山西省古县、离石区、高县2024-2025学年高三年级下册期末考试数学试题（含解析）

山西省古县、离石区、高县2024-2025学年高三下学期期末考试数学试题高三期末试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有

一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略

不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）

A./6]B-[5CN'5]D•浮1

2.若直线y=A%—2与曲线y=l+31nx相切，则％=()

1

A.3B.-C.2D

3,2

3.已知i是虚数单位，若z=l+ai,zW=2，则实数。=()

A.—近或亚B.-1或1C.1D.V2

4.在AABC中，角所对的边分别为“,仇。，已知C=q,c=l.当a,。变化时，若Z=b+/la存在最大值,

则正数丸的取值范围为

(0,1)(0,2)(1,2)

A.B.C.D.(L3)

5.若复数z满足z=(2+i)(l_i)(i是虚数单位),则|z|=()

A.B.V10C.好D.V5

22

；1%

6.已知dx,N=[COSX办:，由程序框图输出的5为()

n儿~I-J.J

u0

7.已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A,B,C编号，现从中摸出3个球（除颜

色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母4,B,C的概率为（）

1719723

A.—B.—C.-D.—

2128928

8.下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（）

A.正方体B.球体

C.圆锥D.长宽高互不相等的长方体

9.下列不等式成立的是（）

A•吗〉C杉B.[J〉图…言叫万D.（W

10.已知函数/（x）=「一羽x"“（。＞0）,若函数8⑴=/⑴―4国有三个零点，则。的取值范围是（）

5—x,x〉a

A.（0,1）U[5,+s）B.（0,1）U[5,+＜»）

c.（1,5]D.（1,5]

22

11.若双曲线二-4=1（。＞0/＞0）的一条渐近线与直线6x—3y+l=0垂直，则该双曲线的离心率为（）

ab

A.2B.@C.D.2.73

22

jrJr

12.将函数/（x）=2sin（3x+0（O＜。＜]）图象向右平移3个单位长度后，得到函数的图象关于直线x=三对称，

83

7171

则函数“X）在一7,至上的值域是（)

OO

A.[-1,2]B.[―6,2]C.当,1D.[-72,2]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在△45C中，内角A,8,C的对边分别为a,4c,已知B=ga=2,b=/,则6c的面积为.

x+3y-3<0

14.已知实数（羽y）满足y+GO则点P（羽y）构成的区域的面积为—，2x+y的最大值为

y>-1

15.小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题

小李都会的概率为.

16.（5分）已知x为实数，向量a=（2,-1）,b=（1,%）,且;贝!!|2。+勿=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列｛%｝满足对任意都有2。”+1=4+。"+2,其前几项和为S,,,且S7=49,%是由与%3的等

比中项，％〈4.

（1）求数列｛4｝的通项公式％;

（2）已知数列也｝满足么=2%+，cn=a“d，设数列｛q,｝的前〃项和为7“，求”二型大于1000的最小的正整数〃

的值.

18.（12分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究

新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四

个季度）统计制成的频率分布直方图.

11频率

砺

----------

0.0125-------------------

081216202428万台

（1）求直方图中。的值，并估计销量的中位数；

（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计

2020年的销售量.

19.(12分)已知函数f(x)=|x+a|+|2x—l|(aeR).

(1)a=—1时，求不等式/(x)22解集;

(2)若/(x)<2x的解集包含于1,3,求。的取值范围.

20.(12分)已知=sinxcosx-cos2x~~»xeR.

(1)求函数/(%)的单调递增区间；

3

(2)△ABC的三个内角A、B、C所对边分别为。、b、c,若/'(A)=—Q且。=2,求AABC面积的取值范围.

21.(12分)在数列｛4｝中，弓=1,弓+2a2+3%+…+得“=°1人”〃+1，neN*

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若存在〃eN*，使得%<(〃+1)4成立，求实数彳的最小值

JT7T

22.(10分)如图，在AAOB中，已知NA05=—,ZBAO=-,AB=4,。为线段A5的中点，△AOC是由AAOB

26

绕直线AO旋转而成，记二面角5—AO—C的大小为a

(1)当平面CO£)J_平面A08时，求。的值；

27r

(2)当。=彳时，求二面角3—。。—C的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定

此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.

【详解】

当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.

此时椭圆长轴长为7122+62=6G，短轴长为6,

所以椭圆离心率e==2且，

V（6^15

故选：C

本题考查了楠圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

2.A

【解析】

373

设切点为（%,心-2）,对y=l+31irr求导，得到了=—,从而得到切线的斜率左=一,结合直线方程的点斜式化简

Xxo

得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】

设切点为（%,左％-2）,

,3—=左①，

,/_/=一，〈飞

%

烟）-2=1+31n/②，

由①得句；=3,

代入②得1+=1,

则%=1,k=3,

故选A.

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单

题目.

3.B

【解析】

由题意得，zl=(l+az)(l—力)=1+/，然后求解即可

【详解】

z=l+ai,.■.22=(1+勿乂1一切)=1+/.又：22=2，1+«2=2>**•a=±1.

本题考查复数的运算，属于基础题

4.C

【解析】

27rabc222

因为。=丁，。=1,所以根据正弦定理可得一二=「=「;=不，所以Q=^sinA,b=^sinB所以

3sinAsinBsinCJ3J3,3f

人2222…兀22

z=Z?+2ez=—^sinB+—^sinA=—^[sinB+2sin(----B)]=—^[(1-----)sinB+

A/373A/33A/32

^cosB]=-1.^l-1)2+(^)2sin(B+,其中tan0=g，0<B<1,

因为z=Z?+4a存在最大值，所以由5+敢=—卜2kit、keZ,可得2左TIH—<(/)<2kit~\—，左cZ,

262

所以tan”*，所以名>等，解得g<X<2,所以正数彳的取值范围为(g,2),故选C.

5.B

【解析】

利用复数乘法运算化简z,由此求得|z|.

【详解】

依题意z=2+i—2i—『=3—i，所以忖=,3?+(-1)?

故选：B

本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.

6.D

【解析】

；112几

试题分析：M=\---dx-ln(x+1)|=In2,N=[cosAzZx=sinx|2=1，所以AfvN,所以由程序框图输出

Jr+1()J

o“十,u°n

的S为ln2.故选D.

考点：1、程序框图；2、定积分.

7.B

【解析】

首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母4,B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A,

B,C”，记事件“恰好不同时包含字母4，B,C”为E，利用对立事件的概率公式计算可得；

【详解】

解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为C；=84(个)，

则事件“恰好不同时包含字母4，B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A,B,C”

3319

记事件“恰好不同时包含字母A,B,C”为E,贝UP(E)=1-*=石.

(✓n28

故选：B

本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题.

8.C

【解析】

根据基本几何体的三视图确定.

【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是

全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.

故选：C.

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

9.D

【解析】

根据指数函数、对数函数、塞函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.

【详解】

,__„17T.11

对于A，*/0<一<一,sin—<cos—,A车曰快；

2422

/、为--

对于3,在R上单调递减，B错误;

对于C,vlogI!=log23>l,log11=log32<l,.-.log,|>logjI，c错误;

IJ.

对于D,=j在R上单调递增，°正确.

故选：D.

本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幕函数的

单调性.

10.A

【解析】

分段求解函数零点，数形结合，分类讨论即可求得结果.

【详解】

作出y=—-x和y=5-x,y=4|x|的图像如下所示：

函数g(x)=/(x)—4W有三个零点，

等价于y=/(x)与y=4|x|有三个交点，

又因为。>0,且由图可知，

当xWO时丁=/(可与y=4忖有两个交点A,O,

故只需当x>0时，y=/(X)与y=4国有一个交点即可.

若当x>0时，

ae(0,1)时，显然口=匚(口)与口=4|口有一个交点口，故满足题意;

。=1时，显然□=□(口)与口=4|口没有交点，故不满足题意；

ae(l,5)时，显然□=□(口)与口=4|口也没有交点，故不满足题意;

ae[5,+8)时，显然y=/(x)与y=4|%|有一个交点C,故满足题意.

综上所述，要满足题意，只需oe(0,l)U[5,+8).

故选：A.

本题考查由函数零点的个数求参数范围，属中档题.

11.B

【解析】

由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合°?=4+^,构造齐次关系即得解

【详解】

22

双曲线1一2=1(。＞03＞0)的一条渐近线与直线6%—3丁+1=0垂直.

ab

・••双曲线的渐近线方程为歹=±g%.

得4/一〃2=J_〃2

a24

则离心率e=£=亚

a2

故选：B

本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

12.D

【解析】

由题意利用函数、=羔皿0尤+9)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.

【详解】

JT

解：把函数f(x)=2sin(3尤+。)(0＜。＜乃)图象向右平移了个单位长度后,

8

3x-四+

可得y=2sin(P的图象;

8

7T

再根据得到函数的图象关于直线X=—对称,

3

:.3x---+(p=k7r+—,kwZ,

382

7乃7

...(p---函数/(x)=2sin|3x+兀、

8

7171715万加1

在上，3x+—e,「.sin3x-—eF'l'

8万'彳I8J

故f(x)=2sin^3x--je[-A/2,2],即f{x}的值域是,

故选：D.

本题主要考查函数y=Asin(ox+°)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.B

2

【解析】

由余弦定理先算出c,再利用面积公式5=工。。5由3计算即可.

2

【详解】

由余弦定理，得=4+/-2〃ccos5，即3=4+02-2°,解得。=1,

故AABC的面积S=—acsinB=^--

22

故答案为：昱

2

本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.

14.811

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.

【详解】

不等式组表示的平面区域如下图所示：

数形结合可知，可行域为三角形，且底边长6。=8,高为2，

故区域面积S=^x8x2=8；

2

令z=2x+y,变为y=-2x+z,

显然直线y=—2x+z过5(6,-1)时，z最大，故分皿=2x6—1=11.

故答案为：8；11.

本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.

1

15.-

2

【解析】

从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.

【详解】

由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有仁=6种，

小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有穹=3种，

C1

所以其概率为，■二7.

C；2

故答案为：一

2

此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.

16.5

【解析】

由a=(2,—1),b—(1,x),且〃_!_》，得。•万=2—%=0,解得％=2,则2a+《=2(2,-1)+(1,2)=(5,0),则

|2a+Z>|=752+02=5.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)an=2n-l(2)4

【解析】

⑴利用2a+。〃+2判断｛4｝是等差数列，利用§7=49,求出%=7,利用等比中项建立方程，求出公差可得.

(2)利用｛4｝的通项公式求出d=22R=4",g=(2〃—114",用错位相减法求出北=9+色言x4"M,最后

建立不等式求出最小的正整数.

【详解】

解：(1)：任意〃eN*都有2a“+i=a”+an+2,

二数列｛4｝是等差数列，

57=49,.\7/=49,二%=7,

又・・・。3是%与％3的等比中项，设数列｛%｝的公差为d，且d>0，

贝式7—d)2=(7—3d)(7+9d),解得d=2,

/.。］=7—3d=l,

:.c1n-1+2^7?—1)=2〃—1；

(2)由题意可知d=22"=4n,c„=(2«-l).4\

I2

.-.7；i=lx4+3x4+?+(.〃—Jx1①，

47；,^1X42+^X43+?+(n-)xn+1@,

①-②得：—弱；244小干+2*邓+?+x"―(n-)xn+1,

:.T=—+-^^x4n+1,

"99

.9T"-2°_4=+i_22"+2

6n-5

由97；-20>10()0得，22"+2〉io。。，

on-5

/.2n+2>10,

/.n>4,

•・・满足条件的最小的正整数九的值为4.

本题考查等差数列的通项公式和前九项和公式及错位相减法求和.(1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列｛4｝中，

%、d是最基本的两个量，一般可设出%和d,利用等差数列的通项公式和前九项和公式列方程(组)求解即可.(2)错位

相减法求和的方法：如果数列｛4｝是等差数列，｛£｝是等比数列，求数列｛。"・2｝的前几项和时，可采用错位相减法,

一般是和式两边同乘以等比数列｛%｝的公比，然后作差求解；在写“SJ与"qSj的表达式时应特别注意将两式“错项对

齐”以便下一步准确写出“S”的表达式

18.(1)«=0.1125,中位数为16；(2)新能源汽车平均每个季度的销售量为17万台，以此预计2020年的销售量约

为17万台.

【解析】

(1)根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出。的值，利用中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得销

量的中位数的值；

(2)利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，相加可得出销量的平均数，由此可预计2020年的销售量.

【详解】

(1)由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，

则(0.0125+a+0.075+0.025x2)x4=l,解得a=0.1125,

由于(0.0125+0.1125)x4=0.5,因此，销量的中位数为16；

(2)由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量为

10x0.05+14x0.45+18x0.3+22x0.1+26x0.1=17(万台)，

由此预测2020年的销售量为17万台.

本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.

「41「3一

19.(1)(-oo,0]IJ-,+°oI(2)-2,--

【解析】

(1)代入a=—1可得I%—11+12x—122对x分类讨论即可得不等式的解集；

(2)根据不等式在1,3上恒成立去绝对值化简可得|x+a|Wl再去绝对值即可得关于。的不等式组解不等式组即可

求得。的取值范围

【详解】

(1)当a=—1时，不等式/(x)22可化为|x—l|+|2x—1注2,

①当xW，时，不等式为1—x+1—2x22,解得尤<0；

2

②当!<x<l时，不等式为1—x+2x—122,无解；

2

4

③当xNl时，不等式为九一1+2光一122,解得

综上，原不等式的解集为(-s,0]Ug，+8)

(2)因为/(x)<2x的解集包含于1,3,

则不等式可化为Ix+a\+2x—1K2x,

即|x+a区1.解得一Q-1<X«-Q+1,

।1

—Q—1>-3

由题意知<2，解得一2«〃《—，

-a+l<3乙2

3

所以实数。的取值范围是-2,一二

2

本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.

20.(1)1—]+左肛耳+左》)£Z)；(2)

【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数y=/(x)的解析式为〃x)=sin2%一£—1,然后解不等式

--+2^<2%--<-+2^(^eZ),可求得函数y=f(x)的单调递增区间；

262

32乃

(2)由/(A)=-万求得A=y利用余弦定理结合基本不等式求出be的取值范围，再结合三角形的面积公式可求

得△ABC面积的取值范围.

【详解】

因此，函数y=/(x)的单调递增区间为［一%■+左犯§+左"J(左ez)；

(2)由题意/(A)=sin(2A—71—l=—|,则sin[2A—看)=一;,

7i,7i117r-,乃7".”口，2乃

,,,0<A<7T,----<2A<,2A=—,解侍A=—.

666663

4

由余弦定理得4=42=〃+02-2)ccosA=Z?2+°2+bcN3Z?c，又•；Z2c>0,，0<沙。《§,

当且仅当3=c时取等号，

所以，△ABC的面积S=—bcsinA=e0,-^—.

243

本题考查正弦型函数单调区间的求解，同时也考查了三角形面积取值范围的计算，涉及余弦定理和基本不等式的应用,

考查计算能力，属于中等题.

l,n=l

21.(1)an=<Wx3"-2”

13

【解析】

~~^~a\得(两式相减可得｛叫是从第二项

(1)由q+22+3a3+…+m1tln+4+24+3/+...+(n—l)an_l=—2n,

开始的等比数列，由此即可求出答案;

(2)+分类讨论，当“22时，~^=2><3作商法可得数列为递增数列,

n+1n+1n(n+1)[〃+1J

由此可得答案，

【详解】

72+1H

尚军：(1)因为4+2g+3%+…+"%——-—〃〃+]，••4+2%+3