苏科版2024-2025学年九年级数学上册 圆周角（专项练习）（培优练）

专题2.11圆周角（专项练习）（培优练）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2024•浙江湖州•模拟预测）如图，A3是。。的一条弦，点C是A3的中点，连接AO,OC,BD//AO

交。。于点连接A。，若NABD=20。，则ZAZ汨的度数为（）

A.100°B.105°C.110°D.120°

2.（2024•湖北黄石三模）如图所示，弦A3,C。所对的圆心角分别是—A03,ZCOD,若NAOB与NCOD

互补，AB=8,CD=6,那么。。的半径为（）

A.5B.10C.5A/2D.5^

3.（2024・山东济宁•模拟预测）如图，AB是。。的直径，C,。是。。上的两点，连接AC,CD,AD,

若/ADC=75。，则一区4c的度数是（）

A.15°B.25°C.35°D.75°

4.（2024•河北邯郸•二模）如图，RtZSABC是工人李大爷自制的一个三角形纸板（厚度不计），已知

ABAC=9Q）°,=AC=10cm,李大爷将该三角形纸板放置在一个圆形工件上，使得顶点C都

在圆形工件的圆周上，将直角边A8与圆形工件圆周的交点记为点D,恰好发现CD=3D,则该圆形工件

的半径长为（）

A

A.10cmB.15cmC.20cmD.25cm

5.（2024•浙江温州•三模）如图，四边形ABCD内接于如果ZBOD的度数为124°,则NDCE的度数

为（）

C.62°D.60°

6.（23-24九年级上•河南三门峡•期中）如图，G）C过原点O,且与两坐标轴分别交于点48,点A的坐

标为（0,4）,点M是第三象限内圆上一点，ZBMO=120°,则。C的半径为（）

C.673D.2

7.（2024•辽宁辽阳三模）如图，OA=2,以Q4为半径，。为圆心作圆交射线4。于点8.仍以。4为半径,

分别以/和2为圆心作弧交。。于点C和。.顺次连接4C,B,D,则四边形AC5D的面积为（）

A.273B.473C.8D.12

8.（2024・福建厦门•二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生

产中广泛使用.如图，筒车的半径为2m,筒车上均匀设置了12个盛水筒，其中4B,C是相邻的三个

盛水筒，在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速运动.通过观察，当N离开水面时，C

恰好开始进入水中，每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，为使接水槽能够尽可能

A.(2+㈣mB.25/3mC.2mD.3m

9.（2024•湖北武汉•模拟预测）如图，A3是。。的直径，点£在。。上，垂足为C,AC=4,CE=40,

点G在。。上运动（不与£重合），点尸为GE的中点，则CP的最大值为（）

C.473D.8

10.（23-24九年级下•浙江杭州•阶段练习）如图，AABC是等边三角形，。。为AABC的外接圆，点。在劣

弧2C上，连结AD,BD,CD,并在AD上取点E,使得CD=£>E,连结CE.若CD=1,BD=2,则。。的

半径为（）

D.

2

、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.（2024・陕西・中考真题）如图，BC是。。的弦，连接。8,OC,NA是2C所对的圆周角，则/A与NOBC

12.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）如图，AABC内接于。。，AB=BC,ZABC=120°,为。。的直径,

AD=6,贝.

13.（2024・辽宁大连•一模）如图，A8是。。的直径，点C,。是。。上的两点.若WC=106。,则，C43

14.（23-24九年级下•江苏南京•期末）在0。中，AB=BC=CD，BELAD,FG=1,则。。的面积

为

15.（2024•安徽蚌埠•三模）如图，为半圆的直径，。为圆心，C、。为半圆弧上两点，且=

若NC4B=10。，则NC的度数为.

16.（2024•山西吕梁•模拟预测）如图，/是0。外一点，连接Q4交。。于点8,。是。4的中点，C是。。

上一点且满足CD=6©,分别连接AC,BE,CE,若NA=24。，则NE=.

17.（2024•江苏南京•模拟预测）如图，在半圆。中，点C在半圆。上，点。在直径AB上，将半圆。沿过

BC所在的直线折叠，使8c恰好经过点。.若BC=Ji6,BD=1,则半圆。的直径为.

18.（23-24九年级下•广东东莞•阶段练习）在直角4RC中，ZACB=90°,AC=4,3C=6,点尸是

内一点，满足NCBP=NACP,则R4的最小值为.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）（2024•安徽安庆一模）如图，四边形ABCD的四个顶点都在。。上，平分NADC,连接OC,

且OC_LBD.

⑴求证：AB=CD-,

(2)若CD=5,BD=8,求。。的半径.

20.（8分）（23-24九年级上•浙江•期末）如图，四边形ABCD内接于。。，分别延长BC,AD,使它们相

交于点£,AB=8,且DC=DE.

⑴求证：ZA^ZAEB.

（2）若Z£DC=90。，点C为助的中点，求。。的半径.

A

D

E

C

B

21.（10分）（2024・河北廊坊•二模）如图，AABC为等腰直角三角形，/ACS为直角，AC=3五,。在AB

的延长线上，且AB=3£）,DE_LAD于点。，过5,C,。三点的0。交OE于点/，连结CF.求。。的

半径.

探究：其他条件不变，将点C在圆上移动至点G,使AG=3G,求AG的长度.

22.（10分）（2024•浙江杭州•一模）如图，点N,B,C,D,E在。。上顺次排列，已知AB=3C,ZABD=ZBCE.

⑴求证：BD=CE；

（2）若直线AE过圆心。，设/BCE的度数为。，CO的度数为夕.

①当月=60时，求。的值；

②探索a和尸满足的等量关系.

23.（10分）（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）A3为。。的直径，弦C。交Q4于点不与。重合），且

AC=AD-

⑴如图1,求证：ABLCD；

（2）如图2,点P为3C上一点,.连接OC交于点F,FC=AC,求证：/BPC=2NPAC；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接BC交尸于点G,若BG=5,CE=6求。。的半径.

——

A'

图1图2图3

24.（12分）（23-24九年级上•全国•课后作业）"善思"小组开展”探究四点共圆的条件”活动，得出结论:对

角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.

D

图1

提出问题:

如图1,在线段AC同侧有两点5,D,连接AD,AB,BC,CD,如果=那么4B,C,D

四点在同一个圆上.

探究展示:

如图2,作经过点4C,。的。。，在劣弧AC上取一点E（不与C重合），连接AE,CE,则

ZAEC+ZD=180°（依据1）,

EI/B=ZD,0ZAEC+ZB=180°,

团点4B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）,

回点2,。在点4C,E所确定的。。上（依据2）,

团点4B,C,。四点在同一个圆上.

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1"、"依据2"分别是指什么？

依据1：;

依据2：.

（2）如图3,在四边形ABCD中，Z1=Z2,Z3=45°,则N4的度数为.

拓展探究：

（3）如图4,已知AABC是等腰三角形，AB=AC,点。在3C上（不与8C的中点重合），连接AD.作

点C关于AO的对称点E,连接£B并延长交AD的延长线于P,连接AE,DE,CE.求证：A,D,B,

E四点共圆.

参考答案：

1.C

【分析】连接0Q,根据圆周角定理可得NAOD=2NABD=40。，再根据等腰三角形的性质和三角形内角

和定理求得NADO=NQ4D=70。，由平行线的性质得NAOD=NO05=4O。，即可求解.

【详解】解：连接0Q,

团NABD=20。,

ZAOD=2ZABD=4Q°,

团AO=OD,

1800-40°

国ZADO=ZOAD=————=70°,

2

团3D〃AO,

^ZAOD=ZODB=40°,

团ZADB=ZADO+ZODB=70°+40°=110°,

【点拨】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握相关知

识是解题的关键.

2.A

【分析】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理，延长AO交O。于点E,连接班，由

ZAOB+ZBOE=ZAOB+NCOD知ZBOE=/COD,据此可得5£=CD,在RtzXABE中利用勾股定理求

解可得.

【详解】解：如图，延长AO交。。于点E,连接3E,

D

C

A7B

则ZAOB+Z.BOE=180°,

又国ZAO3+ZCOD=180°,

SZBOE=ZCOD,

0BE=CD=6,

EIAE为。。的直径，

0ZAB£,=9OO,

^AE=ylAB2+BE2=782+62=10>

回0。的半径=；AE=5,

故选A.

3.A

【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能

够灵活运用圆周角定理及其推论.

连结BC,根据直径所对圆周角可得/ACB=90°,由同弧所对圆周可求出/ABC的度数，利用直角三角

形两锐角互余求出/R4C的度数即可.

EIAB是。。的直径，

:.ZACB=90°,

^AC=AC

SZABC=ZADC='75°,

ABAC=90°-ZABC=90°-75°=15°.

故选：A.

4.A

【分析】本题考查等腰三角形的性质，30。角的直角三角形的性质，90。的圆周角所对的弦是直径，先根据

等边对等角的到=然后得到NADC=/3+NDCB,进而求出CD=2AC,然后根据CD是圆O

的直径即可解题.

【详解】解：SCD^BD,

0ZB=ZZ）CB=15°,

0ZADC=Zfi+Z£）CB=15°+15°=30°,

0CD=2AC=2xlO=2Ocm,

0ZBAC=90°,

EICZ）是圆。的直径，即半径长为10cm,

故选A.

5.C

【分析】根据圆周角定理可得NA的度数，由圆的内接四边形对角互补可得NA+N38=180。，又由

NDCE+/3CD=180。可得"CE=NA,从而可得—DCE的度数.

本题主要考查了圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

【详解】­.■ZBOD=124°,

ZA=-ZBOD=-xl24°=62°,

22

回四边形A3CD内接于。。，

ZA+ZBCD=180°,

•.•ZDCE+ZBCD^180°,

ZDCE=ZA=62°.

故选：C.

6.A

【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含30。角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，

根据圆内接四边形对角互补得到N54O=60。，再由90。的圆周角所对的弦是直径得到AB是直径，求出

04=4,进而求出AB=2Q4=8,是解题的关键.

【详解】解：回0、A、B、加都在圆上，ZBMO=120°,

0ZBAO=180O-NBMO=60°,

回404=90°,

团A3是。C的直径，NABO=30。，

0A（O,4）,

团。4=4,

团AB-2。4=8,

团。。的半径为4,

故选：A.

7.B

【分析】本题主要考查直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定，矩形的判定等知识，连接。氏。C,

证明AAOCQBOD是等边三角形，可得ZOAC=ZOBD=60。,根据直径所对的圆周角是直角得

NAO5=NACB=90。，由三角形内角和定理可得N8AD=30。,得N为C=90。,进一步证明四边形ABCD是

矩形，再计算面积即可

【详解】解：连接。民。C,如图，

由作图得，OA=AC=OC=OB=OD=BD=2,

回AAOCABOD是等边三角形，

SZOAC=ZOBD=6Q°,

回AB是0。的直径，

0ZAZ)B=ZACB=90°,

0ABAD=180。-90°-60°=30°,

0ADAC=Z.DAB+ABAC=30°+60°=90°,

0ABDA=ADAC=ZACB=90°,

回四边形A3CD是矩形，

又BC=yjAB2-AC2=742-22=2瓜

回矩形ABCD的面积为ACx=2x26=4区

故选：B

8.B

【分析】本题考查了圆周角定理的应用，勾股定理的应用.作出图形，求得AAOC是等边三角形，证明

C、。、M在同一直线上，利用圆周角定理和勾股定理即可求解.

【详解】解：接水槽距离水面的最大高度是指盛水筒离开水面开始倒水的位置，如图，

直线表示接水槽距离水面的最大高度的位置，即盛水筒/恰好转到M的位置倒水,

直线AB表示水面，筒车的圆心为。，则。4=OB=OC=2m,

由题意得ZA0B=ZBOC=4360丁°=30°,

0ZAOC=60°,

团AAOC是等边三角形，OA=AC=OC=2m,

回每个盛水筒经过水流用时3秒，离开水面6秒后水开始倒出，

国AM=2AC，

0ZAOM=1ZAOC=120°,

0ZAOM+ZAOC=180°,

团点C、O、M在同一直线上，

0CM为直径且CM=4m,

EINC4M=90°,

0AM=《CM?一AC?=2也(m),

回接水槽距离水面的最大高度是26m,

故选：B.

9.B

【分析】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点O,CE,尸四点共圆是解本

题的关键.

先判断出点O,CE,尸四点共圆，判断出C尸的最大值为OE,再求出OE即可求出答案.

【详解】解：如图，连接OE,OF,

回点尸是EG的中点，

团OF_LEG,

⑦NOFE=90。,

BCE1AB,

团NOCE=90。,

ZOCE+ZOFE=180°f

团点O,C,瓦方在以0E为直径的圆上，

回。上大值二°E,

在尺以。石。中，OC=OE-AC=OE-4,CE=442,

根据勾股定理得，OC2+CE2=OE2,

0(OE-4)2+(4近了=OE2,

团OE=6,

E1CP的最大值为6,

故选：B.

10.B

【分析】根据AABC是等边三角形，以及圆周角定理得出NADC=NABC=60。，从而证明ACDE是等边三

角形，求出CE>=CE=DE=1,再证明△ACEgA3CD(S4S),证出AE=3£>=2,过点C作C0LDE,算

出EM=L,CM=8,AB=AC=5,连接49,BO,过点。作。尸，AB,得出AF=也，再用勾股定理

222

即可解答；

【详解】回&4BC是等边三角形，

ZABC=ZACB=ABAC=60°,CA=CB

AC=BC>

ZADC=ZABC=60°,

・.・CD=DE,

团△CDE是等边三角形，

/.NDCE=6V,CD=CE=DE=',

QZACE+Z.BCE=60°,/BCE+/BCD=60°,

:.ZACE=ZBCD,

团AACE/ABCD(SAS),

:.AE=BD=2,

过点。作

贝ljEM=DM」0E」,CM=ylCE2-EM2=—

222

/.AC=y/AM2+CM2=112+1j+曰="

/.AB=BC=AC=近，

连接AQBO,过点。作。尸，AB,

则AO=BO,A/=3尸=工45=也，

22

QZAOB=2ZACB=120°,

:.ZOAB=30°,

...OA2=goA)+AF2,

解得：OA二叵.

3

故选：B.

【点拨】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质判定，特殊直角三角形，圆周角定

理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点.

11.90。/90度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的

关键.根据圆周角定理可得=结合三角形内角和定理，可证明2NA+NOBC+/OCB=180。，

再根据等腰三角形的性质可知ZOBC=ZOCB,由此即得答案.

【详解】是BC所对的圆周角，/3OC是BC所对的圆心角，

:.ZBOC=2ZA,

Z.BOC+AOBC+Z.OCB=180°,

2ZA+ZOBC+Z.OCB=180°,

-.-OB=OC,

:.NOBC=NOCB,

2ZA+Z.OBC+AOBC=180°,

:.2ZA+2ZOBC=1SO°,

ZA+ZOBC=90°.

故答案为：90°.

12.3G

【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，根据等角对等边以及

三角形内角和定理得出NACB=30。,进而得出？他D90?,NADF=NACB=30。，根据含30度角的直角

三角形的性质以及勾股定理，即可求解.

【详解】解：=ZABC=120°,

0ZACB=30°,

团AD为。。的直径，

07ABZ)90?,

又ZADB=ZAC3=30°,

13在RtZXA皮)中，AD=6,

SAB=-AD=3,

2

^BD=^AEr-AB1=而-学=

故答案为：373.

13.16°

【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆内接四边形性质、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互

余等知识，熟练掌握圆内接四边形性质、圆周角定理是解决问题的关键.连接BC,如图所示，由圆内接

四边形性质得到NABC=74。,再由直径所对的圆周角是直角及直角三角形性质即可得到答案.

【详解】解：连接3C,如图所示：

ZABC=180°-106°=74°,

•••A3是。。的直径，

:.ZACB=90°,

二NR4c=90°—74°=16°,

故答案为：16。.

14.3万

【分析】延长班交。。与X,连接。3,OC,利用垂径定理可得出AB=AH，利用圆周角定理等可得出

ZABE^ZBAC,NAO3=N3OC=NC8=60。，2ABD90?,利用余角的性质、等角对等边等得出

BF=GF=AF=1,利用含30。的直角三角形的性质，求出=EO=；BO,在RtABEO中，利用勾

股定理得出求出30,最后利用圆的面积公式求解即可.

【详解】解回延长BE交。。与〃，连接OB,OC,

团A3=A”，？ABD90?，

团AB=BC=CD，

0AB=BC=CD=AH，^AOB=ZBOC=/COD=180°=60°,

团NABE=NBAC,

又/BAE+/EBG=90。,/BAC+ZAGB=90。,

⑦ZEBG=ZAGB,

田BF=GF=l,

^ZABE=ZBAC,

^\AF=BF=1,

国NCOD=60。,

ZCAD=-ZCOD=30°

2f

BEF=-AF=-,

22

3

^\BE=BF+EF=-,

2

0BE1EO,ZAOB=60°,

SZ£BO=30°,

^EO=-BO,

2

XBE2+OE2=BO\

41：+/回、5。2，

0BO=\[3,

回00的面积为万•=3"，

故答案为：3万.

【点拨】本题考查了垂径定理圆周角定理，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添

加合适辅助线是解题的关键.

15.400/40度

【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的性质等知识.熟练掌握等边

对等角，直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的性质是解题的关键.

如图，连接8C,则NACB=90。，由AD=OC,可得/ACD=ND4C,由

ZACD+Z.CAB+ADAC+ZACB=180°,可得/ACD=血-(/03+/一俎,求解作答即可.

【详解】解：如图，连接5C,

团AB为半圆的直径,

0ZACB=9O°,

团AD=DC,

团NACD=/DAC,

团ZACD+ZCAB+/DAC+ZACB=180。，

180°-(ZCAB+ZACB)

0ZACD=--------------------------)-=40°,

2

故答案为：40°.

16.33。/33度

【分析】此题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理等知识，先证明ZACO=90。，再求出

ZAOC=90°-ZA=66°f根据圆周角定理即可得到答案.

【详解】解：连接OC,

BAD=OD,

⑦CD=OD

⑦AD=OD=CD

团ADAC=ZACD,ZDCO=ZCOD

团ZACO=ZACD+ZOCD=1(ZACP+ZCAD+ZOCD+ZCOD)=gx180。=90。,

0ZAOC=9O°-ZA=66°,

^\ZE=-ZAOC=33°

2

故答案为：33°

17.4

【分析】本题考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，结合半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角

定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点推理、正确计算

是解题的关键.利用弧、弦、圆心角的关系，证明CD=AC,根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角、

圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理列出一元二次方程3+；［-七］=（9『-5+1）2求

解，进而得出半圆0的直径即可.

【详解】解：如图，点。为圆心，过点C作C//J_A3交于点H,连接AC、OC、CD,

回在半圆。中，点C在半圆。上，点。在直径A3上，将半圆。沿过2C所在的直线折叠，使恰好经过

点,D,

回C。和AC是等圆中的圆弧，且所对的圆周角都等于/ABC,ZACB=ZCHB=90°,

回。。和4c所对的圆心角也相等,

^CD=AC>

团CD=AC,

又13s_LAB,BC=5,BD=1,

国设AH=DH=a,贝！J3"=a+1,

Afi1

AB=2a+l,AO=BO=CO=——二a+—,

22

OD=BO-BD=a+--1=a--,

22

OH=DH-OD=a-[a-g

2,

0CH2=CO"-OH2=BC2-BH1,

la+2-

整理得：2a2+3〃-9=0,

（2a-3）（a+3）=0,

团2a-3=0或。+3=。，

3

解得：％=；，出=-3（负值舍去），

3

团半圆0的直径A3=2?万1=4,

故答案为：4.

18.2

【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点尸位置，学会求

圆外一点到圆的最小、最大距离.首先证明点尸在以5C为直径的上，连接Q4与0。交于点尸,此时

最小，利用勾股定理求出。4即可解决问题.

【详解】解：EZACB=90°,

0ZBCP+ZPC4=9O°,

@NPBC=NPCA,

0ZCBP+ZBCP=90°,

0ZBPC=9O°,

团点尸在以3c为直径的。。上，连接。4交。。于点。，此时最小，

^OP=-BC=3,

2

在Rtz\C4O中，0ZOC4=9O°,AC=4,OC=-BC=3,

2

0（M=VOC2+AC2=V32+42=5-

回24=。4—OP=5—3=2.

故答案为：2.

19.⑴见详解

【分析】本题考由圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由圆周角定理、垂

径定理推出=C。，由垂径定理、勾股定理得到关于圆半径的方程.

(1)由角平分线定义得到=由圆周角定理推出AB=BC，由垂径定理推出BC=，得

到=由圆心角、弧、弦的关系推出AB=CD；

(2)连接08,0C与3。交于E,由垂径定理得至l]BE=DE=gx8=4,由勾股定理求出

CE=WD2-DE2=^^=3,设。。半径为人由勾股定理得到r=4?+(一3>,求出厂=一，即可得到圆

6

的半径长.

【详解】(1)证明：团05平分NAPC,

:.ZADB=ZCDB,

/.AB=BC，

・・•OC^BD,

BC=CD，

AB=CD，

AB=CD；

(2)解：连接。氏OC与3。交于石，

・.•OCLBD,

:.BE=DE=-xS=4,

2

\CE=yjCD2-DE2=V52-42=3，

OE=r—3,

■.■OB2=OE2+BE2,

.•.,二不+(—3)2,

25

r=

69

回。。的半径是弓25.

6

20.⑴见解析

(2)2石

【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，圆的基本性质等；

（1）根据圆内接四边形的性质得=再根据等边对等角可得再根据等量代换，即

可求解；

（2）连接AC,根据90。的圆周角所对的弦是直径得出AC为。。的直径，由等角对等边得AB=fiE=8,

根据勾股定理得AC=JAB2+BC2，即可求解；

掌握相关的性质，能由皿C=90。找出连接AC的辅助线是解题的关键.

【详解】（1）证明：・•・四边形A3CD内接于。。，

0ZA+ZBCD=180°,

0ZBCD+ZDCE=180°

：.ZA=ZDCE,

•/DC=DE,

:.ZE=ZDCE,

:.ZA=ZAEB-.

0ZADC=9O°,

AC是。。的直径，

:.ZABC=90°,

•;NBAD=NAEB,

AB=BE=8,

:点、C为8E的中点,

BC=-BE=4,

2

在RtaABC中，

AC=4AB1+BC-

=V82+42

=4A/5，

,。。的半径为2君.

21.。。的半径为36，AG=3A/10-

【分析】连接3尸，由直角三角形的性质及勾股定理得AC=3C=3亚，3D=AB=6

,/45。=/。归=45。,/4)=90。,进而证明点人、C、P三点共线，利用勾股定理求得3尸=

JBD'D>=/2+122=6&唧可求得。。的半径，探究:如图，连接G尸，先证明4=BM,

再利用圆内接四边形的性质得/GFB=ZBCM=45°,从而利用勾股定理即可得解。

【详解】解：连接BF,

回AABC为等腰直角三角形，/ACS为直角，AC=3A/2,AB=BD,

SAC=BC=3y/2,BD=AB=J（3A/2+（372）2=6/WC=/C45=45"AC8=90。,

回。£_LAD,

国防。。的直径,

国NBC尸=90。，

0NACB+NBCF=180°,

团点A、C、/三点共线，

回/C43=45°,OE_LAD,

0AADF是以XBDF为直角的等腰直角三角形，

0Z)F=AD=6+6=12,

0=JBD2+DF?=+12?=6/'

团0。的半径为述=36，

2

探究：如图，连接GF,连接GC并延长交AB于M,

SAG=BG,AC=BC,

回点C在线段AB的垂直平分线上，点G在线段AB的垂直平分线上,

0GMLAB,AM=BM,

MACB=90。，

0cM=BM,NBCM=45°,

03厂是。。的直径，

EI/BGr=90°,

回四边形CB。歹是。。的内接四边形，

0NGFB=NBCM=45°,

回ABGF是等腰直角三角形，

SAG=BG=GF=—BF=3y/l0-

2

【点拨】本题主要考查了圆内角四边形的性质，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，勾股定理,

圆周角定理等，熟练掌握圆内角四边形的性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键。

22.⑴见解析

(2)①cr=110。；②6a+£=720。，理由见解析

【分析】本题考查圆内接四边形，圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，掌握圆内接四边形对角互补,

圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理是正确解答的关键.

(1)根据圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理进行解答即可；

(2)①根据==得到NAOB=40。，再利用圆内接四边形的性质进行解答即可.

②根据①中原理进行解答即可.

【详解】(1)证明：(1)-.-AB=BC,

AB=BC，

■.■ZABD=ZBCE,

AED=BAE>AE+DE^AB+AE<

…AB=DE，

AB=BC，

•二DE=BC，

•=BC+CD=DE+CD，

即BD=CE，

BD=CE；

(2)解：①CD的度数刀=60°,

1QAO_6。。

AB=BC=DE,其度数都等于~=40°,

.*.ZAOB=40°,

丁点A、点6、点。、点E1在0。上，

/.ZBCE+ZA=180°,

1800-40°

ZBCE=180。-(——-——)

=180°-70°

=110°,

即a=110。；

②6c+£=720。，理由如下：

•••co的度数/，

AB=BC=DE,其度数都等于,

­=1^,

3

•・•四边形ABCE是G)O的内接四边形，

/.ZBCE+ZA=180°,

:.ZBCE=1800-ZA

二180。一(幽丁吗

=90°+-ZAOB

2

=90。+'g~

23

即…。。+o

.\6cr+/?=720°.

⑵详见解析

,25万

14

【分析】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，全等三角形性的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，

三角函数等

(1)连接OC、0D,由同弧所对的圆周角相等得NAOC=/AOD,由等腰三角形的性质得OE_LCD,即

可求证；

(2)设NCPA=a,由圆周角定理得NAOC=2a