人教版八年级数学 13.1轴对称（学习、上课课件）

13．1轴对称第十三章轴对称13．1.1轴对称逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2轴对称图形轴对称成轴对称和轴对称图形的性质1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.直线两旁的部分全等知识点轴对称图形1知1－讲知1－讲特别解读轴对称图形的三个条件：1.一个整体图形；2.一条直线——对称轴；3.直线两旁的部分完全重合.知1－讲示图(如图13.1-1)知1－讲2.常见的轴对称图形及其对称轴名称图形及其对称轴对称轴的条数对称轴角1条角平分线所在的直线等腰三角形1条底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线等边三角形3条各边上的高(各边上的中线或各内角平分线)所在的直线知1－讲名称图形及其对称轴对称轴的条数对称轴等腰梯形1条过上、下底中点的直线长方形2条对边中点的连线所在的直线正方形4条①对角线所在的直线；②过对边中点的直线知1－讲名称图形及其对称轴对称轴的条数对称轴正五边形5条过顶点与对边中点的直线正六边形6条①过相对的顶点的直线；②过相对边中点的直线圆无数条过圆心的直线知1－讲特别提醒：正n

边形都是轴对称图形，有n

条对称轴.知1－讲方法点拨判断轴对称图形的方法：根据图形的特征，如果能找到一条直线，沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形.知1－讲[中考·兰州]下列图形(如图13.1-2)：其中轴对称图形的个数是()A.4B.3C.2D.1例1知1－练解题秘方：根据轴对称图形的定义识别.解：第一、二、四个图形，可找到一条直线，沿其折叠后直线两旁的部分能够互相重合，因此都是轴对称图形；第三个图形找不到这样的直线，因此不是轴对称图形.故轴对称图形的个数是3.答案：B知1－练1-1.[中考·连云港]在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是()C知1－练1-2.[中考·眉山]下列英文字母为轴对称图形的是()A．WB．LC．SD．QA知1－练1.定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.这两个图形全等知识点轴对称2知2－讲特别解读轴对称的三个条件：1.有两个图形；2.存在一条直线；3.一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合．知2－讲示图(如图13.1-3)知2－讲2.轴对称与轴对称图形的区别与联系名称轴对称轴对称图形区别对象不同两个图形一个图形意义不同两个图形的特殊位置关系一个具有特殊形状的图形对称点位置不同对称点分别在两个图形上对称点在同一个图形上知2－讲名称轴对称轴对称图形区别对称轴位置不同两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点)轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部对称轴数量不同只有一条对称轴有一条或多条对称轴知2－讲名称轴对称轴对称图形联系(1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠；(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称知2－讲拓展延伸：(1)轴对称或轴对称图形上的每对对称点到对称轴的距离分别相等；(2)轴对称或轴对称图形上的对应线段或其延长线若相交，则交点必在对称轴上.知2－讲特别解读轴对称的两个特性：1.成轴对称的两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；2.轴对称是图形的一种全等变换.知2－讲如图13.1-4的四组图形中，成轴对称的有()A.4组B.3组C.2组D.1组例2知2－练解题秘方：根据轴对称的定义，沿着某条直线折叠，直线两旁的两个图形能完全重合，即成轴对称.解：根据轴对称的定义，可以判断只有④中的两个图形沿着某一条直线折叠后，两个图形能够重合.答案：D方法点拨：反面观察法，即从纸的反面观察图形，若观察到的和正面一样，就是成轴对称.知2－练2-1.[模拟·武汉江岸区]下列四个图案中，左右两个图形成轴对称的是()D知2－练[情境题生活应用]一辆汽车的车牌在水中的倒影如图13.1-5所示，根据所学知识，你能确定该车的车牌号码吗？例3知2－练解题秘方：根据水中倒影与实际车牌号码上、下对称的特点求解.方法点拨：解决从水(或平面镜)中看到的车牌号(或数字)问题，我们可以把从水(或平面镜)中看到的车牌号(或数字)写在纸上，把纸面翻过来，从纸的背面即可看到实际中的车牌号(或数字).解：车牌号码为MT7936.知2－练3-1.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图，则实际时间是()A.21：10B.10：21C.10：51D.12：01C知2－练1.成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图13.1-6所示.特别地：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴上.知识点成轴对称和轴对称图形的性质3知3－讲2.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.知3－讲3.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图13.1-7所示.知3－讲特别解读1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对应线段、对应角相等.2.轴对称图形被对称轴分成的两部分全等，并且这两部分关于对称轴成轴对称；成轴对称的两个图形也全等.知3－讲[新考向知识情境化]如图13.1-8所示的飞机模型是轴对称图形，直线l是它的对称轴.请解决下列问题：(1)∠3和∠4有什么关系？AB

与A′B′呢？(2)DD′与直线l

有什么关系？(3)写出图中其他相等关系(不少于三对)．例4解题秘方：紧扣轴对称图形的性质进行说明.知3－讲(1)∠3和∠4有什么关系？AB

与A′B′呢？(2)DD′与直线l

有什么关系？(3)写出图中其他相等关系(不少于三对)．解：∠3=∠4，AB=A′B′．直线l是DD′的垂直平分线.AD=A′D′，∠1=∠2，DC=D′C′．(答案不唯一)知3－讲4-1.如图，△ABC

和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论：①△

ABC≌△A′B′C′；②∠BAC′=∠B′AC；③

l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在l上.其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个B知3－讲如图13.1-9，△

ABC和△DEF关于直线l

对称，已知∠A=115°，∠E=42°，DF=8．求∠F

的度数和AC

的长．例5解题秘方：紧扣成轴对称的性质确定对应元素进行计算.知3－讲解：∵△ABC

和△DEF关于直线l

对称，∴△ABC≌△DEF.∴∠D=∠A，AC=DF.∵∠A=115°，DF=8，∴∠D=115°，AC=8.在△DEF中，∵∠D=115°，∠E=42°，∴∠F=180°－∠D－∠E=23°知3－讲5-1.如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠

BAD=150

°，∠B=40°，则∠ACD的度数是_______

.65°知3－讲轴对称轴对称图形轴对称任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称13．1轴对称第十三章轴对称13.1.2线段的垂直平分线的性质逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的判定尺规作图——作垂线、作垂直平分线画对称轴1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.条件：点在线段的垂直平分线上.结论：这个点到线段两端点的距离相等.2.几何语言：如图13.1-19，∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC.两点之间的距离知识点线段的垂直平分线的性质1知1－讲特别解读用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，它为证明线段相等提供了新方法.知1－讲[中考·邵阳]如图13.1-20，在△ABC中，AB

的垂直平分线分别交AB，BC

于点D，E，连接AE，若AE=4，EC=2，则BC

的长是()A.2B.4C.6D.8例1知1－练解题秘方：利用线段的垂直平分线的性质将要求的线段向已知条件转化.解：∵DE是AB

的垂直平分线，AE=4，∴EB=EA=4.∴BC=EB＋EC=4＋2=6.答案：C知1－练1-1.如图，AB

所在直线是CD的垂直平分线，若AC=2.3cm，BD=1.6cm，则四边形ACBD

的周长是()A.3.9cmB.7.8cmC.3.2cmD.4.6cmB知1－练1.判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.条件：点到线段两个端点距离相等.结论：点在线段的垂直平分线上.2.几何语言：如图13.1-21，∵AB=AC，∴点A在线段BC

的垂直平分线上.知识点线段的垂直平分线的判定2知2－讲特别解读1.证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是作垂直，证平分；二是取中点，证垂直.2.证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在垂直平分线上.知2－讲3.三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等.拓宽视野该点的位置与三角形的形状有关，若是直角三角形，该点在斜边的中点处；若是锐角三角形，该点在三角形内部；若是钝角三角形，该点在三角形外部.知2－讲如图13.1-22，P

为∠MON

平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON

于B，求证：OP

垂直平分AB．例2知2－练思路引导：知2－练证法一(判定定理法)：∵P

为∠MON

平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP.∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∴△AOP≌△BOP(AAS)，点P

在AB

的垂直平分线上.∴OA=OB.∴点O

在AB

的垂直平分线上.∴OP

垂直平分AB.知2－练证法二(定义法)：∵P

为∠MON

平分线上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠AOP=∠BOP，PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°.在Rt△PAO

和Rt△PBO

中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL).∴OA=OB.设OP与AB

相交于点C，∵∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△AOC≌△BOC(SAS).∴∠ACO=∠BCO=90°，AC=BC.∴OP⊥AB.∴OP

垂直平分AB.OP=OP，PA=PB，知2－练2-1.如图，AD为△

ABC的角平分线，AE=AF.求证：线段AD

所在直线是线段EF

的垂直平分线．知2－练知2－练知2－练又∵AE＝AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上．∴线段AD所在直线是线段EF的垂直平分线．知2－练如图13.1-23，OE，OF

所在直线分别是△

ABC中AB，AC

边的垂直平分线，∠OBC，∠

OCB的平分线相交于点I，试判断OI与BC的位置关系，并给予证明.例3知2－练解题秘方：根据“三角形三边的垂直平分线相交于一点，三个内角的平分线也相交于一点”这两条性质进行证明.知2－练解：OI⊥BC.证明如下：如图13.1-23，延长OI

交BC于点M.∵OE垂直平分AB，OF

垂直平分AC，∴点O

在BC

的垂直平分线上.∴OB=OC.又∵BI

平分∠OBC，CI

平分∠OCB，∴OI

平分∠BOC，即∠BOI=∠COI.知2－练在△BOM

和△

COM中，∴△BOM≌△COM(SAS).∴∠BMO=∠CMO.又∵∠BMO＋∠CMO=180°，∴∠BMO=∠CMO=90°，即OI⊥BC.OB=OC，∠BOM=∠COM，OM=OM，知2－练3-1.如图，点P

为△

ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC=20°，∠

PCB=30°.知2－练(1)求∠PAB的度数；知2－练(2)直接写出∠APB与∠ACB

的数量关系：_________________

.∠APB＝2∠ACB知2－练1.过直线外一点作这条直线的垂线：如图13.1-24，已知直线AB

和AB

外一点C，用尺规过点C

作AB

的垂线.知识点尺规作图——作垂线、作垂直平分线3知3－讲作法：第一步：任意取一点K，使点K

和点C

在AB

的两旁；特别提醒任取的一点必须与已知点在直线的两侧，目的是使画的弧与已知直线有交点知3－讲

确保CD=CE确保FD=FE知3－讲第四步：作直线CF，如图13.1-25．→要保留作图痕迹，并写明结论直线CF

即为所求．要保留作图痕迹，并写明结论知3－讲2.作线段的垂直平分线已知：如图13.1-26，线段AB．求作：用尺规作线段AB

的垂直平分线CD．知3－讲

知3－讲[中考·威海]过直线l外一点P

作直线l

的垂线PQ．下列尺规作图(如图13.1-28)错误的是()例4知3－练解题秘方：根据作图痕迹结合线段垂直平分线的作法进行分析判断．知3－练解：选项A，如图13.1-29，连接PA，PB，QA，QB.∵PA=PB，∴点P

在线段AB

的垂直平分线上.∵QA=QB，∴点Q

在线段AB

的垂直平分线上.∴PQ⊥l，故此选项不符合题意.知3－练选项B，如图13.1-30，连接PA，PB，QA，QB.∵PA=QA，∴点A

在线段PQ

的垂直平分线上.∵PB=QB，∴点B

在线段PQ

的垂直平分线上.∴PQ⊥l，故此选项不符合题意.选项C，无法证明PQ⊥l，故此选项符合题意.知3－练选项D，如图13.1-31，连接PA，PB，QA，QB.∵PA=QA，∴点A

在线段PQ

的垂直平分线上.∵PB=QB，∴点B在线段PQ

的垂直平分线上.∴PQ⊥l，故此选项不符合题意.答案：C知3－练

知3－练作直线MN

交AC

于点D，交BC

于点E，连接AE，则下列结论不一定正确的是()A.AB=AEB.AD=CDC.AE=CED.∠ADE=∠CDEA知3－练4-2.[中考·盐城]如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E．知3－练(1)求证：AC=AD;知3－练(2)用直尺和圆规作图：过点A

作AF⊥CD，垂足为F(不写作法，保留作图痕迹).解：如图，线段AF即为所求．知3－练1.画对称轴的依据：成轴对称和轴对称图形的性质，即对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.画对称轴的步骤(1)