集合与常用逻辑用语-2025年高考数学一轮复习

专题01集合与常用逻辑用语

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

维构建・耀蓿陈绐

K元素的三大特性：确定性、无序性、互异性）

■＜元索与集合的关系：属于、不育）壁01判朝案与集合共系

—（。知识点一集合）朝02根题意与集合共至求参数

■（集合的表示法：列举法、描述法、图示法）凝03集合中元素的常性

壁04集钿

（常用数集的记法与关系图）

子集：集合A中所有元素都是集合B的元素

真子集：集合合的子集，

A"B健01技微:通

-且集合中至少有一标袁不于

一O知识点二集合间的基本关系BJSA壁02判雌合与集合间的关系

相等集合：集合A、通元素完全相同壁03轨醐彦

空集：不含任何元素的集告

厂集合的交集

壁01集合的乃件卷台运算

「集合交并补运算表示1-集合的并集凝02朋&

型集合在场问题中的应用

集合常用逻辑用语—（。知识点三集合的基本运算）k集锦w＜）03

壁04韦思图的应用

L集合运算中的常用;迹05集合的新定义问题

充分条件与必要条件

O知识点四充分条件与必要条件整01充分条件与必要条件判断

K充要条件充要条件的含义：pBq的充要条件，q也是P的充要条件整02雌必

充要条件的等价说法：q成立当且仅当Pg

，全称量词：短语.所有的“任意f等

厂全词命题；

-全称量词命题：含有全称量词的命题

翅01含有词的命题的否定

,--------------.L存在星词：短语.存在f.至少有一个噂j型02根据全荷量词命酬:其段求参数

一1O知识点五全称量词与存在量词『一存在量词命题T＞.—=?一

健03

‘v---------------------'L存在星词命瑟含有存在星词的命题,■

匚命覆的否定

口识盘点・翟源讣与

知识点1集合与元素

1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；

2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号e或右表示

3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法

4、常见数集的记法与关系图

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*（或N+）ZQR

知识点2集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言图形语言

关系

集合A的所有元素都是集合B的

子集AqB或53A

元素(%eA贝！IxeB)

o或

基本

集合A是集合B的子集且集合B

关系真子集AUB或BVA

中至少有一个元素不属于Ao

相等集合A,B的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

知识点3集合的基本运算

1、集合交并补运算的表示

集合的并集集合的交集集合的补集

图形语言(Z0U@

符号语言AU3二|x|xGA,G耳A(~)B=|x|xee母X\X^U,5JC

2、集合运算中的常用二级结论

(1)并集的性质：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；=匹A.

(2)交集的性质：AH0=0；APIA=A；AAB=BAA；AHB^A^AQB.

(3)补集的性质：4口([以)=〃；4口([以)=。.[/必)=4；

C[/(AUB)=(Cc4)n(Cc/B)；[MAnB)=([uA)U([M).

知识点4充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件

“若P，则必为真命题“若P，则4”为假命题

推出关系p^qp*q

P是4的充分条件P不是4的充分条件

条件关系

q是P的必要条件q不是p的必要条件

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

定理关系

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

2、充要条件

(1)充要条件的定义

如果喏夕，则夕”和它的逆命题“若夕，则p”均为真命题，即既有pnq,又有qnp,就记作poq。

此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说?是夕的充分必要条件，简称充要条件。

(2)充要条件的含义

若?是夕的充要条件，则q也是夕的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，

因为这两个命题的条件与结论不同。

(3)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成是q成立当且仅当夕成立，或。与q等价。

知识点5全称量词与存在量词

1、全称量词与全称量词命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“V”表示.

【注意】(1)全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；

(2)常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”

(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.

符号表示：通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表

示，那么，全称量词命题“对M中任意一个关,2(同成立"可用符号简记为\/尤6加,夕(无)

【注意】(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；

(2)一个全称量词命题可以包含多个变量；

(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。

2、存在量词与存在量词命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“三”表示.

【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；

(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。

符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，使〃(x)成立"可用符号简记为eM,2(x)

【注意】(1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；

(2)一个存在量词命题可以包含多个变量；

(3)有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题

3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“力”，读作"非"'或p的否定.

(1)全称量词命题的否定：

一般地，全称量词命题“Vxe",[(%)”的否定是存在量词命题：.

(2)存在量词命题的否定：

一般地，存在量词命题“王；€”山(力”的否定是全称量词命题：.

(3)命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.

(4)常见正面词语的否定：

正面词语等于（=）大于（>）小于（<）是都是

否定不等式（丰）不大于（<）不小于（>）不是不都是

正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个

否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个

X里点突破•喜分好•特

重难点01已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值.

（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；

（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.

【典例1]（23-24高三上广东惠州・月考）集合A=[xeRF>o],若3eA且-leA,则。的取值范围

[2x+lJ

为（）

A.a<3B.a<—lC.a<3D.—l<a<3

【典例2]（23-24高三下•江西・月考）已知A=„2—〃无+IKO},若2金/,且3eA,则。的取值范围是（）

5叫5105

—,+oo

A.2'3JB.5C.D.

2T2

重难点02利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围

第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

第二步：看集合中是否含有参数，若

且A中含参数应考虑参数使该集合为.空集的情形；

第三步：将集合间的包含关系转化为方程（组）或不等式（组），求出相关的参数的值或取值范围.

常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

【典例1】（2024•陕西西安.三模）设集合A={0」},B={l,a-2,a-l},若AgB,则。=（）

A.2B.3C.1D.1或2

【典例2】（2024.黑龙江.二模）已知4={%仆（%一1）<0},3=何1082%〈。},若则实数“的取值范围

为（）

A.[0,+司B.[1,+co）C.（0,1]D.

重难点03根据集合运算的结果确定参数的取值范围

法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.

法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；

（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.

【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“="；（2）千万不要忘记考虑空集。

【典例1】（2024•重庆•模拟预测）设集合4={1,一2一°,一2—2*8={0«},若=贝/=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【典例2】（2024.重庆.模拟预测）已知集合4=卜，-2》-3>0},8={x[（x-q）（x+2）<0},若AU3=R，

则a的取值范围为（）

A.（3,+co）B.[3,+oo）C.（-1,3）D.（-℃,-1）

重难点04利用充分必要条件求参数的策略

1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于

参数的不等式（不等式组）求解；

2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。

【典例1]（23-24高三上•上海松江•期中）已知p:x2-2x-8<0,q:l-a<x<2a-3,且。是4的充分不必要

条件，则实数。的取值范围是.

Y-I-4.

【典例2]（23-24高三上・江苏扬州•月考）（多选）若“一7>0"是次<%<4+2”的必要不充分条件，则实数

x-1

人可以是（）

A.-8B.-4C.0D.4

重难点05根据全称（存在）量词命题的真假求参数

1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”

等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；

2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参

数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词

命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。

2

【典例1]（2024・四川•模拟预测）已知命题“Vx£[l,4]d——机20”为真命题，则实数加的取值范围为（）

x

A.（-co,e-2]B.J-oo,e4C.[e-2,+oo）D.e4-p+oo|

【典例2]（23-24高三上.黑龙江哈尔滨.期末）已知命题：玉°£R,〃片+2。%-1N0为假命题，则实数々的取

值范围是()

A.(-oo,-l)u(0,+oo)B.(-1,0)C.[—1,0]D.(—1,0]

法技巧・1g塞学霸

一、子集的个数问题

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）A的子集的个数有2"个.（2）A的非空子集的个数有2"—1个.

（3）A的真子集的个数有2"—1个（4）A的非空真子集的个数有2"—2个.

【典例1】（2024.浙江.二模）已知集合"={1,2,3},N={0J2,3,4,7},若”—,则满足集合A的个

数为（）

A.4B.6C.7D.8

【典例2】（2024.全国.一模）已知集合人={0,1,2},B={x|y=lg（-x2+3x）},则Ac3子集的个数为（

A.1B.2C.3D.4

二、判断集合与集合的关系

判断集合间关系的常用方法：

1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系；

2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判

断集合间关系；

3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法。

【典例1】（2024.云南贵州.二模）已知集合>={以€2|04彳44},B={0,1,2,3,4,5},则（）

A.AUBB.A=BC.AeBD.BA

【典例2】（2024高三・全国・专题练习）已知集合人={2尤>-l,xeR},B={x|x2-x-2>0,%eR）,则下列关系

中正确的是（）

A.AcBB.额uRBC.Ar>B=0D.A|JB=R

三、韦恩图的应用

元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达。有时题设条件比较抽象，

也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题。

【典例1】（2024.山西长治.一模）已知集合4={小2+2》-8<0},2={小区2},。=1^,则图中阴影部分表

(-2,2)C.[-2,2)D.[-2,2]

【典例2】（2024•河北邢台・二模）下列集合关系不成立的是（）

A.AUA=AB.AQ0=0

C.（瘵4）c（同=多（山3）D.Oe0

四、集合新定义问题

在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓

住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过

程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。

【典例1】（2024.贵州黔东南.二模）若对任意xeA,则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子

X

关系”集合的是（）

A.{1,3}B.{-1,0,1}C.{x|x>l}D.{x|x>0}

【典例2］（23-24高三下・甘肃・月考）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）

的非空子集4,4,…,AK,WN*,Z^2）,且满足AU&ULUAk=u,那么称子集组A，4,…,人构成集合。

的一个左划分.若集合/中含有4个元素，则集合/的所有划分的个数为（）

A.7个B.9个C.10个D.14个

五、充分条件与必要条件的判断

充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1、定义法：（1）分清命题的条件和结论；（2）判断“若p,则q”及“若q,则p”的真假；（3）得出结论.

2、集合法：利用集合间的包含关系进行判断；

3、等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。

【典例1】（2024•江西南昌.二模）已知集合A={x|ln掇0},8=卜|2工2）,则“xeA”是“xe3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例21（2024.湖南衡阳.模拟预测）已知命题p：集合A={尤|/+尤一2>0},命题q：集合3={小2+2为一3>0},

则P是4的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

参考答案与试题解析

专题01集合与常用逻辑用语

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

思维构建­耀蓿向绐

「C元素的三大特性：确定性、无序性、互异性）

，"————＜元素与集合的关系：、于、不属于）朝01判朝―女系

c知识占_塞合V'J壁02根3航筠集合蝮。皴

＜_____________________厂­（集合的表示法：列举法、描述法、图示法）朝03集合中旗的特性

壁04集领

Y：常用数集的记法与关系图）

子集：集合A中所有元素都是集合B的元素

真子集：集合是集合的子集，

AB型01¥＜^?^］微魂

O知识点二集合间的基本关系且集合B中至少有一个元素不属于A曼02判侬台与集合间的关系

相等集合：集合A、B的元素完全相同壁03删浮

空集：不含任何元素的集合

厂集合的交集.

壁01集合的谢•绘合运算

「集合交并补运算的表示」--，集合的并集型02

迹03集管在场问魂中的应用

集合常用逻辑用语—（O知识点三集合的基本运算）

k3m＜）匿MW.恩麦三二用

L集合运算中的常用二型05集合的标义问题

充分条件与必要条件

O知识点四充分条件与必要条件年条件蓑

壁01充^^必要厮

型雄必^

充要条件充要条件的含义：P是q的充要条件，q也是P的充要条件02

充装件的^^法：

「全称是词：短语•所有的"任意f等］

全称呈-t翎逗词命题：含有全称量词的命题；

型01含有一^词的命题的否定

—（［o知识点五全称量词与存在量词＜存在量词：短语.存在f•至少有一个"等）型02侬雕霞=

存在星词命题-

，存在星词命题：含有存在星词的藕；型03不彝

命题的否定

口端盘点・置；层讣与

知识点1集合与元素

1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；

2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号e或右表示

3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法

4、常见数集的记法与关系图

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*（或N+）ZQR

知识点2集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言图形语言

关系

集合A的所有元素都是集合B的

子集AQB或i53A

基本元素（xeA则xeB）

o或）

CBWZ

关系

集合A是集合B的子集且集合B

真子集AiiB或"A

中至少有一个元素不属于Ao

相等集合4,2的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

知识点3集合的基本运算

1、集合交并补运算的表示

集合的并集集合的交集集合的补集

图形语言(Z0d0

符号语言A|JB={#GA,eA}

2、集合运算中的常用二级结论

(1)并集的性质：AU0=A;ALM=A;==匹A

(2)交集的性质：AC|0=0；APIA=A；AHB=BnA；AC\B=A^AQB.

(3)补集的性质：AU(O)=U;An([必)=。.(:/以)=A；

[MAUB)=(d网；CB)=")”#).

知识点4充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件

“若P，则必为真命题“若P，则4”为假命题

推出关系p0qp*q

P是9的充分条件P不是q的充分条件

条件关系

q是P的必要条件q不是p的必要条件

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

定理关系

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

2、充要条件

(1)充要条件的定义

如果“若p，则和它的逆命题“若夕，则，'均为真命题，即既有P，又有qnp，就记作poq。

此时，p既是夕的充分条件，也是q的必要条件，我们说?是夕的充分必要条件，简称充要条件。

(2)充要条件的含义

若尸是q的充要条件，则夕也是。的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，

因为这两个命题的条件与结论不同。

(3)充要条件的等价说法:p是q的充要条件又常说成是q成立当且仅当夕成立，或。与q等价。

知识点5全称量词与存在量词

1、全称量词与全称量词命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“V”表示.

【注意】(1)全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；

(2)常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”

(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.

符号表示：通常，将含有变量x的语句用p(x),q{x},r(x)，…表示，变量x的取值范围用/表

示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x,2(同成立"可用符号简记为\/尤6加,。(无)

【注意】(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；

(2)一个全称量词命题可以包含多个变量；

(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行二

2、存在量词与存在量词命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“丁'表示.

【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；

(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。

符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，使,(X)成立"可用符号简记为3ceM,夕(x)

【注意】(1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；

(2)一个存在量词命题可以包含多个变量；

(3)有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题

3、命题的否定：对命题0加以否定，得到一个新的命题，记作“力”，读作"非或「的否定.

(1)全称量词命题的否定：

一般地，全称量词命题“\仆€〃，4(%)”的否定是存在量词命题：.

(2)存在量词命题的否定：

一般地，存在量词命题“玉；€〃国(同”的否定是全称量词命题：.

(3)命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一