2025版高考数学一轮总复习：幂函数

第五节黑函数

■课程标准

1.通过具体实例，理解塞函数的概念.

2.结合y=x,y=§,y=f,y=瓜,丁=好的图象，理解它们的变化规律.

口------------必备知识系统梳理基础重落实-----------课前自修

LI_—____知___识____•_逐____点___夯____实_______________________________________________________________1__________

知识梳理

1.幕函数的定义

一般地，函数y=『叫做黑函数,其中x是自变量，a是常数.

提醒幕函数的特征：①自变量无处在赛底数的位置，氟指数a为常数；②犬的系数为1;③只有一项.

2.常见的五种幕函数的图象和性质

i

函数y=X2y=x~x

斗/\斗/I

图象为小

~7T

性定义域RRR{x1x20}lx1xWO}

质值域R{y1y20}R{y1y20}{y1yWO}

1

函数y=X2尸尤-1

奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数

性在（-8,0）和

在（-8,0］上单调递减；

质单调性增函数增函数增函数（0,+8）上单调递

在（0,+8）上单调递增

减

对点自测

1判断正误.（正确的画“4”，错误的画“X”）

1

（1）函数y=2短是幕函数.（x）

（2）当〃>0时，幕函数y=M农（0,+8）上单调递增.（Y）

（3）若幕函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点.（4）

2.已知幕函数y=/（x）的图象过点（2,（J,则〃4）=（）

A.-B.4C.—D.V2

42

解析：A设/(x)=K，•.•图象过点(2,3，(2)=2。=],解得a=-1,(4)=4-1=[.

3.已知幕函数/(x)=段，贝!|/(x)()

A.是偶函数，目在(0,+8)上单调递增

B.是偶函数，且在(0,+8)上单调递减

C.是奇函数，且在(0,+8)上单调递减

D.是奇函数，且在(0,+8)上单调递增

1

解析：D因为/(x)=%3,故/(%)是奇函数，且在(0,+oo)上单调递增，故选D.

4.已知底｛-2,-1,|,1,2,3｝若幕函数〃尤)=^为奇函数，目在(0,+8)上单调递减，则.

解析：由丫=犬为奇函数，知a取-1,1,3.又y=x。在(0,+°°)上单调递减，；.a<0,故a=-1.

常用结论

嘉函数y=K在第一象限的两个重要结论

(1)恒过点(1,1)；

(2)当尤G(0,1)时，a越大，函数值越小；当正(1,+8)时，a越大，函数值越大.

E应用

函数y=x2-1的图象大致是()

解析：A由结论知，函数>=蓊的图象恒过点(1,1),则y=x5-1的图象过点(1,0)且为增函数.故选A.

L考点•分类突破口-------精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

I___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

幕函数的图象与性质

考点一

(师生共研过关)

【例1】(1)若幕函数y=『i,y=/与y=x"在第一象限内的图象如图所示，则，"与〃的取值情况为

(D)

A.-l<m<O<n<lB.-l<n<O<m<-

2

i

C.-l<m<O<n<-D.-l<n<O<m<l

2

(2)幕函数/(工)=(根2一3加+3)/的图象关于y轴对称，则实数加==.

解析：(1)倦函数丁=/,当。>0时，y=f在(0,+°°)上单调递增，且0<a<l时，图象上凸，.,・()<根<1.

当a<0时，在(0,+°°)上单调递减.不妨令x=2,由图象得2」<2〃，则T<几<0.综上可知，

<m<1.

(2)由募函数定义，知/-3根+3=1,解得根=1或根=2,当根=1时，f(x)=x的图象不关于y轴对称，舍

去，当机=2时，/(X)=元2的图象关于y轴对称，因此加=2.

解题技法

幕函数的图象与性质特征的关系

(1)森函数的形式是>=靖(aER),其中只有一个参数％因此只需一个条件即可确定其解析式；

(2)判断森函数>=犬(a£R)的奇偶性及求定义域时，当。是分数时，一般将其先化为根式，再判断；

(3)若蒸函数y=K在(0,+°°)上单调递增，则。>0,若在(0,+°°)上单调递减，则a<0.

6训练

1

有四个幕函数：①/'(X)="；②/(无)=犷2；③/(x)=/；◎(x)=短.某同学研究了其中的一个函数，他给

出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{yIy£R,且户0}；(3)在(-8,o)上单调递增.如果

他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是f(x)=，2.

1

解析：/(x)=x-i只满足性质(2),/(x)=x3只满足性质(3),/(X)=箱只满足性质(3)./(X)=尤-2是偶

函数,在(-8,0)上单调递增，但是其值域是{yIy>0}.

幕函数性质的应用

考点二

(师生共研过关)

232

【例2】(1)若。=(|丫，6=(|丫/=(|%则°,八°的大小关系是(B)

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

(2)已知幕函数的图象过点(-8,-2)，且〃。+1),则实数〃的取值范围是

8,1].

222

解析：(1)因为y=我在第一象限内单调递增，所以a=(J>c=(|F，因为y=(|)”是减函数，所以c=(|1>

3

人=(|)5,所以a>c>b.

(2)设/(x)=当则(-8)。=-2,解得a=£所以/(x)=/，则”无)在R上是增函数，且为奇函数，

所以/(a+1)W-/(a-3)等价于/(a+1)W/(3-a),则a+lW3-a,解得aWl.

解题技法

比较幕值大小的策略

(1)同底不同指的幕值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较；

(2)同指不同底的森值大小比较：利用赛函数的单调性进行比较；

(3)既不同底又不同指的森值大小比较：常找到一个中间值，通过比较氟值与中间值的大小来进行比较.

G训练

1.若(山+1)-1<(3-2加)-1,则实数相的取值范围是()

72

A.(--)B.(-8・1)

3z2\/

C.(-oo-1)UD.0

''z732

m+1>0zm+1<0,

解析：C分三种情况考虑：①,3-2G>0,解得|<加<|;②3-2m<0,此时无解;

jn+1>3-2m,m+1>3-2m,

m+1<0,22

③(解得加<-1.综上可得，加£(-8,-1)U.故选C.

3-2m>0,32

2.(多选)幕函数〃x)=(浮-5杨+7)久--6在(0,十8)上单调递增，则以下说法正确的是()

A.m=3

B.函数/(无)在(-8,0)上单调递增

C.函数〃无)是偶函数

D.函数/(x)的图象关于原点对称

解析：ABD因为募函数/(x)=(浮-5初+7)比想飞在(0,+8)上单调递增，所以｛解

\m2-6>0,

得优=3,所以/(无),所以/(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故/(x)=xi为奇函数,函数图象关于原

点对称，所以/(x)在(-8,0)上单调递增.

一课时跟踪检测口-------关键能力分层施练素养重提升——T课后练习

I____________•_____________________________________________________________________________________

A级•基础达标

1.若/(尤)是幕函数，且满足9=3,则/弓)=()

f(2)2

A.3B.-3

解析：C设/（x）=炉,则竟=2。=3,（|）=G）"=（•故选C.

2.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）

A.y=x5B.y=31x1

i

C.y=X2D.y=log3X

解析：A对于A选项，>=炉为R上的奇函数，且为R上的增函数，A选项符合题意；对于B选项，y=3#为

1

偶函数，B选项不符合题意；对于C选项，y=显的定义域为［0,+8）,为非奇非偶函数，C选项不符合题意；

对于D选项，y=log3X的定义域为（0,+8）,为非奇非偶函数，D选项不符合题意.故选A.

3.已知常数aGQ,如图为幕函数y=犬的图象，则a的值可以为（）

yi

2

-

AC.3

解析：C由能函数y=V的图象关于y轴对称知，函数>=炉是偶函数，排除B、D选项；再根据塞函数y=炉的

图象在第一象限内单调递减，可得a<0,排除A选项.故选C.

4.若幕函数〃x）的图象过点（2,V2），则函数尸+1-尤的最大值为（）

A.lB.-

4

C.2D.-

3

解析：B设/（%）=^,V/（x）的图象过点（2,V2）,.*./（2）=2。=或，则。=«,

.*.y=Vx+l-x=-（U-工）2+三，.••所求最大值为士故选B.

5.已知函数/（x）=x-3,若（7=/（0.6。6）,/?=/（O.60-4）,c=/（0.4°6）,则“，b,。的大小关系是（）

\.a<c<bB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

解析：B因为0.40・6<O.6S6<0.6。"，又>=/（%）=%-3在（0,4-oo）上单调递减，所以。

6.（多选）已知函数g（无）=42_，°>0且61）的图象过定点A,幕函数〃x）=/的图象经过点A,则

（）

A./（无）在其定义域内是减函数

B〃无）的图象经过点（1,1）

C〃x）是奇函数

D〃x）的定义域是R

解析：BC由x-2=0,得尤=2,可得g（2）=1-|=|,故函数g（尤）—ax'2-]（a>0且a#l）的图象过定点

A（2,1）,则/（2）=2fe=|,解得6=-1,则/'（X）=i,所以/（x）的定义域为{xIxWO},且/（x）为奇函

数，函数/（X）在（-8,0）上单调递减，在（0,十8）上单调递减，但/（X）在其定义域内不单调.因为小

（1）=1,所以函数/（x）的图象经过点（1,1）.故选B、C.

7.（多选）已知幕函数“X）=（%+9/，则（）

A"一32）=表

B〃x）的定义域是R

C/（x）是偶函数

D不等式〃尤-1）河（2）的解集是[-1,1）U（1,3]

解析：ACD因为函数f（x）是嘉函数，所以m+~l,得m--即/（尤）—x-=,/（-32）=[（-2）

41

5]飞=（-2）-4=尚，故A正确；函数的定义域是{xlxWO},故B不正确；因为定义域关于原点对称，/（-x）

16

4

=/（%）,所以函数/（无）是偶函数,故C正确；易知函数/（无）=x空在（0,+8）上单调递减，不等式/（无

-1）之（2）等价于Ix-1IW2,解得-2Wx-1W2,且尤-1#0,解得-1WXW3,且x#l,即不等式的解集

是[-1,1）U（1,3],故D正确.

8.已知函数〃x）为黑函数，且"4）=；,则当/（a）=毋（a+3）时，实数。=2_.

ZJ

1

解析：设/（x）=K,则4a=],所以a=-].因此/（X）=X-2,从而晨5=4（°+3）\解得。=巳.

9.幕函数尸一+E（wGN）的图象一定经过第一、三象限.

解析：因为〃为自然数，所以〃（w+l）为偶数，则/+〃+1为奇数，所以y=x"2+"+i（〃CN）是奇函数，且函

数的图象经过点（0,0）和点（1,1）,/（x）在（0,+8）上单调递增，所以塞函数y="2+n+i（〃GN）的图

象一定经过第一、三象限.

10.已知函数/（尤）=Y+2x（a?。），且/（4）=10,则a=[，若/（："）>/（-m+1），则实数机的取值

范围是弓，I】.

解析：/（4）=4G+2X4=10,即4。=2,所以a=],所以龙）=x2+2x=yjx+2x,其定义域为[0,+°°）,且

m>0,

/（X）在[0,+8）上是增函数.由/（机）>/（-m+1）可得<-爪+120,解得|<%W1,故实数机的取值范围

jn>-m+1,

为（1,1].

B级♦综合应用

n.已知幕函数y=a(p,qGN*,“1且p,q互质)的图象如图所示，贝U()

A.p,q均为奇数，目51

B.q为偶数，p为奇数，且

C.q为奇数，p为偶数，国>1

D.q为奇数，p为偶数，且0<：<1

P

解析：D由易函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数,则q为奇数.因为易函数y=痴的

图象在第一象限内向上凸起，且在(0,+8)上单调递增，所以o<e<i.