人教版数学九年级上册 21.3 实际问题与一元二次方程第1课时 用一元二次方程解决传播问题 教案

人教版数学九年级上册21.3实际问题与一元二次方程第1课时用一元二次方程解决传播问题教案授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析“人教版数学九年级上册21.3实际问题与一元二次方程第1课时用一元二次方程解决传播问题教案”主要围绕一元二次方程在实际问题中的应用展开。本节课通过传播问题引入一元二次方程，让学生学会建立方程模型解决实际问题。教材以生动的实例引导学生理解一元二次方程在实际生活中的应用，培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。核心素养目标1.让学生能够理解并运用一元二次方程解决实际问题，发展学生的数学建模能力。

2.培养学生分析问题、解决问题的能力，提高逻辑思维和批判性思维能力。

3.通过实际问题的解决，增强学生对数学的兴趣和信心，培养良好的学习习惯和合作精神。教学难点与重点1.教学重点

-掌握一元二次方程的标准形式和求解方法，包括配方法、公式法和因式分解法。

-能够根据实际问题抽象出一元二次方程模型，理解实际问题与数学模型之间的联系。

举例：通过讲解例题，如“某病毒传播过程中，感染人数每天翻倍，第3天感染了64人，求第1天感染了多少人？”来强调如何从实际问题中提取信息，构建一元二次方程x^2=64，并使用因式分解法解得x=8或x=-8，其中x=8是符合实际情况的解。

2.教学难点

-学生可能难以理解如何将现实问题转化为数学问题，特别是在建立一元二次方程模型时。

-对于一元二次方程的解法，尤其是公式法中的判别式和根的判别可能成为学生的难点。

举例：在解决“某球从地面抛出，上升和下降的总时间为4秒，最高点时离地面10米，求球初速度是多少？”的问题时，学生可能不知道如何根据运动规律构建一元二次方程。教师需要引导学生考虑球的运动轨迹，建立方程v^2-10=0，并解释判别式Δ=0的意义，即有两个相同的实数根，表示球达到最高点的时间是一个确定值。同时，教师要耐心解释公式的每一步推导，帮助学生理解并掌握。教学资源准备1.教材：人教版数学九年级上册，确保每位学生都有教材。

2.辅助材料：准备相关的实际传播案例资料，包括文字和图表，以及一元二次方程的解题步骤示例。

3.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪和电脑，用于展示PPT和案例。

4.教室布置：将学生分成小组，每组安排一名记录员和一名报告员，以便于课堂讨论和成果分享。教学过程1.导入新课

-我会通过一个简单的Warm-up活动开始本节课，询问学生：“你们在生活中有没有遇到一些问题，觉得可以用数学来解决？”让学生思考并分享他们的例子。

-接着，我会介绍本节课的主题：“今天我们将学习如何用一元二次方程来解决一些实际问题，特别是传播问题。”

2.教学新课

-首先，我会让学生打开教材，翻到21.3节的内容，并简要介绍一元二次方程的定义和它的标准形式。

-然后，我会展示一个关于病毒传播的案例，并引导学生一起分析问题，抽象出数学模型。

-我会写出案例中的关键信息，并提问：“我们可以设第n天感染的人数为x，那么第n+1天感染的人数是多少？”学生回答后，我会继续引导：“如果第3天感染了64人，我们可以得到方程x^2=64，你们知道如何解这个方程吗？”

-接下来，我会讲解如何使用因式分解法解这个方程，并让学生尝试解答类似的问题。

3.实践与探究

-我会给学生发放一些实际问题的工作单，要求他们独立或分组完成，这些问题都与传播有关，例如人口的增加、疾病的传播等。

-学生需要识别问题中的变量，建立一元二次方程，并求解。

-在学生解决问题的过程中，我会巡视教室，提供必要的指导和支持。

4.小组讨论

-学生将他们的答案和解决方案在小组内分享，并讨论他们的解题过程。

-每个小组选出一个代表，汇报他们的讨论结果和解题过程。

-我会根据学生的汇报，进行点评和总结，强调正确的解题步骤和常见的错误。

5.课堂练习

-我会在黑板上写出几个练习题，要求学生独立解答，并邀请学生上黑板展示他们的解答。

-学生需要解释他们的解题思路，我会给予反馈，确保他们理解了一元二次方程的解法。

6.总结与反思

-我会引导学生回顾本节课学到的内容，并提问：“你们认为一元二次方程在实际生活中有什么应用？”

-学生分享他们的想法后，我会总结一元二次方程在解决实际问题中的重要性，并强调建立数学模型的过程。

7.布置作业

-最后，我会布置一些家庭作业，要求学生在家里完成一些与一元二次方程相关的实际问题。

-我会强调作业的重要性，并提醒学生按时完成。

8.课堂延伸

-如果时间允许，我会提供一些额外的挑战性问题，让学生尝试解决更复杂的一元二次方程问题。

-我也会鼓励学生思考一元二次方程在其它领域的应用，例如物理、工程等。

在整个教学过程中，我会不断鼓励学生提问，确保他们理解了每个步骤，并能够独立解决问题。我会使用多种教学方法，包括讲解、示范、实践和讨论，以适应不同学生的学习风格。通过本节课的学习，学生应该能够理解一元二次方程在实际问题中的应用，并掌握解决这类问题的基本方法。拓展与延伸1.拓展阅读材料

-推荐学生阅读《生活中的数学》一书，特别是关于一元二次方程在实际应用中的章节，让学生了解一元二次方程在各个领域的广泛应用。

-提供一些在线资源，如数学论坛和博客，让学生可以阅读更多关于一元二次方程的解题技巧和实际案例分析。

2.课后自主学习和探究

-鼓励学生尝试解决更多涉及一元二次方程的实际问题，如投资问题、物理运动问题等，以加深对一元二次方程的理解。

-提议学生收集生活中的实际问题，尝试用一元二次方程来建立模型，并求解，如人口增长、物品降价等。

-鼓励学生探索一元二次方程的图像性质，了解一元二次方程的根与图像的关系，以及如何通过图像来预测问题的解。

-建议学生阅读有关数学建模的书籍或文章，了解如何将现实世界的问题转化为数学问题，并使用数学工具解决。

-提出一些研究性问题，如“一元二次方程在经济学中有哪些应用？”“在工程领域中，一元二次方程如何帮助解决实际问题？”等，引导学生进行深入思考和研究。

-鼓励学生参加数学竞赛或数学俱乐部，与其他同学交流一元二次方程的解题经验和技巧。

-提醒学生定期复习一元二次方程的相关知识，包括方程的建立、解法及其应用，以巩固学习成果。

-最后，鼓励学生将所学的数学知识应用到日常生活中，发现数学与生活的联系，提高数学的应用意识。典型例题讲解1.例题一：

题目：某品牌手机的销售价格经过两次降价后，从原价x元降到了0.54x元。如果每次降价都是20%，求手机的原价是多少？

解答：设手机的原价为x元。根据题意，手机经过两次降价，每次降价20%，因此降价后的价格是原价的0.8倍。可以建立方程x*0.8*0.8=0.54x。解这个方程，得到x=0.54x/0.64，化简得x=0.54/0.64，计算得x=600。所以手机的原价是600元。

2.例题二：

题目：一个正方形的对角线长度是10cm，求正方形的面积。

解答：设正方形的边长为xcm。根据勾股定理，正方形的对角线长度是边长的√2倍，即x√2=10。可以建立方程x^2=50。解这个方程，得到x=√50，化简得x=5√2。所以正方形的面积是x^2=(5√2)^2=50cm^2。

3.例题三：

题目：某银行存款的年利率是5%，如果存入10000元，求一年后的本息和。

解答：设一年后的本息和为x元。根据题意，存款的年利率是5%，所以一年的利息是10000元的5%，即10000*0.05=500元。因此，本息和可以表示为10000+500=x。解这个方程，得到x=10500。所以一年后的本息和是10500元。

4.例题四：

题目：一个矩形的长是宽的两倍，如果矩形的周长是60cm，求矩形的面积。

解答：设矩形的宽为xcm，那么矩形的长为2xcm。根据周长的定义，可以建立方程2(x+2x)=60。解这个方程，得到x=10。所以矩形的宽是10cm，长是20cm，面积是10*20=200cm^2。

5.例题五：

题目：一个球从地面抛出，上升和下降的总时间为4秒，最高点时离地面10米，求球的初速度是多少？

解答：设球的初速度为x米/秒。根据物理学的运动规律，球的运动轨迹可以表示为一个抛物线，其方程为h=x*t-0.5*g*t^2，其中h是高度，t是时间，g是重力加速度（约为9.8米/秒^2）。在最高点时，球的速度为0，所以可以建立方程10=x*2-0.5*9.8*2^2。解这个方程，得到x=19.6/2=9.8。所以球的初速度是9.8米/秒。内容逻辑关系①一元二次方程的定义与标准形式

-重点知识点：一元二次方程的定义、一元二次方程的标准形式ax^2+bx+c=0（a≠0）。

-重点词：方程、一元、二次、系数、标准形式。

②一元二次方程的解法

-重点知识点：配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。

-重点词：配方法、公式法、因式分解法、判别式、解集。

③一元二次方程在实际问题中的应用

-重点知识点：如何从实际问题中抽象出一元二次方程、一元二次方程在实际问题中的建模与应用。

-重点词：实际问题、抽象、建模、应用、传播问题。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在本节课中，我尝试通过引入现实生活中的传播案例来激发学生的学习兴趣，让学生认识到数学与实际生活的紧密联系。

2.我采用了小组合作学习的方式，鼓励学生在小组内讨论和分享解题过程，这样可以培养学生的合作能力和批判性思维。

（二）存在主要问题

1.在教学管理方面，我发现部分学生在小组讨论时参与度不高，可能是因为他们对一元二次方程的概念理解不够深刻。

2.在教学方法上，我可能过于依赖PPT演示，而忽视了板书的运用，导致学生在解题过程中缺乏直观的指导。

3.在教学评价方面，我意识到我给出的反馈不够具体，未能针对性地指出学生的错误和不足，使得学生难以针对性地改进。

（三）改进措施

1.为了提高学生的参与度，我将在课堂上增加互动环节，例如提问和快速回答游戏，以此来检查学生对一元二次方程基础概念的理解。

2.我会更多地使用板书来展示解题过程，特别是在讲解复杂的一元二次方程解法时，让