每个支干长出x个小分支，则1+工+/=73，

解得:Xi—8,立2=-9（舍去），

,每个支干长出8个小分支.

故答案为：8.

根据题意，找到等量关系为：主干1+支干数目+支干数目x支干数目=73,设每个支干长出x个小分支，

列出方程1+2+/=73，解方程即可.

考查一元二次方程的应用，得到总数73的等量关系是解决本题的关键.

13.【答案】0或1

【解析】解：有两种情况：

①当机=0时，函数为g=2c+1,

,图象为一条直线，与x轴有一个交点，

/.m=0;

②当巾#0时,y=mx2-\-2x+1的图象与x轴只有一个公共点，

令g=0,则?n/+2%+1=o,

「.△=4一4m=0,

解得：m=L

故答案为：0或1.

有两种情况：①当加=0时，函数为U=2i+1,是一条直线则与X轴有一个交点，②当皿彳0时，则

mx2+2/+1=0的△=0即可求得.

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本题考查了函数的图象与坐标轴交点的问题，特别是一元二次方程的根的判别式，理解题意，灵活运用所

学知识是解决问题的关键.

14.【答案】20

【解析】解：由题知，

C£＞垂直平分N5,

所以圆弧所在圆的圆心在CD延长线上.

连接4。，

因为。C垂直平分A8,

所以AD=-AB=12(米).

设OO的半径为r米，

则0。=(r—4)米.

在中，

122+(r-4)2=r2,

解得T=20,

所以这个弧形石拱桥设计的半径我20米.

故答案为：20.

根据题意，利用垂径定理及勾股定理即可解决问题.

本题考查垂径定理，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键.

15.【答案】沙=川+1

【解析】解：y=/一22+2=(c-1y+1,

则将抛物线y=x2-2x+2向左平移1个单位长度，

得到的抛物线的解析式为：y=(x-l+l)2+l,

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即g=/+1.

故答案为：y=x2+1.

首先配方得出二次函数顶点式，进而利用二次函数平移规律得出答案.

此题主要考查了二次函数图象的平移，正确利用配方法求出二次函数顶点式的形式是解题关键.

16.【答案】（-14,0）

【解析】解：连接P。，

AAPB=90°，

•.•点/、点3关于原点。对称，

：,AO=BO,

：.AB=2PO,

若要使取得最大值，则尸O需取得最大值，

连接OW,并延长交0Al于点P，当点尸位于P位置时，op取得最大值，

过点M作轴于点Q,

则OQ=6、MQ=8,

/.OM=10,

又：MP'=T=4,

：,OP1=M。+MP'=10+4=14,

AB=2OP1=2x14=28;

二.A点坐标为（—14,0）,

故答案为：（—14,0）.

由RtZVLPB中4B=20P知要使A8取得最大值，则P。需取得最大值，连接OM,并延长交⑷“于点P',

当点尸位于P位置时，OP取得最大值，据此求解可得.

本题主要考查点与圆的位置关系，得出AB取得最大值时点尸的位置是解答本题的关键.

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17.【答案】解：(1)力2—6力一4=0,

/—6/=4，

/—6/+9=13，

(力—3)2=13,

.•.2-3=土属，

/.Xi-VT3+3,/2=—A/13+3;

(2)2/—7力一4=0,

其中Q=2,b=—7,c=-4,

7±y(-7)2-4x2x(-4)

X~2x2

."i=4,电=-1；

(3)3/(力—2)=26一4,

3x(x-2)-2(2-2)=0,

(力一2)(3/—2)=0,

c2

••二1=2,力2=Q；

o

⑷/—x—2=Q,

Q—2)(/+l)=0,

—2,X2——1•

【解析】(1)首先把二次项系数化为1,再把一元二次方程配成@+加)2="的形式，再利用直接开平方法

求解;

(2)首先找出方程中的a=1，6=-2^2，c=2,再利用求根公式代入计算即可;

(3)把方程右边化为0,再利用因式分解法把方程左边分解因式，再解即可;

(4)利用十字相乘法分解因式，即可解答;

此题主要考查了一元二次方程的解法，关键是熟练掌握因式分解

法、公式法、配方法解一元二次方程的步骤.

18.【答案】

【解析】解：(1)如图，即为所求.

(2)如图，△4B2G即为所求.

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点4(1,4),C2(-l,5).

⑶作点/关于x轴的对称点A，连接AC，交x轴于点P,连接/尸，

则P4+P。的最小值为PA+PC=AC=，42+42=472.

故答案为：4^2.

(1)根据中心对称的性质作图即可.

(2)根据旋转的性质作图，即可得出答案.

⑶作点/关于x轴的对称点A，连接AC，交x轴于点尸，则P4+PC的最小值即为PA+PC=AC，

在由勾股定理可得答案.

本题考查作图-旋转变换、中心对称、轴对称■•最短路线问题，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、轴对

称的性质是解答本题的关键.

19.【答案】解：(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x,

依题意得：20(1+a:)?=33.8,

解得：⑦1=0.3=30%,，2=—2.3(不符合题意，舍去).

答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%.

⑵33.8x(1+30%)=43.94(万件),

•.-43.94<45,

.•.若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件.

【解析】(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x,利用该快递公司今年4月份投递快递总件数=该快递

公司今年2月份投递快递总件数x(l+该公司投递快递总件数的月增长率产，即可得出关于x的一元二次方

程，解之取其正值即可得出结论；

(2)利用该快递公司今年5月份投递快递总件数=该快递公司今年4月份投递快递总件数X(1+该公司投递快

递总件数的月增长率)，可求出该快递公司今年5月份投递快递总件数，再将其与45万件比较后即可得出

结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

20.【答案】解：(1)证明：连接。及

CEA

第14页，共18页

・：OE=OB，

：.20BE=20EB,

-：BE平分/ABC,

：,AOBE=AEBC，

：,AEBC=AOEB,

.-.OE//BC,

：,AOEA=AACB,

•.,乙408=90°，

：,AOEA=90°，

•.•OX是00的半径，

.•.4。是G）O的切线；

⑵连接OF,作OWLBC于点M,

CEA

设0O的半径为R,则NOW。==/OE。=90°，BM=FM，

二.四边形OMCE是矩形，

：.CM=OE=R，（W=CE=3存

-：OM2+FM2=OF2>

.•.（3遮）2+国—3）2=必，

解得A=6，

BM=FM=CM-CF=3,

.•.OB=OF=BF=6,

：.△OBF是等边三角形，

.-.ZOBF=60%

-：OE//BC,

：.^AOE=AOBF=60°,

Z4=90°-ZAOE=30°,

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OA=20E=12,

AE=VOA2-OE2=V122-62=68，

60-7TX62

S阴影=S&AOE-S扇形ODE=]X6x1873-67r.

360

【解析】(1)连接OE,证明/。94=90°即可;

(2)由勾股定理求出半径，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可.

本题考查的是切线的性质，扇形面积计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于

经过切点的半径是解题的关键.

21.【答案】⑴(20+2劝，(20—外；

(2)设每盒售价降低x元，根据题意可知：

(20+2a:)(20-x)=400,

解得：3=0(舍去)，此=10,

,售价应定为70-10=60元,

答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元；

(3)设当每盒售价定为x元时，商家获得的利润为印元，

由题意可知:印=(20+2劝(20—劝

=-2/+2(te+400，

Q=—2<0，

抛物线开口向下，

当尤=—?=5时，少有最大值，即W最大值=450元，

2a

,售价应定为70—5=65元，

答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利