九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程测试题新版新人教版

Page11一元二次方程的应用测试题时间：90分钟总分：100题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）随州市尚市“桃花节”欣赏人数逐年增加，据有关部门统计，2024年约为20万人次，2024年约为28.8万人次，设欣赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是()A.20(1+2x)=28.8 B.28.8(1+x)2=20

C.20(1+x有x支球队参与篮球竞赛，共竞赛了45场，每两队之间都竞赛一场，则下列方程中符合题意的是()A.12x(x-1)=45 B.12x(x+1)=45 C.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为()

A.2-12 B.3-12 C.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边削减了1m，另一边削减了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长.设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为()A.(x+1)(x+2)=18

B.x2-3x+16=0

C.(x-1)(x-2)=18

D.某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程()A.560(1+x)2=1850 B.560+560(1+x)2=1850某市安排经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是()A.19% B.20% C.21% D.22%如图，某小区安排在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是(A.(32-2x)(20-x)=570 B.32x+2×20x=32×20-570

C.(32-x)(20-x)=32×20-570 D.32x+2×20x-2x一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x，则x满意()A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16 C.16(1+x)2=25某景点的参观人数逐年增加，据统计，2024年为10.8万人次，2024年为16.8万人次.设参观人次的平均年增长率为x，则()A.10.8(1+x)=16.8 B.16.8(1-x)=10.8

C.10.8(1+x)2=16.8如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA'等于(A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm．红米note手机连续两次降价，由原来的1299元降688元，设平均每次降价的百分率为x，则列方程为______．如图，是一个长为30m，宽为20m的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为______米.

原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为______．如图，在边长为6cm正方形ABCD中，点P从点A起先沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B起先沿BC和CD边向D点以2cm/s的速度移动，假如点P、Q分别从A、B同时动身，其中一点到终点，另一点也随之停止.过了______秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．

经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，依据题意可列方程是______．如图，EF是一面长18米的墙，用总长为32米的木栅栏(图中的虚线)围一个矩形场地ABCD，中间用栅栏隔成同样三块.若要围成的矩形面积为60平方米，则AB的长为______米.为了改善居民住房条件，我市安排用将来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2.若每年的年增长率相同且设为x去年2月“蒜你狠”风潮又一次来袭，某市蔬菜批发市场大蒜价格猛涨，原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策限制价格，4月大蒜价格下降了36%，恰好与涨价前的价格相同，则2月，3月的平均增长率为______．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发觉，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就削减10件.据此规律，请回答：

(1)当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？

(2)在上述条件不变，商品销售正常的状况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？

如图，在△ABC中，∠B=90∘，点P从点A起先，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点起先沿BC

以2cm/s的速度移动，假如P、Q分别从A、B同时动身：

(1)几秒后四边形APQC的面积是31平方厘米；

(2)若用S表示四边形APQC的面积，在经过多长时间S取得最小值？并求出最小值．

如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．

​

(1)假如要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？

(2)能否围成面积为60平方米的花圃？若能，恳求出AD的长；若不能，请说明理由．

“白马服饰城”某服装柜的某款裤子每条的成本是50元，经市场调查发觉，当销售单价是100元时，每天可以卖掉50条，每降低1元，可多卖5条．

(1)要使每天的利润为4000元，裤子的定价应当是多少元？

(2)如何定价可以使每天的利润最大？最大利润是多少？

四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）为进一步发展基础教化，自2024年以来，某县加大了教化经费的投入，2024年该县投入教化经费6000万元.2016年投入教化经费8640万元.假设该县这两年投入教化经费的年平均增长率相同．

(1)求这两年该县投入教化经费的年平均增长率；

(2)若该县教化经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2024年该县投入教化经费多少万元．

如图所示，已知在△ABC中，∠B=90∘，AB=6cm，BC=12cm，点Q从点A起先沿

AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B起先沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

(1)假如Q、P分别从A、B两点动身，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？

(2)在(1)中，△PBQ的面积能否等于10cm2

答案和解析【答案】1.C 2.A 3.C 4.C 5.D 6.B 7.A

8.D 9.C 10.B 11.11

12.1299×(1-x)13.1

14.10%

15.2或10316.50(1-x)17.12

18.10(1+x)19.25%

20.10%

21.解：(1)当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元，

即55-50=5(元)，

则每天可销售商品450件，即500-5×10=450(件)，

商场可获日盈利为(55-40)×450=6750(元)．

答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元；

(2)设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元．

则每件商品比50元高出(x-50)元，每件可盈利(x-40)元，

每日销售商品为500-10(x-50)=1000-10x(件)．

依题意得方程(1000-10x)(x-40)=8000，

整理，得x2-140x+4800=0，

解得x=60或80．

答：每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到800022.解：(1)设经过x秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米，

依据题意得：12BP⋅BQ=12AB⋅BC-31，

即12(6-x)⋅2x=12×6×12-31，

整理得(x-1)(x-5)=0，

解得：x1=1，x2=5．

答：经过1或5秒钟，可使得四边形APQC的面积是31平方厘米；

(2)依题意得，S四边形APQC=S△ABC-S△BPQ23.解：(1)设AD的长为x米，则AB为(24-3x)米，依据题意列方程得，

(24-3x)⋅x=45，

解得x1=3，x2=5；

当x=3时，AB=24-3x=24-9=15>11，不符合题意，舍去；

当x=5时，AB=24-3x=9<11，符合题意；

答：AD的长为5米．

(2)不能围成面积为60平方米的花圃．

理由：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，

于是有(24-3y)⋅y=60，

整理得y2-8y+20=0，

∵△=(-8)2-4×20=-16<0，24.解：(1)设裤子的定价为每条x元，

依据题意，得：(x-50)[50+5(100-x)]=4000，

解得：x=70或x=90，

答：裤子的定价应当是70元或90元；

(2)销售利润y=(x-50)[50+5(100-x)]

=(x-50)(-5x+550)

=-5x2+800x-27500，

=-5(x-80)2+4500，

∵a=-5<0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，

∴当x=80时，y最大值25.解：(1)设该县投入教化经费的年平均增长率为x，依据题意得：

6000(1+x)2=8640

解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去)，

答：该县投入教化经费的年平均增长率为20%；

(2)因为2024年该县投入教化经费为8640万元，且增长率为20%，

所以2024年该县投入教化经费为：y=8640×(1+0.2)=10368(万元)，

答：预算26.解：(1)设t秒后，△PBQ的面积等于8cm2，依据题意得：

12×2t(6-t)=8，

解得：t=2或4．

答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2．

(2)由题意得，

12×2t(6-t)=10，

整理得：t2-6t+10=0，【解析】1.【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)增长的次数，一般形式为a(1+x)n=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，n为增长的次数.设这两年欣赏人数年均增长率为x，依据“2024年约为20万人次，【解答】解：设欣赏人数年均增长率为x，那么依题意得20(1+x)2=28.8．

故选2.解：∵有x支球队参与篮球竞赛，每两队之间都竞赛一场，

∴共竞赛场数为12x(x-1)，

∵共竞赛了45场，

∴12x(x-1)=45，

故选：A．

先列出x支篮球队，每两队之间都竞赛一场，共可以竞赛123.试题分析：依据对称性可知：BE=FE，∠AFE=∠ABE=90∘，又∠C=∠C，所以△CEF∽△CAB，依据相像的性质可得出：EFAB=CEAC，BE=EF=CEAC×AB，在△ABC中，由勾股定理可求得AC的值，AB=1，CE=2-BE，将这些值代入该式求出BE的值．

设BE的长为x，则BE=FE=x、CE=2-x

在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=5

∵∠C=∠C，∠AFE=∠ABE=90∘

∴△CEF∽4.解：设原正方形的边长为xm，依题意有

(x-1)(x-2)=18，

故选：C．

可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x-1)m，宽为(x-2)m.依据长方形的面积公式方程可列出．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的学问，应熟记长方形的面积公式.另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．5.解：依题意得二月份的产量是560(1+x)，

三月份的产量是560(1+x)(1+x)=560(1+x)2，

∴560+560(1+x)+560(1+x)2=1850．

故选D．

增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，依据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是560(1+x)吨，三月份的产量是560(1+x)(1+x)=560(1+x)2，再依据第一季度共生产钢铁6.解：设原来的绿地面积为a，两年平均每年绿地面积的增长率是x．

a×(1+x)2=a×(1+44%)，

解得：x=0.2或x=-2.2，

∵x>0，

∴x=0.2=20%，

故选B．

等量关系为：原来的绿地面积×(1+这两年平均每年绿地面积的增长率)2=原来的绿地面积×(1+绿地面积增加的百分数)，把相关数值代入即可求解．

考查求平均改变率的方法.若设改变前的量为a，改变后的量为b，平均改变率为x7.解：设道路的宽为xm，依据题意得：(32-2x)(20-x)=570，

故选：A．

六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，依据草坪的面积是570m28.解：第一次降价后的价格为：25×(1-x)；

其次次降价后的价格为：25×(1-x)2；

∵两次降价后的价格为16元，

∴25(1-x)2=16．

故选：D．

等量关系为：原价×(1-降价的百分率)2=现价，把相关数值代入即可．

本题考查求平均改变率的方法.若设改变前的量为a，改变后的量为b，平均改变9.解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：

10.8(1+x)2=16.8，

故选：C．

设参观人次的平均年增长率为x，依据题意可得等量关系：10.8万人次×(1+增长率)2=16.8万人次，依据等量关系列出方程即可．

本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设改变前的量为a，改变后的量为b，平均改变率为x10.解：设AC交A'B'于H，

∵∠A=45∘，∠D=90∘

∴△A'HA是等腰直角三角形

设AA'=x，则阴影部分的底长为x，高A'D=2-x

∴x⋅(2-x)=1

∴x=1

即AA'=1cm．

故选B．

依据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA'H与△HCB'都是等腰直角三角形，则若设AA'=x，则阴影部分的底长为x，高A'D=2-x，11.解：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得

3(2x-6)(x-6)=240

解得x1=11，x2=-2(不合题意，舍去)

答：这块铁片的宽为11cm．

设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，剪去一个边长为3cm的小方块后，组成的盒子的底面的长为(2x-6)cm、宽为(x-6)cm，盒子的高为3cm，所以该盒子的容积为3(2x-6)(x-6)，又知做成盒子的容积是240cm312.解：设平均每次降价的百分率为x，

由题意得，1299×(1-x)2=1299-688．

故答案为：1299×(1-x)2=1299-688．13.解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30-2x)(20-x)=532，

整理，得x2-35x+34=0．

解得，x1=1，x2=34．

∵34>30(不合题意，舍去)，

∴x=1．

答：小道进出口的宽度应为1米．

故答案为：1．

设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为53214.解：设这两次的百分率是x，依据题意列方程得

100×(1-x)2=81，

解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)．

答：这两次的百分率是10%．

故答案为：10%．

先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的(1-x)，其次次降价后的售价是原来的(1-x)2，再依据题意列出方程解答即可．

本题考查一元二次方程的应用，要驾驭求平均改变率的方法.若设改变前的量为a，改变后的量为b15.解：设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，

当0<x<3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，

PB=6-x，BQ=2x，

所以S△PBQ=12PB⋅BQ=12×2x×(6-x)=8，

解得x=2或4，

又知x<3，

故x=2符合题意，

当3<x<6秒时，Q点在CD上运动，P在AB上运动，

S△PBQ=12(6-x)×6=8，

解得x=103．

故答案为：2或103．

设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2，分类探讨当0<x<3秒时，Q点在BC上运动，P在AB上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当3<x<616.解：由题意可得，

50(1-x)2=32，

故答案为：50(1-x)2=32．

依据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来5017.解：∵与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，

∴BC=MN=PQ=x米，

∴AB=32-AD-MN-PQ-BC=32-4x(米)，

依据题意得：x(32-4x)=60，

解得：x=3或x=5，

当x=3时，AB=32-4x=20>18(舍去)；

当x=5时，AB=32-4x=12(米)，

∴AB的长为12米．

故答案为：12．

由与墙头垂直的边AD长为x米，四边形ABCD是矩形，依据矩形的性质，即可求得AB的长；依据题意可得方程x(32-4x)=60，解此方程即可求得x的值，又由AB=32-x(米)，即可求得AB的值，留意EF是一面长18米的墙，即AB<18米．

考查了一元二次方程的应用中的围墙问题，正确列出一元二次方程，并留意解要符合实际意义．18.解：设每年的增长率为x，依据题意得10(1+x)2=12.1，

故答案为：10(1+x)2=12.1．

假如设每年的增长率为x，则可以依据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2”作为相等关系得到方程10(1+x)2=12.1．

本题考查数量平均改变率问题.原来的数量(价格)为a19.解：设2月，3月的平均增长率为x，依据题意得：

4(1+x)2(1-36%)=4，

解得：x=25%或x=-2.25(舍去)

故答案为：25%．

依据“原来单价4元/千克的大蒜，经过2月和3月连续两个月增长后，价格上升很快，物价部门紧急出台相关政策限制价格，4月大蒜价格下降了36%”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；20.解：设平均每次降价的百分率为x，依据题意列方程得

100×(1-x)2=81，

解得x1=0.1=10%，x2=1.9(不符合题意，舍去)．

答：这两次的百分率是10%．

故答案为：10%．

设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的(1-x)，那么其次次降价后的售价是原来的(1-x)2，依据题意列方程解答即可．

本题考查一元二次方程的应用，要驾驭求平均改变率的方法.若设改变前的量为a，改变后的量为b21.(1)首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利；

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