人教版九年级数学上册专项复习：圆周角定理【十大题型】原卷版

专题24.4圆周角定理【十大题型】

【人教版】

【题型1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】...................................2

【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】..................................................3

【题型3直径所对的圆周角是90。的运用】......................................................4

【题型4翻折中的圆周角的运用】..............................................................5

【题型5利用圆周角求最值】...................................................................6

【题型6圆周角中的证明】....................................................................7

【题型7圆周角中的多结论问题】..............................................................9

【题型8构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】.......................................10

【题型9圆周角与量角器的综合运用】..........................................................11

【题型10利用圆周角求取值范围】.............................................................12

【知识点1圆周角定理及其推论】

/4。3是@所对的圆心角，

定理：圆周角的度数等于它所NC是痛所对的圆周角，

对的弧的圆心角度数

)ZC=-ZAOB

的一半2

NC和都是G所对的圆周

圆角

周

角推论1:同弧或等弧所对的圆ZC=ZD

定周角相等

理

A3是O。的直径

CNC是翕湖对的圆周角

B©A

推论2：直径所对的圆周角是ZC=90°

直角，90。的圆周角NC是卷所对的圆周角

所对的弦是直径ZC=90°

A5是的直径

【题型1圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】

【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，是。。的直径，。。上的两点A,5分别在直径的两侧,

且NA8C=78°,则NAOO的度数为（）

A.12°B.22°C.24°D.44°

【变式1-1］（2022•温州）如图，AB,AC是。。的两条弦，0Q_LA3于点。，OE_LAC于点E,连结OB,

OC.若NDOE=130°,则N50C的度数为（）

A.95B.100°D.130°

【变式1-2］（2022•蓝山县一模）如图，点A,B,。在。。上，Zl=40°,ZC=25°,则N5=（）

A.100°B.70°D.65

【变式1-3］（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB,为。。的两条弦，若NA+NC=120°,AB=2,

CD=4,则。。的半径为（）

Bj

C

D

A.2V5B.2V7C告D.第

【题型2同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】

【例2】（2022•保亭县二模）如图，42为。。的直径，点C、。在圆上，CELA3于点E,若/。=48°,

则Nl=()

A.42°B.45°C.48°D.52°

【变式2-1］（2022•南充）如图，AB为。。的直径，弦CD_L48于点E,。尸_LBC于点孔ZBOF=65°,

【变式2-2］（2022•十堰二模）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,NA=54°,以BC为直径的。。交

A8于点。.£是。。上一点，且朝=丽，连接OE过点E作EPLOE,交AC的延长线于点R则/

尸的度数为（）

A.92°B.108°C.112°D.124°

【变式2-3］（2022•本溪模拟）如图，在。。中，AB=BC,直径CDLA8于点N,尸是衣上一点，则/

【题型3直径所对的圆周角是90°的运用】

【例3】（2022•中山市三模）如图，A8是。。的直径，若AC=2,ZZ）=60°,则BC长等于（）

A.4B.5C.V3D.2V3

【变式3-1］（2022•潍坊二模）如图，已知以△ABC的边AB为直径的。O经过点C,ODJ_AC交。。于点

D,连接30.若/BAC=36°,则NODB的度数为（）

A.32°B.27°C.24°D.18°

【变式3-2］（2022•江夏区校级开学）如图，。。的直径A2为8,。为公上的一点，DELAC于点E,若

CE=3AE,ZBAC=30°,则。E的长是（）

【变式3-3］（2022秋•如皋市校级期中）在。。中，A2为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交

A8于点。，连接CD

（1）如图1,若点。与圆心。重合，AC=2,求。。的半径厂；

（2）如图2,若点。与圆心。不重合，ZBAC=25°,求NOC4的度数.

【题型4翻折中的圆周角的运用】

【例4】（2022春•福田区校级月考）如图，是。。的直径，BC是。。的弦，先将比沿2c翻折交

【变式4-1]（2022秋•萧山区期中）如图，在。。中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC

翻折交AB于点。，连结C。，若NBAC=25°,则NBOC的度数为（）

A.45°B.55°C.65°D.70°

【变式4-2]（2022秋•研口区期末）如图，A8为。。的一条弦，C为。。上一点，OC〃A8.将劣弧AB

沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点。.若。为翻折后弧AB的中点，则（）

B.112.5°C.115°D.117.5°

【变式4-3］（2022秋•丹江口市期中）已知。。的直径42长为10,弦将。。沿CD翻折，翻

折后点B的对应点为点夕，若AB'=6,CB'的长为（）

A

A.4V5B.2V5^4V5C.2V5D.2花或4百

【题型5利用圆周角求最值】

【例5】（2022•瑶海区三模）如图，是。。的直径，AB=8,点〃在。。上，ZMAB=20°,N是弧

MB的中点，尸是直径上的一动点，若MN=2,则△2阿周长的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

【变式5-1］（2022•陈仓区一模）如图，△A8C中，ZABC=45°,ZACB=15°,AB=4,。是边8c上

的一个动点，以AD为直径画。。，分别交A3、AC于点E、凡连接ER则线段所长度的最小值为.

【变式5-2］（2022秋•大连期末）如图，AB是。。的直径，42=2,点C在。。上，NC4B=30°,。为

曲的中点，E是直径上一动点，则CE+OE最小值为（）

c

A.1B.V2C.V3D.2

【变式5-3］（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形48CD中，AB=j,BC=AB2,E为射线8A上一动点,

连接CE交以BE为直径的圆于点H,则线段DH长度的最小值为

【题型6圆周角中的证明】

【例6】（2022秋•定陶区期末）如图1.在。。中AB=AC,ZACB=70°,点石在劣弧衣上运动，连接

EC,BE,交AC于点孔

（1）求NE的度数；

（2）当点E运动到使BE,AC时，连接AO并延长，交BE于点D,交8C于点G,交。。于点依

据题意在备用图中画出图形.并证明：G为。M的中点.

【变式6-1］（2022春•金山区校级月考）已知。为。。的直径，A、8为。。上两点，点C为劣弧A8中

点，连接D4、BA,AC,且/B=30°.

（1）求证：ZZ）=30°；

（2）F、G分别为线段C。、AC上两点，满足=AG,连接AF、OG,取0G中点H,连接C”，请猜

测AF与CH之间的数量关系，并证明.

B

【变式6-2]（2022•武汉）如图，以A8为直径的。。经过AABC的顶点C,AE,8E分别平分/8AC和/

ABC,AE的延长线交。。于点。，连接BD

（1）判断△8OE的形状，并证明你的结论；

（2）若A8=10,BE=2同,求BC的长.

【变式6-3]（2022•南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务：

阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了

解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的.其中论述了阿基米德折弦定理：

从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦.一个圆中一条由两长度不同的

弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点.

如图1,和BC是。。的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BOAB.M是弧ABC的中点，则从M

向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.

小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段CN=AB,连接MA,MB,

MC,MN.

小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点/作于点X,连接MA,MB,MC.

任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程.

（2）就图3证明：MC2-MB-^BC'AB.

【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在。。中，A8是。。的直径，AB=10,数=①=丽，点E是点、D

关于AB的对称点，"是A8上的一动点，下列结论：

①NBOE=30°；®ZDOB=2ZCED；③。M_LCE；④CM+DM的最小值是10,上述结论中正确的个数

【变式7-1］（2022秋•淅川县期末）如图，已知：点A、B、C、。在。。上，AB=CD,下列结论：①/

AOC=ZBOD；@ZBOD=2ZBAD；®AC=BD；@ZCAB=ZBDC；⑤/CAO+/CDO=180°.其中

正确的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式7-2］（2022秋•厦门期末）在AABC中，A8=AC,以AB为直径的。。交BC边于点D要使得。。

与AC边的交点E关于直线的对称点在线段OA上（不与端点重合）,需满足的条件可以是.（写

出所有正确答案的序号）

①/a4c>60°；②45°<ZABC<60°；③®^AB<DE<^AB.

【变式7-3］（2022秋•东台市月考）如图，A2是。。的直径，C,。是。。上的点，S.OC//BD,与

BC,OC分别相交于点E,F,则下列结论：@AD1BD；@ZAOC=ZAEC；③CB平分/AB。；@AF

=DF；⑤ACEF咨ABED.其中一定成立的结论是.（填序号）

【题型8构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】

【例8】（2022春•杏花岭区校级月考）如图，A,8两点的坐标分别为（-2,0）,（3,0）,点C在y

【变式8-1］（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=BD.若/ABC=H2°,则/ADC

【变式8-2］（2022•北京模拟）己知三角形ABC是锐角三角形，其中NA=30°,BC=4,设BC边上的高

为h,则h的取值范围是.

【变式8-3］（2022春•西湖区校级月考）已知：如图，四边形A8CD中，AD//BC,AB=BC=4,ZB=60°,

/C=105°,点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形48C。的一边的交点为P,若/CPE

=30°,则EP的长为

【题型9圆周角与量角器的综合运用】

【例9】（2022•南召县模拟）以。为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的。刻度

线与斜边A8重合.点。为斜边AB上一点，作射线交弧AB于点E,如果点E所对应的读数为50°,

那么NBOE的大小为（）

【变式9-1］（2022秋•南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点。在半圆圆心上,

点8在半圆上，边48,AO分别交半圆于点C,D,点B,C,。对应的读数分别为160°、72°、50°,

则NA=.

【变式9-2］（2022秋•高港区期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边A8与量角器的直径重合，点。对

应的刻度值为50°,则的度数为.

【变式9-3]（2022秋•北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边48重合，其中量角器0

刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3。的速度旋转，”与量角器

的半圆弧交于点E