人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.7 三角函数的应用 重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题5.7三角函数的应用（重难点题型精讲）1．函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0中各量的物理意义在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0中的常数有关.2．三角函数的简单应用(1)三角函数应用的步骤(2)三角函数的常见应用类型

①三角函数在物体简谐运动问题中的应用.

物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.

②三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用.

物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态.

③三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用.

大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【题型1三角函数在物体简谐运动问题中的应用】【方法点拨】物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种运动状态.【例1】如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（

）A．该弹簧振子的振幅为2cmB．该弹簧振子的振动周期为1.6sC．该弹簧振子在0.2s和1.0s时振动速度最大D．该弹簧振子在0.6s和1.4s时的位移为零【变式1-1】在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（

）A．x=32sinC．x=32sin【变式1-2】如图为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为C．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D．该质点在0.3s和【变式1-3】我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为Lcm的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是s=2cosgLt，其中g≈980cm/s2A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5【题型2三角函数在圆周运动问题中的应用】【方法点拨】这类题一般明确地指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的函数来刻画，只需根据已知条件确定参数，求解函数解析式，再将题目涉及的具体的数值代入计算即可.【例2】一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与tA．ℎ=2sinπ30C．ℎ=2sinπ30【变式2-1】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m），则点P第一次到达最高点需要的时间为（

）sA．2 B．3 C．5 D．10【变式2-2】石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径88米，总高约100米，匀速旋转一周时间为18分钟，配有42个球形全透视360度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差6分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（

）A．78米 B．112米 C．156米 D．188米【变式2-3】如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要30min.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（

）A．H=55B．H=55C．H=−55D．H=−55【题型3三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用】【方法点拨】大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数模型来解决这些问题.【例3】如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asinωx+φ+BA．25°C B．26°C C．27°C【变式3-1】夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y=Asinωx+φ+B，则该市这一天中午12A．25∘C B．26∘C C．【变式3-2】某市一年12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6x−6（x=1,2,3,⋅⋅⋅,12）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为28∘A．25.5∘C B．22.5∘C C．【变式3-3】月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y（单位：∘C）与月份x（单位：月）的关系可近似地用函数y=Asinπ6x−3+a（x=1,2,3,⋯,12）来表示，已知6月份的月均温为29∘C，A．20∘C B．20.5∘C C．【题型4用拟合法建立三角函数模型】【方法点拨】数据拟合问题的实质是根据题目提供的数据画出简图，求相关函数的解析式进而研究实际问题.在求解与三角函数有关的函数拟合问题时，需弄清楚SKIPIF1<0的具体舍义，只有掌握了这三个参数的含义，才可以实现符号语言(解析式)与图形语言(函数图象)之间的相互转化.【例4】某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据：t03691215182124y10139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m(1)若有以下几个函数模型：y=at+b，y=Asinωt+ϕ(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【变式4-1】“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间0≤t≤24（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．【变式4-2】）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间t（0≤t≤24，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：t（时）03691215182124y（米）1.01.41.00.61.01.40.90.41.0(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从y=at+b，y=Asinωt+φ+b(3)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．【变式4-3】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：t（时）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①y=Asin(ωt+φ)，②y=Acos(ωt+φ)+b，③(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．专题5.7三角函数的应用（重难点题型检测）一．选择题1．简谐运动y=4sin5x−πA．5x−π3，π3 B．5x−3C．5x−3，−π3 D．42．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为y=sinx+12sinA．π B．2π C．23π 3．一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式y=Asinωx+φ+2，A>0，ω>0A．A=5，ω=3π10 B．A=5C．A=3，ω=2π15 D．A=34．时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20°C时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到28°C时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内5~17时的气温T（单位：°C）与时间t（单位：h）近似满足关系式T=20−10sinπ8t−A．1.4h B．2.4h C．3.2h D．5.6h5．如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（

）A．该质点的振动周期为0.7s B．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大 D．该质点在0.3s6．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为20∘C，但当气温上升到31∘C时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时∼14时的气温T（单位：∘C）与时间t（单位：小时）近似满足函数关系式T=25+10sinπA．6.7时∼11.6时 B．6.7时∼12.2时C．8.7时∼11.6时 D．8.7时∼12.2时7．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为y=sinωt+φω>0,φ<π，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2A．13s B．23s C．8．海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择y=Asin(ωx+ϕ)+K（A．5:00至5:30 B．5:30至6:00 C．6:00至6:30 D．6:30至7:00二．多选题9．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移scm和时间ts的函数关系式为s=2sinωt+φ，其中ω>0，若该阻尼器模型在摆动过程中位移为1的相邻时刻差为π3A．2 B．3 C．4 D．610．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是（

）A．该函数的周期是16B．该函数图象的一条对称轴是直线x＝14C．该函数的解析式是y＝10sin(πD．这一天的函数关系式也适用于第二天11．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是（

）A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5C．该质点在0.1s和0.5s时运动速度为零D．该质点的运动周期为0.8s12．一半径为3.6米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每60秒转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时（图中点P0位置）开始计时，则下列判断正确的有（

A．点P第一次到达最高点需要20秒B．在水轮转动的一圈内，有40秒的时间，点P在水面的上方C．当水轮转动95秒时，点P在水面上方，点P距离水面1.8米D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，点P距离水面0.9米三．填空题13．如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是.14．下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式d=Asin(ωt+φ)+1A>0,ω>0,|φ|<π2，则函数关系式为15．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos[π6(x−6)](A>0,x=1,2,3,⋯,12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28°C，12月份的月平均气温最低，为18°C，则16．某地为发展旅游事业，在旅游手册中给出了当地一年12个月每个月的平均气温表（气温单位：℃），如图.根据图中提供的数据，试用y=Asinωx+φ+b近似地拟合出月平均气温与时间（单位：月）的函数关系为四．解答题17．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：ft(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．18．如图，某地一天从4∼18时的温度变化曲线近似满足fx=Asinωx+φ+b