人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型精讲1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．温馨提示：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系温馨提示：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【题型1一元二次不等式的解法】【方法点拨】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【例1】不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集为（）A．(−12，2) C．(−∞，−2)∪(12【变式1-1】不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（）A．{x|−23≤x≤1} BC．{x|x≤−23或x≥1}【变式1-2】不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1） C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）【变式1-3】不等式﹣2x2+x+15≤0的解集为（）A．{x|−52≤x≤3} B．{x|x≤−5C．{x|−3≤x≤52} D．{x|x≤﹣3或【题型2含参的一元二次不等式的解法】【方法点拨】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【例2】若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x−1a）＞【变式2-1】当a≤0时，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．【变式2-2】解关于x的不等式x2﹣（a+1a）x+1＜【变式2-3】解关于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．【题型3三个“二次”关系的应用】【方法点拨】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【例3】已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集为（）A．R B．∅ C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}【变式3-1】二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），则cbA．65 B．−65 C．56【变式3-2】若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|−12＜x＜A．(−∞，−16) B．(−∞，16【变式3-3】二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两根为2，﹣3，那么关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（）A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}【题型4解简单的分式不等式】【方法点拨】(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【例4】求不等式的解集：（1）﹣x2+4x+5＜0；（2）2x2﹣5x+2≤0；（3）x+1x−3≥0；（4）【变式4-1】解下列不等式并写出解集．（1）﹣2x2+3x+9＞0；（2）8−x5+x≥【变式4-2】求下列关于x的不等式的解集：（1）5x−7≥−1；（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞【变式4-3】解不等式：（1）4x2﹣15x+9＞0；（2）2−xx+4【题型5一元二次不等式恒成立、存在性问题】【方法点拨】不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【例5】已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（）A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1【变式5-1】不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2）【变式5-2】关于x的不等式x2+ax﹣2＜0在区间[1，4]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）【变式5-3】对任意实数x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）【题型6一元二次不等式的实际应用】【方法点拨】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．【例6】汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个主要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间分别有如下关系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．则交通事故的主要责任方是（填“甲”或“乙”）．【变式6-1】某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是台．【变式6-2】某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x−k+4500x)L．【变式6-3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低x（x＞0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．专题2.3二次函数与一元二次方程、不等式-重难点题型检测一．选择题1．不等式（x+1）（x+3）＜0的解集是（）A．R B．∅ C．{x|﹣3＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣3，或x＞﹣1}2．若p：1x＞1；q：（x﹣1）（3﹣x）≤0A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知2x2﹣kx+m＜0的解集为（﹣1，t）（t＞﹣1），则k+m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．若关于x的不等式mx2+2x+m＞0的解集是R，则m的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，1） D．[1，+∞）5．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，4），则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（）A．{x|x＜−12或x＞14} B．{x|C．{x|x＜−14或x＞12} D．6．若关于x的不等式（2x﹣1）2＜ax2的解集中的整数恰有3个，则实数a的取值范围是（）A．(53，74] B．[537．关于x的方程x2+（m+4）x+2m+20＝0有两个正根x1，x2（x1＜x2），下列结论错误的是（）A．0＜x1＜2 B．2＜x2＜6 C．x1x2x1+xD．x12+x228．已知不等式﹣2x2+bx+c＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，若对于任意x∈{x|﹣1≤x≤0}，不等式﹣2x2+bx+c+t≤4恒成立，则t的取值范围是（）A．{t|t≤2} B．{t|t≤﹣2} C．{t|t≤﹣4} D．{t|t≤4}二．多选题9．与不等式x2﹣x+2＞0的解集相同的不等式有（）A．﹣x2+x﹣2＜0 B．2x2﹣3x+2＞0 C．x2﹣x+3≥0 D．x2+x﹣2＞010．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，2），则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．a+b+c＞0 C．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣3，1） D．关于x的不等式bx2+cx+3a＞0解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）11．下列关于不等式x2﹣（a+1）x+a＞0的解集讨论正确的是（）A．当a＝1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为∅ B．当a＞1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为（a，+∞） C．当a＜1时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集为{x|x＜a或x＞1} D．无论a取何值时，x2﹣（a+1）x+a＞0的解集均不为空集12．下列说法正确的是（）A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集为{x|x＜12或xB．若实数a，b，c满足ac2＞bc2，则a＞b C．若x∈R，则函数y=x2+4D．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（0，4）三．填空题13．不等式x2+2x﹣8≤0的解集是．14．已知p：2x2﹣3x﹣2≥0，q：x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣2）≥0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．15．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|1＜x＜3}，则cx2﹣bx+a＞0的解集是．16．对任意x∈R，一元二次不等式（k﹣1）x2+（k﹣1）x−38＜0都成立，则实数k的取值范围为四．解答题17．解以下一元二次不等式（1）2x2﹣3x+1≤0（2）﹣x2﹣5x+6＜0（3）4x2﹣4x+1＞0（4）x2﹣6x+9≤018．解下列关于x的不等式：（a为实数）（1）x2+2x+a＜0；（2）ax−1x−2＞19．已知不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|−12＜x＜132