2025年中考数学一轮复习专项训练-实际问题与一元二次方程

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页实际问题与一元二次方程一轮复习专项训练-2025年中考数学目录导航目录导航第一部分：真题重现第二部分：跟踪训练【第一部分】真题重现真题重现1．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：每件售价/元日销售量/件(1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．【答案】(1)；(2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；（2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可．【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为，将，代入得，解得，与之间的函数表达式为；（2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下：依题意得，整理得，∴，∴该商品日销售额不能达到元．2．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．(1)求与与的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．【答案】(1)；(2)能，(3)的最大值为800，此时【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：（1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；（2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可；（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．【详解】（1）解：∵篱笆长，∴，∵∴∴∵墙长42m，∴，解得，，∴；又矩形面积；（2）解：令，则，整理得：，此时，，所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，∴围成的矩形花圃面积能为；∴∴∵，∴；（3）解：∵∴有最大值，又，∴当时，取得最大值，此时，即当时，的最大值为8003．（2023·辽宁丹东·中考真题）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米；当每千克售价为6元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价（元）满足一次函数关系．(1)请直接写出y与x的函数关系式；(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？【答案】(1)(2)6元(3)当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元【分析】（1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式；（2）根据总利润=每千克利润×销售量，列出方程求解即可；（3）设利润为w，根据总利润=每千克利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质，即可解答．【详解】（1）解∶根据题意可得，该函数经过点，设y与x的函数关系式为，将代入得：，解得：，∴y与x的函数关系式为，（2）解；根据题意可得：，∴，整理得：，解得：，∵售价不低于成本价且不超过每千克7元，∴每千克售价定为6元时，利润可达到1800元；（3）解：设利润为w，，∵，函数开口向下，∴当时，w随x的增大而增大，∵，∴当时，w有最大值，此时，∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式，熟练掌握二次函数的性质．【第二部分】跟踪训练跟踪训练一、单选题1．为贯彻落实省教育厅提出的乡村学校“绿色点亮生活，健康护佑生命”的主题实践活动，某校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长为的围栏建成如图所示的生态种植园（中间用围栏隔开）．由于场地限制，垂直于墙的一边，长度不能超过（围栏宽忽略不计）．若生态种植园的面积为，则生态种植园垂直于墙的边长为（

）A． B．或 C． D．或2．《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（

）A．24 B．30 C．32 D．363．小包裹，大作为．快递业就像一座桥，一头连着供给端，一头连着消费端，有力承载着经济发展与民生福祉．某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B．C． D．4．我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．计划分为4组，每组安排28场比赛，设每组邀请个球队参加比赛，可列方程得（

）A． B．C． D．5．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加，年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．6．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款年利率由降至，设平均每次降息的百分率是x，则可列方程为（

）A． B．C． D．7．使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的长方形，求这个长方形的两边长时，设墙的对边长为，可得方程（

）A． B．C． D．8．据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则列（）A． B．C． D．二、填空题9．已知两个连续正偶数的积为224，则这两个连续正偶数的和是．10．学校要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请x个球队参加比赛？列方程为：11．一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手一次，经统计，一共握手36次，设这次会议与会人数是共x人，则可列方程．12．如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使剩下的图形面积是原矩形面积的一半，则所截去小正方形的边长为．13．某地区2017年投入教育经费2500万元，2019年计划投入教育经费3025万元．设2017年至2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，由题意可列方程为．14．如图，在四边形中，，，，对角线的交点为，则的长为．15．如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么秒后，线段将分成面积的两部分．16．我们把按一定规律排列的一列数称为数列．若一个数列中任意相邻的三个数，，总满足，则称这个数列为“梦数列”．（1）若0，1，，2，是“梦数列”，则；（2）若不论取何值，数列，，都是“梦数列”，则；（3）若数列是“梦数列”，则．三、解答题17．某校九年级学生一模考试的数学成绩是75分，经过自己不断地努力，二模、中考两次考试成绩的增长率均相同，中考数学成绩为108分，求后两次考试成绩的平均增长率．18．“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．19．随着消费观念的转变，中药代茶饮“火爆出圈”，成为众多年轻人的饮品首选．据统计，某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒．(1)求该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率；(2)假设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率保持不变，则10月份的销量能不能达到5.5万盒？请通过计算说明．20．中秋国庆长假，各地游客为“瓷”而来，走进景德镇，我市某瓷瓶零售店销售某种瓷瓶，其进价为每件40元，按每件元出售，每周可售出件，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每周的销售量可增加10件．(1)若该瓷瓶零售店销售这种瓷瓶要想平均每周获利元，请回答：每件瓷瓶应降价多少元？在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店每件瓷瓶的售价为多少元？(2)在降价情况下，该零售店销售这种瓷瓶平均每周获利能达到元吗？请说明理由．21．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为．(1)求道路的宽是多少？(2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元．22．如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，以为邻边作矩形，其面积是8．

(1)求直线的解析式；(2)如图2，点从点出发，沿线段向终点运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿线段向终点运动，速度为每秒1个单位长度，连接，两点同时出发，运动时间为秒，当为何值时，的面积为；(3)如图3，在（2）的条件下，当时，两点同时停止运动，在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：题号12345678答案CDDDCABD1．C【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设生态种植园垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，根据“生态种植园的面积为”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．【详解】解：设生态种植园垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，由题意得：，整理得：，解得：，，∵由于场地限制，垂直于墙的一边，长度不能超过，∴，∴生态种植园垂直于墙的边长为，故选：C．2．D【分析】本题考查了勾股定理的应用，表示正东方向，表示正南方向，则，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案．【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向，∴设甲、乙的时间都是x，则，，又∵．∴由勾股定理得：，∴∴，∴（舍去），∴甲走的路程为（步），故选：D．3．D【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出的形式即可．【详解】根据题意，得．故选：D．4．D【分析】本题主要考查了列一元二次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键．设每组邀请个球队参加比赛，根据等量关系“计划分为4组，每组安排28场比赛”列方程即可．【详解】解：由题意可得：．故选:D．5．C【分析】本题考查了一元二次方程与增长率，根据平均增长率为，年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元，由此列方程即可求解．【详解】解：根据题意，，故选：C．6．A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据一年期存款的原年利率及经过两次降息后的年利率，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：．故选：A．7．B【分析】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式以及根据题意列出一元二次方程，得出矩形两边长是解题关键．根据铁丝网总长度为，长方形的面积为来列出关于的方程，由题意可知，墙的对边为，则长方形的另一条边为，则可利用面积公式求出即可．【详解】解：由墙的对边长为，可得方程：，故选：B．8．D【分析】此题考查一元二次方程的应用，设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆则可列出关于x的一元二次方程．【详解】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据题意有：故选：D．9．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设一个偶数为，则另一个偶数为，根据“两个连续正偶数的积为224”列出一元二次方程，求解即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键．【详解】解：设一个偶数为，则另一个偶数为，由题意得：，整理得：，解得：，，∵为正偶数，∴，∴，∴这两个连续正偶数的和是，故答案为：．10．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，根据计划安排15场比赛建立方程，解方程即可得．【详解】解：设应邀请个球队参加比赛，则总共需安排场比赛，由题意得：，故选：．11．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这次会议与会人数是人，利用握手的总次数参会人数（参会人数，即可得出关于的一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：设这次会议与会人数是人，依题意得：，故答案为：．12．【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设所截去小正方形的边长为，根据题意可知截去的四个小正方形的面积是原长方形面积的一半，据此列出方程求解即可．【详解】解：设所截去小正方形的边长为，由题意得，，解得或，∴所截去小正方形的边长为，故答案为：．13．【分析】本题考查一元二次方程的实际应用—平均变化率问题，根据平均变化率的等量关系：，结合题意，列出方程即可．【详解】解：由题意，列出方程为：；故答案为：．14．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用、面积法及一元二次方程思想在几何计算中的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点作于点，利用有两个角相等的三角形相似判定，根据相似三角形的性质得比例式，设，用含的式子分别表示出，再由面积法得出的第二种表示方法，从而得关于的方程，解得的值，则的值可得，然后用勾股定理求得即可．【详解】解：如图，过点作于点，∵，，∴，∴，∵，∴设，由于，故∴在中，，由勾股定理得：，则，∴显然，化简整理得解得，（不符合题意，舍去），故，在中，，故答案为：．15．2或4【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题关键．设运动时间为，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可．【详解】解：设运动时间为，则，，∵，，∴cm，∵线段将分成面积的两部分，∴或，∴，或，整理得：或（无实数解），

解得，，即线段将分成面积的两部分，运动时间为2或4秒．故答案为：2或4．16．21或−2【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是明确“梦数列”的含义.（1）根据“梦数列”的定义进行求解即可；（2）根据“梦数列”的定义可得到，结合条件则有，从而可求解；（3）结合“梦数列”的定义进行求解即可.【详解】（1）由题意得：，故答案为：；（2）∵数列是“梦数列”，∴，∵不论取何值，数列都是“梦数列”，∴，解得：，∴，故答案为：；（3）∵数列是“梦数列”，∴，，则有，∴，解得：或.故答案为：或.17．后两次考试成绩的平均增长率是【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设后两次考试成绩的平均增长率是，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案．【详解】解：设后两次考试成绩的平均增长率是，由题意，得，解得不符合本题要求舍去．答：后两次考试成绩的平均增长率是．18．(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为(2)购买的这种健身器材的套数为200套【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；（2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得：，解得：（不符合题意，舍去），答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；（2）解：∵元，∴购买的这种健身器材的套数大于100套，设购买的这种健身器材的套数为套，由题意得：，整理得：，解得：，当时，售价元（不符合题意，故舍去），答：购买的这种健身器材的套数为200套．19．(1)该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为(2)10月份的销量不能达到5.5万盒【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．（1）设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为，根据“某购物网站上某品牌的中药茶饮包7月份的销量为4万盒，9月份的销量为4.84万盒”列出一元二次方程，计算即可得解；（2）先求出10月份的销量，再与万盒比较即可得解．【详解】（1）解：设该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为，由题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），∴该购物网站上这个品牌的中药茶饮包销量的月平均增长率为；（2）解：（万盒），∵，∴10月份的销量不能达到5.5万盒．20．(1)每件瓷瓶应降价或元；该店每件瓷瓶的售价为元；(2)该零售店销售这种瓷瓶平均每周获利不能达到元，理由见解析．【分析】（）设每件瓷瓶应降价元，利用“销售量每件利润”元列出方程求解即可；根据题意即可求解；（）设每件瓷瓶应降价元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无实数根，故不能达到要求；本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．【详解】（1）解：设每件瓷瓶应降价元，根据题意得：，整理得：，解得：，，答：每件瓷瓶应降价或元；由得每件瓷瓶降价或元每周获利元，由在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让