2025年高考数学一轮复习：数列的综合问题-专项训练【含解析】

数列的综合问题-专项训练【原卷版】

基础巩固练

1.已知等差数列｛%J的公差为2,若由抠2抠4成等比数列，则。2=（）.

A.-10B.-6C.4D.-4

2.[2024.河南联考]已知数列｛册｝满足与=｛三言器广/,，且数列｛册｝是单调

递增数列，贝股的取值范围是（）.’‘

A.（|，Y）B.6+8）C.（5,+s）D.（1,4]

3.《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌

诀形式呈现的，《九儿问甲歌》就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不

知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在

这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（）.

A.11B.13C.14D.16

4.（改编）定义数列｛a陞+i-为数列｛册｝的“差数列”.若的=2,｛斯｝的“差

数列”的第般项为2%则数列的前2024项和S2024=（）.

A.22024-1B,22024C,22°25D,22025-2

5.若｛册｝是首项为正数、公比为q的等比数列,且前律项和为%,则“q22”是

“对任意的nGN*,都有％<斯+1”的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知数列｛an｝满足=%i+i-仁），且的=/，若即<j则n的最小值

为（）.

A.3B.4C.5D.6

7.（改编）设｛斯｝是公比为q的等比数列，首项的=占对于neN*,bn=logian,

642

当且仅当n=4时，数列｛扇｝的前律项和取得最大值，则q的取值范围为（）.

A.（3,2A/3）B.（3,4）C.（2短4）D.（2V2,3V2）

8.已知等差数列｛a"与等比数列｛既｝的首项均为1,且公差dr1,公比q>0且

qH1,则集合｛n|an=%｝的元素最多有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

综合提升练

9.（多选题）已知在数列｛册｝中,<21=3,且点（a”a催+D在函数/（%）=/十%的

图象上，则下列结论正确的是（）.

A.数列｛册｝单调递增B.-一一->1

2023

C.an>9n—6D.a2024>3x4

10.(多选题)设数列｛&J的前n项和为％,若“=算，则称数列｛0｝是数列｛即｝

的“均值数列”.已知数列出仕是数列｛册｝的“均值数列”，且2瓦+4为+8以+

n2

•••+2bn=n+n+2,则下列结论正确的是().

AA.CLy=--23

/64

B.｛S。｝是递减数列

C.若数列｛4｝的前n项和为〃，则6=5—蹈

D.若存在nCN*,使得Tn?一一S"W0成立，则TH的取值范围是[一*3]

11.设立为公比qwl的等比数列｛即｝的前n项和，且3的,2a2/3成等差数列，则

也-

M--------------------1

12.已知数列｛册｝的各项都是正数，成+i—an+1=an(nGN*).若数列｛斯｝单调

递增，则首项内的取值范围是

应用情境练

13.[2024.西安预测]已知在数列｛an｝中，斯=log(n+1)(n+2)(nGN*).定义：将

使数列｛册｝的前k项的积为整数的数k(/cGN*)叫作期盼数.[1,2023]内的所有期

盼数的和等于

14.某地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天完成销售.采摘园

种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计,

从开园第1天到闭园，游客采摘量册(单位:公斤)和开园的第“TieN*)天满足

以下关系…=t-：2n+5o11"<n<24)批发销售每天的销售量为200

公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批奖销售价格的4倍.

(1)当律取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？

(2)采摘零售的总采摘量是多少？农户能否在24天内完成销售计划？

创新拓展练

15.在1和100之间插入律个实数，使得这(n+2)个数构成递增的等比数列，若

将这n+2个数的乘积记作心,再令即=\gTn,n>1,则数列｛&J的通项公式为

16.[2024.青岛模拟]记关于%的不等式％2-4nx+3n2<0(nGN*)的整数解的个

rl

数为an,数列也，的前n项和为田,满足4垢=3+i-叫一2.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)设d=2%-a(-|),若对任意neN*,都有0<%+i成立，试求实数2

的取值范围.

数列的综合问题-专项训练【解析版】

基础巩固练

1.已知等差数列｛a工的公差为2,若由处以4成等比数列，则。2=(C).

A.-10B.-6C.4D.-4

［解析］:数列是公差为2的等差数列，

**•—2,=Cl2+4,

•・•成等匕匕数

谖=ara4,即谈=(a2—2)(a2+4),解得g=4.故选C.

2.［2024.河南联考］已知数列｛册｝满足与=且数列5｝是单调

递增数列，则t的取值范围是(A).

A.(|，Y)B.6+8)C.(5,+8)D.(1,4］

［解析］由题意，可得

6(t-1)>-52+2-5t,解得］<t<?.故选A.

3.《算法统宗》是中国古代数学名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌

诀形式呈现的，《九儿问甲歌》就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不

知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在

这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为(A).

A.11B.13C.14D.16

［解析］将该公公九个儿子的年龄按从大到小的顺序排列，记这位公公的第n(n<

9,nGN*)个儿子的年龄为时,则数列｛册｝为等差数列，公差d=-3,

S9=9(ai；a"=9a5=207,解得=23,

所以+4d=23-12=11.故选A.

4.(改编)定义数列｛a陞+i-为数列｛册｝的“差数列”.若的=2,｛斯｝的“差

数列”的第般项为2%则数列的前2024项和S2024=(D).

A.22°24_1B.22°24C.22025D.22025一2

［解析］依题意得，。71+1-=2”,当71>2时，=%+（。2-%）+（«3一a2）+

•••+（a-a_^=2+2+22+…+2吩1=2+2n。=n,且的=2满足上

nn1—22

式，因此册=2n(neN*),

所以S2024=21+22+-+22024=也上22。24）=22025_2.故选D.

1-2

5.若｛斯｝是首项为正数、公比为q的等比数列,且前n项和为%,则“q22”是

“对任意的neN*,都有%<与+1”的（C）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［解析］依题意知的>0,q>0,若q=1,则即=的，Sn-nar,

此时不满足对任意的nGN*,都有％<an+1,所以q丰1,则％=也已力

若对任意的几eN*,都有九+1，则的=Si<的=%.q，所以q>l,

则S"<S九+i—Sn,即2s九<Sn+1,

所以誓言<当富），贝42（1—q"）>1—砂+i,即q"+i—2qn+1>0,所

1

以2—q<加？

依题意，对任意的neN*,2_q吟,

因为函数y=（3"（%>1）在［1,+8）上单调递减，值域是（0$,

所以2—q40,解得q22,所以qE［2,+8）,

故"q>2”是"对任意的几GN*,都有％<册+1”的充要条件.故选C.

6.已知数列｛册｝满足gan=%i+i-G），且的=?，若即<g则九的最小值

为（B）.

A.3B.4C.5D.6

1Zd\?1+1

n+1

［解析］因为［斯=an+1-C），等式两边同时乘以2"+i可得2"即=2an+1-

1,

n

所以2"+1即+1-2an=1,且2al=1,

所以数列｛2。即｝是首项和公差都为1的等差数列，则2为陞=1+n—l=n,所

以“=eN*）,

匕二，、？n+1nn+l-2n1-n

所以3l+l_m=2我+1=即.

当九=1时，=a2=-；

当几之2时，an+1<an,即数列｛册｝从第二项开始递减.

因为“$3=8->3一，仆=一4〈一3，

所以若册<则n的最小值为4.故选B.

7.（改编）设｛斯｝是公比为q的等比数列，首项的=士,对于nEN*,bn-logi<2n,

642

当且仅当律=4时，数列初陞｝的前律项和取得最大值，贝叼的取值范围为（C）.

A.（3,2V3）B.（3,4）C.（2隹4）D.（2V2,3V2）

［解析］•••等比数列｛斯｝的公比为q,首项的=工,

64

\+1-%=logian+1-logian=log工哈=logiq,

2222

数列｛%｝是以logw为公差，log”］=6为首项的等差数列,

22

%=6+(n-l)logiq.

2

・・・当且仅当几=4时，〃最大,

6+31ogiq>0,

.2

.•6+410g工q<0,

2

-2<logiq<一,即2/<q<4.故选C.

22

8.已知等差数列与等比数列出n｝的首项均为1,且公差dH1,公比q>0且

qH1,则集合｛用心=%｝的元素最多有（B）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

n

［解析］由题意知，。n=1+（n—l）d=dn+1—d,bn=qT,

由a葭=bn得1+（n—l）d-qn~r,显然律=1为1个解.

当d>O,q>l时，点（几即）在一条上升的直线上，

点（九泊瓦）在一条上升的指数曲线上，这两条线最多有2个交点；

当d<O,O<q<l时，点（几斯）在一条下降的直线上，

点（72,5陞）在一条下降的指数曲线上，这两条线最多有2个交点；

当dW0,q>1或d>0,0<q<1时，直线与曲线只有1个交点.

因此集合｛词即=%｝的元素最多有2个.故选B.

综合提升练

9.（多选题）已知在数列｛an｝中,的=3,且点（a”an+i）在函数/（%）=，十%的

图象上，则下列结论正确的是（ACD）.

A.数列｛册｝单调递增B.-一一->1

anan+l

2023

C.an>9n—6D.a2024>3x4

［解析］由题意可知%i+i=a^+an,所以册+i—an=a^>0,所以％^+i>an,

当a九+i=a九时，=0与=3矛盾，所以@九+1。Q九，则。?1+1>。九，

所以数列单调递增，A正确；

11

又a九+1—cin=嫌<所以--------<1,B错误；

anan+l

由上可知与+i-an-a^>9,

册—(an~an-l)+(an-l—an-2)H----H(^2—al)+al—an-l+an-2+--1-

a1+a1>9(n-1)+3=9n—6,

所以。力29n-6(TieN*),C正确；

由上可知即23,则皿=即+1之4（当且仅当n=1时取等号），

an

当九22时，。“二2-%1•….>471-1-3,所以。2024>3X42023,D正

%1-1味2

确.故选ACD.

10.（多选题）设数列｛册｝的前几项和为％,若“=子，则称数列｛%｝是数列｛即｝

的“均值数列”.已知数列出兀｝是数列｛an｝的“均值数列”，且2瓦+4%+8以+

n2

•­•+2bn=n+n+2,则下列结论正确的是（ACD）.

A23

A.CLy=---

/64

B.｛S0｝是递减数列

C.若数列｛4｝的前n项和为〃，则6=5—据

D.若存在ZlCN*,使得TH?一一S"W0成立，则TH的取值范围是［一*3］

［解析］当律=1时，2瓦=1.2+1+2,解得瓦=2,

n2

因为2bl+4b2+8b3+—卜2bn=n+n+2,®

n1

所以当n>2时，2bl+4b2+8b3+—F2~bn_1=（n—I。+n+1,②

由①一②得2%=2n,即“二零二一、，

■\

取n—1,瓦==1H2,此式不满足瓦，

2,n=1,

故数列｛4J的通项公式为垢=

<（2,n-1,

由题意可得包=牖，则5陞=/

n［布，g2，

因为=Sn—Sn_x（n>2）,

所以。7=S7-56=墨一||=-II,故A正确.

因为SI=S2=2,所以｛S"不是递减数列，故B错误.

2,n=1,

因为，j=号，北2,

当=1时，A=瓦=2,

所以当心2时，〃=2+|+卷+…+号,

2

缶「,IT4--3n-1n

所以=1+9+/+•••+布+齐，

所以牌=2+5+专+素+...+/一合=2+表x（l次=|-穿，即

1号

Tn+2

Tn=c5一百

取n=l,A=5-券=2,此式满足A，

所以数列｛4｝的前律项和的=5—黑>故C正确.

2

当n23时，Sn^^,

（71+1）2

所以s九+i

2n

所以％+1_S”=哦_总=f2；/+1<0,即Sn+i<Sn，

所以数列｛S"从第3项开始是单调递减数列.

g

当几=3时，S=

J34

所以Si=S2=2<S3=£

则由数列｛S"｝的单调性可知％<

4

因为存在rieN*,使得Tn?—^m—Sn<0成立,

所以血2—'7n-'<0,gp(m—3)(m+<0,解得—1<7n<3,故D正确.故

选ACD.

11.设立为公比qWl的等比数列｛册｝的前几项和，且3%,2a2,%成等差数列，则

也=10.

$2-

［解析］由题意知，3al+%=2・2%，即3%+Qiq2=4的］,即3+q?=4q,解

得q=1(舍去)或q=3,&=叫。手=

"1Szai(l+Q)1()

12.已知数列｛册｝的各项都是正数，W+1—an+1=an(nEN*).若数列｛册｝单调

递增，则首项的的取值范围是@2工

［解析］由题意知，正数数列｛册｝是递增数列，且成+i-an+1=an(nGN*),

•••an—an+1=磷+1-2an+1<0,解得与+iG(0,2),；.a2G(0,2),

1

・,・%=7_gW［—>2),

q

v%>0,・•・0<的<2.

应用情境练

13.［2024•西安预测］已知在数列｛册｝中，斯=1咤（陞+1）5+2）（neN*）.定义：将

使数列的前k项的积为整数的数做左GN*）叫作期盼数.［1,2023］内的所有期

盼数的和等于2026.

［解析］因为斯=logn+1(n+2)(nGN*),

j匕,、11cl„1八.In31n4ln(/c+2)

所以的.

a2.........ak=log23-log34..........log^^k+2)=—•—..............+1)

ln(fc+2)

In2

设「=1^^2,则k+2=2、

In2

所以/c+2为2的整数次幕，

因为1<k<2023,

所以3<k+2<2025,

故满足条件的k+2=4,8,16,32,64,128,256,512,1024,

故［1,2023］内的所有期盼数的和为4—2+8—2+16—2+32—2+64-2+

128-2+256-2+512-2+1024-2=—2x9=2026.

1-2

14.某地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天完成销售.采摘园

种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计,

从开园第1天到闭园，游客采摘量即（单位:公斤）和开园的第n（neN*）天满足

绮廿淄。建工）批发销售每天的销售量为200

以下关系：册=224

公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.

（1）当律取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？

（2）采摘零售的总采摘量是多少？农户能否在24天内完成销售计划？

［解析］（1）由已知得，当1WnW16时，（5n+20）x5x42200x5,解得6W

n<16.

当17WnW24时，（2245-2n+50）x5x4>200x5,解得17<n<18,

所以当6WriW18（nGN*）时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入.

（2）不能.当1<n<16时，｛册｝为等差数列，记这些项的和为S16,%=25,%6=

（）

100,S16=16。丁16=1000

当17wn£24时,记数列｛即｝这些项的和为丁8，

76

r8=(2-2x17+50)+(2-2x18+50)+•••+(2°-2x24+50)=

(27+26+…+2°)-2x(17+18+…+24)+50x8=之〜口卞)1-2x

i-5

8X(：+24)+400=255-328+400=327,

S16+T8=1327,即采摘零售的总采摘量是1327公斤