高考数学一轮复习：平面解析几何之双曲线讲义

高考数学一轮复习讲义平面解析几何之双曲线

一、知识点讲解及规律方法结论总结

1.双曲线的定义和标准方程

(1)定义

在平面内到两定点％用的距离的差的①绝对值等于常数(小于II且

大于零)的点的轨迹叫做双曲线.定点£,£叫做双曲线的②焦点，两焦点

间的距离叫做③焦距.

集合语言：P=｛M\I\MF,\-\MFAI=2a,2a<I££I｝,IF,F2I=2c,

其中a,c为常数且a>0,c>0.

a.当2a=2c时，P点的轨迹是④两条射线；

b.当2a>2c时，夕点轨迹不存在.

(2)标准方程

22

a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为⑤=一4=1«

>0,，>0)；

22

b.中心在坐标原点，焦点在二轴上的双曲线的标准方程为⑥固一意=1(a

>0,6>0).

规律总结

焦点位置的判断

在双曲线的标准方程中，看V项与/项的系数的正负，若V项的系数为正，则

焦点在x轴上；若/项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，

焦点随着正的跑”.

思维拓展

双曲线的第二定义、第三定义

双曲线的第二定义：｛夕|兰普=e,e>L庶1,其中b为定点，,为定直线，e

为离心率，d为点P到直线/的距离｝.

双曲线的第三定义：｛P\kpB=S—l,e>l,其中厩，厘分别表示点P与两

定点N,8连线的斜率，e为离心率｝(注意，此时确定的双曲线不包含两个顶

点，且焦点在x轴上).

2.双曲线的几何性质

(1)双曲线的几何性质

2222

标准方程今一3=1（a>0,6>0）彳一a=1（a>°，6>0）

azbzazbz

图形

标准方程

范围IxINa,y©RIyINa,x©R

对称性对称轴：⑦x轴，y轴；对称中心：⑧原点

一⑨(一c,0),月⑩――⑪(0,—c),一⑫(0,

焦点

(c,0)c)

顶点4(—a,0),Ai(a,0)4(0,—a),A2(0,a)

几］线段44,人民分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为⑬2a,虚

何轴长为⑭2b；实半轴长为a,虚半轴长为6

性焦距"0I=⑮2。一

，、离心e=⑯：=J1+卜，e©⑰(1,+8)

渐近线直线饱v=±-x直线⑲尸±白

UD

a,b,

ca=@）c—l）

的关系

(2)特殊双曲线

等轴双曲线共辗双曲线

如果一双曲线的实轴和虚轴分别是另一

定实轴长与虚轴长相等的双曲线叫

双曲线的虚轴和实轴，那么这两个双曲

义做等轴双曲线.

线互为共辗双曲线.

(1)a=b；(2)e=V2；(1)它们有共同的渐近线；(2)它们

性

(3)渐近线互相垂直；(4)等的四个焦点共圆；(3)它们的离心率的

质

轴双曲线上任意一点到中心的距倒数的平方和等于1.

离是它到两焦点距离的等比中

项.

常用结论

1.双曲线的焦点三角形与焦半径

22

R,£分别为双曲线七一9=1«>0，力>0)的左、右焦点，点尸是双曲线上

一点，则

2

(1)h其中"为/"空.

(2)△冏月内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a.

(3)当点P(刘，如)在双曲线右支上时，IPRI=ex0+a,IPF2I=ex0—

a；当点P(%(),%))在双曲线左支上时，IPRI=—exQ—a,IPF2I=-ex0+a.

(4)当点夕在双曲线右支上时，|冏|.=a+c,IPF,Imin=c-a.

2.双曲线中两个常见的直角三角形

14

■1

22,,

如图所示，R,月分别为双曲线为一为=1(a>0,力>0)的

a2b2

左、右焦点，/为右顶点，过点£向渐近线引垂线，垂足为C,

1...

过点/向X轴引垂线交渐近线于点8,则△。阳丝△力如，且

有|%|=|如|=a,\F2C\=\AB\=b,\0F2\=\0B\=c.

二、基础题练习

1.下列说法正确的是(D)

A.平面内到点月(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹

是双曲线

22

B.关于x,y的方程二一匕=1(而7>0)表示焦点在x轴上的双曲线

mn

c.双曲线卷一9=1的渐近线方程是_/=±|才

D.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于企

2.［浙江高考］渐近线方程为x土y=0的双曲线的离心率是(C)

A.—B.1C.V2D.2

2

解析因为双曲线的渐近线方程为X士y=0,所以无论双曲线的焦点在x轴上

还是在y轴上，都满足a=5,所以c=V^a,所以双曲线的离心率e=*=V^.故

a

选C.

3.［2023北京高考］已知双曲线。的焦点为（一2,0）和（2,0）,离心率为

22

V2,则C的标准方程为1一乃=1.

解析解法一因为双曲线。的焦点为（一2,0）和（2,0）,所以c=2,且

焦点在x轴上.又离心率e=V^,所以£=/，所以a=V^,则力z=c2—a2=2,

a

22

所以双曲线。的标准方程为卷一5=1.

解法二因为双曲线。的离心率6=e，所以该双曲线为等轴双曲线，即且=

6.又双曲线。的焦点为（一2,0）和（2,0）,所以c=2,且焦点在X轴上，

所以a2+b2-2=4,所以&2=8=2,所以双曲线。的标准方程为:2一三2=1.

22

4.已知等轴双曲线过点（5,3）,则该双曲线方程为J—J=1.

解析设双曲线方程为V—7=入（入W0）,将（5,3）代入方程，可得入=

22

52-32=16,所以双曲线方程为V—4=16,即上一匕=1.

1616

22

5.［教材改编］设双曲线^—2z=1">0）的焦点为A,F2,夕为双曲线上的一

9b

点，若I郎I=5,则I阳I=11.

22

解析由双曲线的方程3—3=1（力>0）,可得a=3,根据双曲线的定义可知

\PF±\-\PF2\=±2a=±6,又I掰I=5,则I咫I=11.

22

6.已知双曲线C：^-=1（a>0,3>0）的焦距为4g,实轴长为4/，贝|

双曲线。的渐近线方程为&X土尸0.

解析由题意知，2c=4V3,2a=4V2,则b=Jc2—a2=2,所以。的渐近线方

程为y=±-^=土&x,即V^x±y=0.

b

三、知识点例题讲解及方法技巧总结

命题点1双曲线的定义及应用

22

例1（1）［全国卷HI］设双曲线。：3=1（a>0,a>0）的左、右焦点分

a2-b2

别为&&离心率为遮.P是。上一点，且.若△跖£的面积为4,则

a=（A）

A.1B.2C.4D.8

解析解法一设I阳I=〃\PF2\=n,P为双曲线右支上一点，则由双曲

线的定义得加一〃=2a.由题意得SzwFiFzu/AHd,且必2+〃2=4犬=（ffl—77）2+

2ffl/7=4a2+16,又6=£=而，故4=^^=5,所以a=l,故选A.

aazaz

h2八

解法二由题意及双曲线焦点三角形的结论，得SPFF=』=4,得8=4,

△ZX产”2tan45°

2

又三=5,C=1J+^,所以a=l.

az

（2）已知圆a：（x+3）2+/=1,G：（X—3）2+y=9,动圆〃同时与圆a

和圆G相外切，则动圆圆心〃的轨迹为（C）

A.双曲线B.椭圆

C.双曲线左支D.双曲线右支

解析设动圆〃的半径为r,由动圆"同时与圆G和圆G相外切，得I第I=

1+nIMQI=3+nI眈I—I阳I=2V6,所以动圆圆心〃的轨迹是以

点G（—3,0）和。2（3,0）为焦点的双曲线的左支.

方法技巧

1.双曲线定义的主要应用

（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为双曲线；

（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.

2.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义以及余弦定理.

2

训练1（1）已知月是双曲线。：菅一/=i右支上一点，直线/是双曲线。的

一条渐近线.p在/上的射影为a6是双曲线。的左焦点，则I跖I+"6

的最小值为（D）

A.1B.2+—

5

C.4+WD.2V2+1

解析设双曲线的右焦点为&因为I冏I—I咫I=2V2,所以I必；I=

2V2+\PF2\,\PF,\+\PQ\=2V2+\PF2\+\PQ\.当且仅当Q,P,£

三点共线，且P在Q,£之间时，I咫I+I凰I最小，且最小值为点£到直

线1的距离.点打到直线1的距离d=\,故I可I+I件"的最小值为2遮十

1,故选D.

(2)已知月，£分别为双曲线C：/=2的左、右焦点，点p在。上，

NF阳=60°,则△月阳的面积为2遮.

解析解法一不妨设点P在双曲线的右支上，贝1HMi—I坐I=2a=

222

2V2,在△£阳中，由余弦定理，得cos/RPE="乃।+JP&।TF/2I=4

所以I郎I•I阳I=8,所以50皿2咛|冏I•I咫I•sin60°=2V3.

22

解法二由题意可得双曲线。的标准方程为合一；=1,所以可得方2=2,由双

曲线焦点三角形的面积公式鼻可得S/\F1PF2=日=28.

2

命题点2求双曲线的标准方程

例2(1)已知定点/(—2,0),F2(2,0),N是圆0：系+/=1上任意一

点，点£关于点N的对称点为团线段的垂直平分线与直线£〃相交于点

P,则点P的轨迹方程是(B)

A.V+^=IB./-^=I

33

C.—+y=lD.--y=l

33

解析如图，当点〃在y轴左侧时，连接如阳,因为16m

=

|IF2MI=1,所以IF2MI=2,由/W所在直线为线段姐的一--x

垂直平分线，可得I跖I=I网I=I二I—I£加=I"f

PF2I-2,所以I阳I—I郎I=2<IF,F2I=4.同理，当点。在y轴右侧

时，I郎I—I阳I=2<IF1F2I=4.故点月的轨迹是以R,£为焦点的双曲

2

线，对应的方程为f一7=1.

22

（2）［2023天津高考］双曲线京一会=1（a>0,力>0）的左、右焦点分别为

R,£.过月作其中一条渐近线的垂线，垂足为£已知I阳I=2,直线期的

斜率为圣则双曲线的方程为（D）

23222

xvXv

A.---=1B.---=1

8448

2222

C.L—匕=1D.±—匕=1

4224

解析解法一由题意可知该渐近线方程为尸〉直线阳的方程为尸一£

2

X_--a,

（…），与尸川关立并解得即夕（贮，-）.因为直线阳与渐近

ab

y=-^

线尸"垂直,所以阳的长度即为点£（c,0）到直线（即bx-ay=

a

0）的距离，由点到直线的距离公式得IPF|=y^=-=b,所以6=2.因

2la2~hb2C

ab

为4i0）,P%2,争，且直线历的斜率为中r，所以舌;二去r化简

得察又b=2,+4,所以占=乌整理得a?—2V^a+2=0,

a2+c242az+44

222

即（a—鱼）=0,解得a=V^.所以双曲线的方程为三一?=1,故选D.

解法二因为过点£向其中一条渐近线作垂线，垂足为R且I郎I=2,所以

6=2,（双曲线中焦点到渐近线的距离为b）

22

再结合选项，排除选项B,C.若双曲线方程为土一一=1,则£（-2V3,0）,

84

£（2V3,0）,渐近线方程为y=土'x,由题意可知该渐近线方程为

则直线空的方程为y=-四（x-2V3）,与渐近线方程尸争联立，得P

（竽，乎），则如&=,又直线期的斜率为鼻所以双曲线方程：一［=1

33154o4

不符合题意，排除A.故选D.

方法技巧

求双曲线标准方程的两种方法

1.定义法

先根据双曲线定义确定a,b,c的值，再结合焦点的位置求出双曲线方程.

2.待定系数法

(1)先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由题中条件确定才，

6,的值；若不能确定焦点位置，可以设双曲线的方程为勿4+〃炉=1(腼<0).

(2)常见设法

2222

①与双曲线号一卷=1(a>0,6>0)共渐近线的双曲线方程可设为等一3=入

(<3>0,Z?>0,入WO);

2222

②与双曲线［―2=1(a>0,方>0)共焦点的双曲线方程可设为^—言7=1

az匕za*2—Ab2+/l

(—b2<A<3,且入WO).

训练2(1)［浙江高考］已知点0(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点月

满足伊川—|PB|=2,且P为函数/=314一如图象上的点，则|冰|=

(D)

A旁B.等C.V7D.V10

解析由I以I—I?I=2<IAB|=4,知点尸的轨迹是双曲线的右支，点

夕的轨迹方程为*—1=1(xNl),又尸3/4—源,所以/=§,所

以I0I=Jx2+y2=后+］=旧,故选D.

22

(2)与双曲线上一匕=1有相同的焦点，且经过点尸(3/，2)的双曲线的标

164

22

准方程为三v一yj三=1.

12o

解析解法一设所求双曲线的左、右焦点分别为£,&则£(-2V5,

2

0),F2(2V5,0),则I阳I—I空I=J(3V2+2V5)+4-

J(3V2—2V5)2+4=2-/12=2a,a=V12,/.A2=c2—a2=8,故双曲线的

丫2A.2

标准方程为三一5=1.

1Zo

22

解法二设所求双曲线的方程为一—入=1(-4〈入〈16).

16—A4+A

：双曲线过点夕(3或，2),...1，解得入=4.

16—Z4+A

22

故双曲线的标准方程为三一3=1.

128

命题点3双曲线的几何性质

角度1渐近线

例3(1)[2022北京高考]已知双曲线/+?=1的渐近线方程为

贝!Jm=—3.

2iV3

解析依题意得加＜0,4/--=0,±—X,解得m=~3.

—m3

22

(2)[2021新高考卷n]已知双曲线C：^-=1(a>0,40)的离心率e=

azbz

2,则双曲线。的渐近线方程为.

解析e=-=ll+(-)2=2,得'相,所以双曲线。的渐近线方程为y=

ayaa

+-x=±V3x

a

方法技巧

2222

(1)求双曲线J—2=1(a>0,6>0)的渐近线方程的方法：令自一2=0，

即得两渐近线方程为2±[=0,也就是尸±±x.

aba

22

(2)在双曲线J—3=1(a>0,6>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜

率4=±&满足关系式^=e2—1.

a

角度2离心率

例4(1)[2021全国卷甲]已知£是双曲线。的两个焦点，P为。上一点,

且NA阳=60°,I郎I=3I阴I,则。的离心率为(A)

A.yB.手C.V7D.V13

解析设I与I=m,IPFiI=3m,则I££I=

Im2+9m2—2x3mxmxcos600=夕勿，所以。的离心率e=-=—=

Ya2a

I&尸2I_77徵_77

\PF±\-\PF2\2m2'

22

（2）双曲线。：器一k=1（a>0,力>0）的左顶点为4右焦点为应过点/

的直线交双曲线。于另一点B,当郎工小时满足\AF\>2\BF\,则双曲线

离心率e的取值范围是(B)

A.(1,2)B.(1,-)

2

C.(-,2)D.(1,—)

22

解析由郎工期可得IBF\=-a,又I>2|跖|,|AF\=a+c,所以

a-\-c>2,—,即・即（才），两边同时除以才，

aa+ac>2^——,1+ac>21—

整理可得2e?—e—3<0,又e>L则lVe〈|.

所以双曲线离心率e的取值范围是（1,|）.

22

（3）[2023新高考卷I]已知双曲线C：^-=1（a>0,b>0）的左、右焦

a2bz

点分别为片，凡点/在。上，点方在p轴上，F^AIF^B,碗=一|用，则。

的离心率为萨.

解析解法一由题意可知，A（一c,0）,F2（c,0）,设N（豆，％）,B

（0,%）,所以不1=（为一c,ri）,F2B=（一c,%）,因为反?=一疗，

X1-C=-C,（%1=~C,u）

2即132所以/（能，一%）.

（%=—*，（%=—1为，

M=（%，一|K），FiB=（。，%），因为瓦才，瓦石，所以瓦了•后另=0,即

豺号光=0,解得羽=45

因为点4字,一%）在双曲线（上,所以薯一第=1，又吠=",所以震

16c2_]D|-|25(a2+d2)_16(a2+d2)_1,化简得与=g所以e2=l+m=g

9b2'9a29匕2az5az5

所以e=W.

解法二由前面解法一得/（|c,—J）,%=4*所以\AFA=

/Z5_LA2_LZ2164c24诏_\MC2,16C2_4A/5C\\_

J(/+c)+(—*)-J—+v-J—+—=-)AL7

J（1—C）2+（一9。）2=[?+等=修平=半，由双曲线的定义

可得“£一"£I=2a,即竽一等=2a,即生=a,所以双曲线的离心

方法技巧

1.求双曲线的离心率的方法

（1）直接利用公式求离心率：e=-=11+（-）\

a\a

（2）利用双曲线的定义求离心率：在焦点三角形£跖中，设./F\PFz=0,

/PFE=a,/"=B,则e=£=Hsine

a|\PF1I—IPF2IIIsina—sin^I

（3）构造关于a,b,c的齐次式求离心率：由已知条件得出关于a,b,c的齐

次式，然后转化为关于e的方程求解.

2.求双曲线离心率的取值范围的方法

（1）借助平面几何图形中的不等关系求解，如焦半径IPRI©[c—a,+8）

或1阳|©[a+c,+8）、三角形中两边之和大于第三边等；

（2）考虑平面几何图形的临界位置，建立关于a,c的不等关系求解.

角度3与双曲线性质有关的最值（范围）问题

22

例5（1）[全国卷II]设。为坐标原点，直线户a与双曲线C：京一弃=1«

>0,6>0）的两条渐近线分别交于〃£两点.若△勿£的面积为8,则。的焦

距的最小值为（B）

A.4B.8C.16D.32

解析由题意知双曲线的渐近线方程为y=±2*因为〃£分别为直线x=a与

a

双曲线。的两条渐近线的交点，所以不妨设。（a,b）,£（a,—b）,所以

aX|DEI=|xaX2/?=a^=8,所以d=a2+力2a力=16,当且仅当

a=6=2鱼时等号成立.所以c,4,2c,8,所以。的焦距的最小值为8,故选

B.

22

（2）已知双曲线C：今一3=1（a>0,b>Q）的两个顶点分别为4,4,F为

azbz

双曲线的一个焦点，6为虚轴的一个端点，若在线段筋上（不含端点）存在两

点X,鸟，使得N4X4=N4£4=],则双曲线的渐近线的斜率/的平方的取

值范围是（A）

A.(1,d)(1,国)

2B.2

(V3+i三)

C.(0,—2)D.2’2,

解析不妨设点尸为双曲线的左焦点，点8在y轴正半轴

上，则F（—c,0）,B（0,5）,直线"的方程为"一cy=—A.

如图所示，以。为圆心，44为直径作圆0,则X,2在圆。

上.

b>a,b>a,

由题意可知be7即,_______解得1<与〈且，即双

I_<a,川b222

lb2-hc2<Va+2b,。

曲线的渐近线的斜率N的平方的取值范围是（1,罟）.

方法技巧

求解与双曲线性质有关的最值（范围）问题的方法

1.几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性

质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.

2.代数法：构造函数或不等式，利用函数或不等式的性质求解.

22

训练3⑴[2023绵阳二诊]设双曲线C：,一会=1（a>0,^>0）的右焦点

为F,A,6两点在双曲线C上且关于原点对称，若IN6I=2I⑺|（。为坐标

原点），I/I=3IAF\,则该双曲线的渐近线方程为（A）

A.V6.Y±2y=0B.2x±V6y=0

C.2x±3y=0D.3x±2y=0

解析记/为双曲线。的左焦点，连接//，BF）,则人/关于原点对称，又

A,8也关于原点对称，所以四边形/%'为平行四边形，又I/刀|=2||,

所以四边形厂为矩形.因为“*=3I,所以II=3I"I,所

以II—I"I=2I"I=2a,所以I"I=a,\AF'\=3a.在

Rt△为尸'中，RFF+=|FP|2,所以，+（3a）2=（2c）2,所以d=

孚，又孑+6=九所以"字所以2=9，所以双曲线C：马一［=1（a>

22a2a"匕'

0,6>0）的渐近线方程为尸土*r,即V^x±2y=o,故选A.

（2）如图，设双曲线C：9=1的左、右焦点分别是月、用，点/是。右支

24

解析由双曲线G入2—些=1可得，=1,右2=24,所以犬=且2+力2=25,所以a

24

=1,c=5.由双曲线的定义可得\AFX\—\AF2\=2a=2,所以MAI=I

AF2I+2,所以IIIAF2I+^^+2.由双曲线的性质可知I

AF2I2c—a=4,令I/£I=b则224,所以IARI+'=l+±+2.令f

IAF2It

（t）=t+^+2（1三4）,则/Q）在［4,+8）上单调递增，（易忽视|AF?I

的范围，错误地使用基本不等式求最值）

所以当力=4时，/1（玲取得最小值4+：+2=7,此时点/为双曲线的右顶点

4

（1,0）,即II的最小值为7.故选C.

IAF2I

22

（3）［2023湖北省重点中学联考］若双曲线号一9=1（a>0,A>0）的右支上

azbz

存在两点4B,使△/四为正三角形（其中〃为双曲线的右顶点），则离心率

e的取取范围为（1,半）.

解析由题意，双曲线的渐近线方程为y=±£.要使该双曲线右支上存在两点

a

A,B,使△/阳为正三角形，则需过右顶点必且斜率为/的直线与双曲线的右

支有两个不同的交点，即只需斜率大于渐近线/=%的斜率，所以空>2,即力

a3a

<^-5,即62V所以c?〈才+#,即.又e>l,所以IVeV4三

四、命题点习题讲解

22

i.［命题点2隹国卷ni］已知双曲线a^-=i（a>o,力>o）的一条渐近线

azbz

方程为尸袅且。与椭圆5+1=1有公共焦点，则。的方程为（B）

久2y2久2y2

A.±-匕=1B.±—匕=1

81045

%2y2%2丫2

c.上一匕=1D.上一匕=1

5443

解析解法一根据双曲线。的一条渐近线方程为尸枭，可知口半①.因

2a2

22

为椭圆卷+?=1的焦点坐标为（3,0）和（一3,0）,所以a?+力2=9②，

22

根据①②可知a=4,6=5.所以双曲线。的方程为号一3=1.

45

解法二因为双曲线的渐近线方程为所以可设双曲线方程为9一?=

22

入（入>0）,即一一匕=1（入>0）.又因为双曲线。与椭圆有公共焦点（3,

4A5A

0）,（-3,0）,所以可得4入+5入=9,则入=1,所以双曲线。的方程为

次_"=］

45•

22

2.［命题点3角度3/024安徽合肥模拟］已知直线/过双曲线C,3一2=1«

az

>0,b>G）的左焦点£,与双曲线的左、右两支分别交于R0两点，月为双

曲线的右焦点，若（9+西）•讯=0,N9G（，口），则?的取值范围

为［逐，2近）.

解析如图，•・•（丽+丽）•配=0,・•・I帆I=I你I,”<

又IQF\|—IQF?I=2a=IPF\\,/•IPF\I=2a,IPF?I—

4a,不妨设/£咫=9,则有N£丝=n—2（n—。）

E［pn）,可得。©苧口），在△£/洱中，由余弦定理/'

可知，cos9=16a+4a—4c-E（—1,—i］,得7a飞（/<9才，则6a2V

16a22

8a2,即组［V6,2V2）.

a

22

3.［命题点3角度2/024全国高三模拟］已知双曲线公^--=1（a>0）的上

az8

焦点为吊点夕在双曲线的下支上，若N（4,0）,且I冏I+I为I的最小

值为7,则双曲线£的离心率为（D）

A.2或等B.3或等

C.2D.3

解析设双曲线少的下焦点为£(0,—c),则。=

Var+S,连接力£,PF2,如图，由双曲线的定义知，|朗|

~\PF2\=2a,即I郎I=I阳I+2a,

则I郎I+I为I=I阳I+I为I+2aNIAAI+2a=

V16+c2+2a=Va2+24+2a,

当且仅当4P,兄三点共线，即点夕位于夕'位置时，等号成立，

由题意可得人出+24+2a=7,解得a=l或a=§,

又7—2a=Va2+24＞0,所以a=g不满足题意，舍去，故a=l,则c=

不值=3,所以双曲线£的离心率为e=-=3.

a

故选D.

五、习题实战演练

22

1.[2024遂宁月考]已知双曲线二—2T=1（加＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，

mm+6

则双曲线的标准方程为（D）

y2y.2v2y.2

A.---=1B.---=1

2448

C./-^=lD.--^=1

828

22

解析由题意，得2标=后彳瓦解得勿=2,所以双曲线的标准方程为三一j

28

=1.故选D.

2.半径不等的两定圆Q,“无公共点（。，a是两个不同的点），动圆。与圆

a,a都内切，则圆心。的轨迹是（D）

A.双曲线的一支

B.椭圆或圆

C.双曲线的一支或椭圆或圆

D.双曲线的一支或椭圆

解析两定圆a,a无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设两定圆Q,

a的半径分别为打，8（打＞8）,圆。的半径为兄又圆。与圆a,a都内切，

则当两圆Q,。外离时，I00.I=R-n,IOQI=R-r2,：.\00,\-\OOA

=r-r2<IaaI,此时圆心。的轨迹是双曲线的一支；当两圆Q,“内含

时，IOQI=r-R,IOaI=R-r2,II+IOQI=r-r2>\aa\,

此时圆心。的轨迹是椭圆.故选D.

22

3.[2024深圳外国语学校月考]已知£,£分别是双曲线。：^-^=1(a>0,b

>0)的左、右焦点，过内的直线与双曲线。交于46两点.若力是破的中

点，豆BF」B%则该双曲线的渐近线方程为(A)

A.y=±2V3TB.y=±2V2x

C.y=+y/3xD.y=±V2T

解析连接AB\=\AF2\=m,则I力£I=I4£I+2a=〃+2a,

229

2

=IBF2I-2a=2m-2a,IBFrI+II=UfiI,BFj+

IBF2I之=IF/2I之，即(2T»—2a)2+/Z72=(〃+2a)2①，(2R—2a)2+W=

4c②，由①可得%=3a,代入②式化简得13a2=d,，12a2=4,.,.2=28，

a

・•.双曲线的渐近线方程为尸±-x=±2V3x故选A.

Q

2

4.[2024山西名校联考]双曲线。：^-y=l(a>0)的左、右焦点分别为A,

F2,4为。左支上一动点，直线月打与。的右支交于点8,且=3a,△力郎

与△郎£的周长相等，贝ijI££I=(B)

A.出B.延C/D.3

3333

解析点/在双曲线。的左支上，由双曲线的定义可知I||力£I=2a.

因为△/班与△明£的周长相等，所以|4B|+\AFr\+IBFJ=\BF±\+\BF2\+

IF/2I=|BFi|+\AF2\=\AB\+IF/2I，则有IEFI=2|四I+|必I—I

AF2I=4a.设双曲线。的半焦距为c,则2c=4a=2，a2+1,所以且=今所

以II=竽.故选B.

22

5.[2023济南摸底考试]已知双曲线C：台一白=1(a>0,，>0)的离心率为

azbz

V2,F\,£分别为。的左、右焦点，过£的直线与。的左支交于8两点，

若IN6I的最小值为4,则△/班周长的最小值为(C)

A.8B.12C.16D.24

解析因为双曲线的离心率为四，所以3=1+1=2,得a=4当弦N8与实轴

az

垂直时，IAB\的值最小，所以m=4,所以a=b=2.由双曲线的定义得I

a

AF2\-\AFA=2a,\BF2\-\BF,\=2a,所以I+|班I=|裕I

+I班I+4a=IAB|+4a,所以△力班的周长为2|四|+4a,因为a=

2,1四|的最小值为4,所以△力班周长的最小值为2X4+4X2=16,故选C.

22

6.[2024惠州市一调]设。为坐标原点，R,A分别是双曲线C：a一左=1

0,b>0)的左、右焦点，已知双曲线。的离心率为百，过£作一条渐近线的

垂线，垂足为尸，则(D)

IOPI

A.yB.2C.V3D.V6

解析由题意，不妨设a=l,则c=V3,b=y[2,所以IPRI=b=y/2,I

OP\=a=LcosN尸阳=*所以cosNR见u—cosN/3阳=一子.由余弦定理

可得，|用|2=|明|?+।冰।2—2।%।•।op\•cosN尸明=3+1—

2XV3X1X(一争=6,所以IPF、I=V6,所以需十=①.故选D.

cA,2

7.[全国卷口设£,内是双曲线G/一?=1的两个焦点，。为坐标原点，点夕

在。上且I=2,则△郎£的面积为(B)

7弓

A.-B.3C.-D.2

22

解析解法一设如£分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知片(-

2,0),£(2,0),又I0P\=2,所以|冰|=|班|=|阳|,所以

△必语是直角三角形，所以I跖一+I所一="£I2=出不妨令点P在双

曲线。的右支上，则有I阳I—I二I=2,两边平方，得I阳I』I跖一

—2|跖|•|二|=4,又I跖I?+I跖I2=16,所以I跖1•I二I=

6,则SAPF]F2=5।PFiI•IPF?I=5X6=3,(还可以直接利用S2xp&Fz=

WP电进行求解)

tan—--

故选B.

解法二设点刀的坐标为（&,力），因为IOP|=2,所以邸十呼=4,把%彼=

4一%代入双曲线方程得I%I=|，所以I££IT%I，由题意可

知|FEI=4,所以SapFi6=]*4X]=3.故选B.

22

8.[2024武汉部分学校调考]过双曲线区9一3=1（a＞。，力＞。）的左焦点尸

作圆/+y2=a2的一条切线，设切点为。该切线与双曲线£在第一象限交于

点/，若方=3而，则双曲线£的离心率为（C）

A.V3B.V5C.—