2025年高考数学一轮复习：三角中的最值、范围问题 专项训练【含答案】

2025年高考数学一轮复习-三角中的最值、范围问题-专项训练

一、基本技能练

1.已知函数人x)=2sin(0x+°)(o>0)的图象关于直线寸称，且人同=°，则①

的最小值为()

A.2B.4

C.6D.8

7T

2.将函数尸cos(2x+°)的图象向右平移g个单位长度，得到的函数为奇函数，则刷

的最小值为()

71-兀

A•适B6

八兀一5兀

C3D~6

3.在△ABC中，内角A,3,C的对边分别为a,。，c.若asinA+2csinC=2teinCeos

A,则角A的最大值为()

A兀C兀

A6B-4

琮D.李

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若练三=*，b=4,

ULJ

则△ABC的面积的最大值为()

A.4小B2小

C.2D.y[3

5.若函数外)=cos2x+sin(2x+1]在(0,a)上恰有2个零点，则a的取值范围为

()

B玲

4731B4731

A.

C浮B

8731D8731

6.已知函数人x)=cos(0x+0)(①>0)的最小正周期为兀，且对x©R,人乃天/图恒成

立，若函数y=/(x)在［0,例上单调递减，则。的最大值是()

，兀-兀

A-6B-3

若D.普

3o

TT7T

7.已知函数火x)=2sin5(o>0)在区间［一甲升t的最小值为一2,则o的取值范围

是.

8.已知函数y(x)=cos0x+sin［0x+^)(o>0)在［0,兀］上恰有一个最大值点和两个零

点，则。的取值范围是.

9.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ZABC=120°,ZABC

的角平分线交AC于点。，且3。=1,则4a+c的最小值为..

7T

10.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且AW或c+bcosA-

acosB=-\［2acosA,则(=;内角3的取值范围是.

11.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且3为钝角.

7T

⑴证明：B—A=2；

(2)求sinA+sinC的取值范围.

12.已知向量ajcos住+x),sin住&=(—sinx,小sinx),J(x)=a-b.

(1)求函数兀¥)的最小正周期及“x)的最大值；

(2)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若君=1,a=2小,

求AABC面积的最大值并说明此时AABC的形状.

二'创新拓展练

13.设锐角△ABC的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a=l,B=2A,

则b的取值范围为()

A.(VL小)B.(l,小)

C.(隹2)D.(0,2)

14.(多选)设函数兀t)=cos(ox+W)(①>0),已知人x)在［0,2兀］上有且仅有3个极小

值点，贝1)()

A<x）在（0,2兀）上有且仅有5个零点

B<x）在（0,2兀）上有且仅有2个极大值点

C於）在（0,看上单调递减

D.co的取值范围是（，学

15.（多选）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,中c,且c=6,记S为AABC

的面积，则下列说法正确的是（）

A.若C=?则S有最大值94

B.若A弋，a=24,则S有最小值3小

C若「a=2。,则cosC有最小值0

24

D.若。+6=10,则sinC有最大值方

16.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且〃c=a（庐+。一口2）.

（1）若人=?求3的大小；

（2）若aWc,求二邑的最小值.

参考答案与解析

一'基本技能练

1.答案A

解析函数於）的周期代4停一金）=兀，则浮兀，解得心2,

故CD的最小值为2.

2.答案B

解析将函数y=cos（2x+e）的图象向右平移当个单位长度，得到图象的函数解析

式为y=cos[2（j—目+夕=cos（2x-牛+0），此函数为奇函数，所以一用十夕=胃+

7兀

矽1（左©Z）,解得9=W+E%GZ）,

7T

则当左=一1时，|夕|取得最小值不

3.答案A

解析因为asmA+2csinC=2Z?sinCeosA,

由正弦定理可得，a2+2c2=2bccosA,①

由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccosA,②

①+②得2a2=b2~c2,

所以cos

=6+cc）:与卢缶噜二坐（当且仅当b=^c时取等号），

所以角A的最大值为专

4.答案A

A[*/人»2a~ccosC

解析•在△ABC中，丁=溢目

（2tz—c）cosB=bcosC,

由正弦定理，得

(2sinA—sinQcos3=sinBcosC,

整理得sin(B+Q=2sinAcosB,

VAG(0,51),AsinA^O.

1II兀

/.cosB=^即B=w

22

由余弦定理可得16=〃2+C2—2〃CCOSB=a+c—ac^2ac—ac=ac9

，QCW16,当且仅当〃=c时取等号，

1

AABC的面积S=2«csin3=+“忘4小.

即△ABC的面积的最大值为473.

5.答案B

解析由题意，函数於)=cos2x+sin(2x+S)=4sin(2x+§,

因为0<x<a,

所以?<2x+?<2a+5

又由人x)在(0,a)上恰有2个零点,

7T

所以2兀V2Q+1W37I,

解得手<aW普，

(Sir471

所以a的取值范围为垮，用故选B.

6.答案B

解析因为函数/(x)=cos(3x+9)的最小正周期为兀，

兀

所以。=23=2,

又对x©R,都有人x)//修)，

所以函数人x)在x=W时取得最小值，

2兀

则~^_+9=兀+2攵兀，k^Z,

7T

即9=9+2%兀，

所以/U)=cos(2x+§,

兀

令2EW2x+g〈兀+2E,%£Z,

7TJI

解得一左兀，

o3Z,

7T

则函数y=/(x)在0,上单调递减，

故a的最大值是全故选B.

7.答案［|,+8）

解析x©—,

E二八兀一1兀

因为①>0,-小①①，

由题意知一如W一全

即co汽,

故①取值范围是［|,+8）.

「⑶

8M.口g本55yj

解析函数火工）=cos69x+sin^x+^j=^sin^x+^j（69>0）,

,/日।兀「兀।兀

由工£［0,兀］,待t。>兀十g.

又兀V）在［0,兀］上恰有一个最大值点和两个零点，

兀5

则2兀兀,

513

解得弓

3o

9.答案9

解析因为ZABC=120°,ZABC的平分线交AC于点。，

所以ZABD=ZCBD=60°,

由三角形的面积公式可得上csin120°=^X1-sin60°+^clsin60°,

化简得ac=a+c,

又a>0,c>0,所以:+：=1，

则4a+c=（4a+c）g+$5+，乎，5+2耒*=9,

当且仅当c=2a时取等号，

故4a+c的最小值为9.

io.答案当（0,I

解析由c+bcosA—acosB=y［2acosA结合正弦定理得sinC+sinBcosA—sin

AcosB=psinAcosA,

即sin(A+B)+sinBcosA—sinAcosB=y/2smAcosA,

化简得2sinBcosA=，5sinAcosA.

7T

因为AW/,所以cosAWO,

则2sinB=d5sinA,

2=辿2=0

见么。sinA2'

_.2+02-62_2〃+。2一/_〃+c2>2bc_0

则由余弦定理得cos'2ac2\[2bc2啦。c-2也。c2

当且仅当人=c时等号成立,

解得0<3忌

11.⑴证明由o=btanA及正弦定理，

/P[sinAasinA

得cosA~b~sinB'

所以sinB—cosA,

即sinB=sin修+A).

又3为钝角，

因此4兀)，

故B=^+A,

即B-A=^.

(2)解由(1)知，C=L(A+3)=L(2A+§=5—2A>0,

所以Ad(0,

于是sinA+sinC=sinA+sinf^—2AJ=sinA+cos2A=—2sin2A+sinA+1

因为0<A<^,

、叵

所以0<sinA<>

因此坐<—2，inA—

ZIH-yOO

由此可知sinA+sinC的取值范围是［雪，

12.解(1)由已知得a=(—sinx,cosx),

又8=(—sinx,小sin%),

则火光)=。•8=sin2%+4sinxcosx

=^(1—cos2x)+坐sinlx

=sin(2x一升今

2冗

所以人x)的最小正周期T=y=7r,

7T7T

当2x—4=］+24兀(z£Z),

jr

即X=g+防l(左GZ)时，

3

兀。取得最大值］.

(2)在锐角△ABC中，

因为=sin,一看)+；=1,

所以sin(A—^=|,所以A=1.

因为a2=b2-\~c2—2Z?ccosA,

22

所以12=b+c—bc9

所以b1+c1=bc+12^2Z?c,

所以6cW12(当且仅当b=c=2小时等号成立)，此时△ABC为等边三角形,

S/^ABC=^bcsinA—Z?c^3*\/3.

所以当△AHC为等边三角形时面积取最大值35.

二、创新拓展练

13.答案A

解析VB=2A,

sinB=sin2A=2sinAcosA.

・ci19••b~~2tzcosA~~2cosA.

又△ABC为锐角三角形，

0<2A专

兀

：.\0<A<2，

兀

0<7i—3A<7，

.兀4兀

••6<A<4*

・.・也2<cosA.<近2，

即也<2cosA<\13,故选A.

14.答案CD

解析因为x©[0,2n],

所以0x+笑鼻，2兀0+会.

以_tcox~13金3，271co十39

画出y=cos/的图象如图所示.

由图象可知，若汽X）在［0,2兀］上有且仅有3个极小值点,

兀

则5TTW2兀。+铲7兀，

710

解得故D正确；

故於）在（0,2兀）上可能有5,6或7个零点,故A错误；

/U）在（0,2兀）上可能有2或3个极大值点，故B错误；

当dj时，g（y+jJ.

m山10

因为1W（y<*y,

匕i213兀,兀।718兀

所以旅w4°+铲勺，

故於）在（0,凯单调递减，故C正确.

15.答案ABD

解析对于选项A,对角C由余弦定理得36=c2=a2+b2—ab^2ab—ab=ab,

i

因此，S=^absinC=2~abW%/^,

当且仅当a=6=6时取等号，故A正确；

对于选项B,对角A用余弦定理得

12=a2=c2+b2—y/3bc=36+b2—6-\[3b,

解得6=2/或6=44，

13

因此，S=^csinA=2^3y/3,

当且仅当b=2小时取等号，故B正确.

对于选项C,若a=2b,

由三边关系可得a~b—b<c-6<a-\-b=3b^2<b<6,

2222

,,,人八、。h办

।6z+/7—c5/?—3659,,,HSC3

此时，由禾弦定理，仔cosC=2ab=4b2=W―讲£(-1’1)'故C错块.

。2+/1d(a+Z?)2一心一2帅32

对于选项若〃+则新一

D,6