上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

曹杨二中高三月考数学试卷2024.10一.填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.设a∈R.若(a-2i)(1+i)为纯虚数(i为虚数单位)，则a=__________2.函数的定义域为__________3.某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为__________4.设m∈R，若圆.x2+y2-4y+m=0的面积为π，则m=__________5.在无穷等比数列中，首项(a1=1，公比.记，则.6.设ω>0，.若函数，的最大值为1，但最小值不为-1，则ω的取值范围是__________7.已知m为非零常数.若在的二项展开式中，x3的系数是的系数的8倍，则m=__________8.设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为__________9.设，，则不等式的解集为__________10.已知△ABC是边长为6的等边三角形，M是△ABC的内切圆上一动点，则的最小值为__________11.若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”.在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有__________个12.设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线l经过点F2，且与Γ交于P、Q两点.若PF1⊥PF2，且|F2Q|=1，则Γ的长轴长的最小值为__________二.选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)13.已知x∈R，则“(k∈Z)，是“cosx=0”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.若、，且αsinα>βsinβ，则()A.α>β B.α<β C.α2>β2 D.α2<β215.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=PB=2，PC=2\sqrt{3}，则该四棱锥的高是()A. B. C. D.16.已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是()A.1 B.2 C.3 D.4三.解答题(本大题共有5题，满分78分)17.如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合.设P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是圆弧AB的中点.(1)若圆锥的侧面积是圆柱的侧面积，求该几何体的体积(2)若圆锥的高为1，求直线PB1与平面PAC所成角的大小.18.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.设向量，，已知.(1)求角A的大小;(2)设D为BC边上一点，且.AD⊥AB.若AC=4，，求sinB.19.企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成，生产成本固定为每台130元.根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，其中.(1)若甲企业独家经营，其研发成本为60万元，求甲企业能获得利润的最大值；(2)若乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元.试问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；(假设甲企业按照原先最大利润的产量生产，并未因乙的加入而改变)(3)由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益，因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整…，最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下，己方达到利润最大).求动态平衡时，两企业各自的产量.20.已知双曲线的离心率e=2，左顶点.A(-1，0).过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点.(1)求双曲线C的方程；(2)求证：直线AP、AQ的斜率之积为定值；(3)设.试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立?若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.21.给定函数，若点P是曲线的两条互相垂直的切线的交点，则称点P为函数的“正交点”.记函数的所有“正交点”组成的集合为M.(1)若，求证：;(2)若，求证：函数的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线的方程；(3)设a∈R，，记函数的图像上所有点组成的集合为N.若，求a的取值范围.

参考答案一.填空题1.-22.(-∞，0]3.284.35.6.7.8.9.[-1，+∞)10.11.11212.二.选择题13.A14.C15.C16.B三.解答题17.(1).(2).18.(1)即.在△ABC中，由正弦定理得2sinBcosA+sinCcosA=-sinAcosC，即2sinBcosA=-(sinAcosC+sinCcosA)=-sin(A+C)=-sinB.由于B为三角形内角，故sinB>0，上式即.由于A为三角形内角，解得.(2)在△ADC中，由余弦定理得，故.再由余弦定理，得.因此.19.(1)设甲企业的产量为x万台，利润为万元，则.故当且仅当x=45时，取最大值1965.因此当甲企业的产量为45万台时，其获得的利润取最大值1965万元.(2)设乙企业的产量为x万台，利润为万元，则故当且仅当时，取最大值.因此当乙企业的产量为万台时，其获得的利润取最大值万元.(3)设甲、乙两企业的产量分别为a万台和b万台，利润分别为P1万元和P2万元，则，当P1最大时，有.，当P2最大时，有，由于达到动态平衡，故，∴.因此动态平衡时，甲、乙两企业的产量均为30万台.20.(1)设双曲线的半焦距为c.由题意知a=1，c=ea=2.故b2=c2-a2=3，因此.(2)由题意知.设直线，与双曲线方程联立得.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则，故直线AP、AQ的斜率之积为=.(3)由题意知，得.设，则.即.由于，上式即，解得.利用(*)式，得，因此存在定点满足题目要求.21.(1)由题意知函数的定义域.，且.对任意的.x1、x2∈D，都有，因此.(2)设“正交点”是曲线在x=x1与x=x2处切线的交点.由于，故曲线在x=x1与x=x2处的切线方程分别为与.将两直线方程联立，解得.由于曲线在x=x1与x=x2处的切线互相垂直，有2x1⋅2x2=-1，即.因此为定值，即点P在定直线上.(3)即过曲线上任意一点均无法作曲线的两条互相