小升初典型奥数：容斥原理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

容斥原理容斥原理【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！编者的话：同学们，恭喜你已经开启了奥数思维拓展的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为小升初思维拓展、分班考、择校考而设计，针对小升初的高频知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习高频易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用该知识点解决问题！目录导航资料说明第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。第一部分第一部分知识精讲知识清单方法技巧知识清单方法技巧在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．第二部分第二部分典型例题例题1：小明家有爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、妹妹和姑姑．其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，喜欢吃香蕉的有爸爸、妹妹、妈妈和姑姑．喜欢吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶．（1）小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有几人？（2）小明家喜欢吃草莓或西瓜的共有几人？【答案】5人；5人．【分析】（1）其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，有2人；喜欢吃香蕉的有爸爸、妹妹、妈妈和姑姑，有4人．求小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有几人，把这两部分的人数相加，再减去妈妈1人即可．（2）其中喜欢吃草莓的有爷爷和妈妈，有2人；喜欢吃西瓜的有小明、妹妹和奶奶，有3人；把这两部分的人数相加即可．【解答】解：（1）2+4﹣1＝6﹣1＝5（人）答：小明家喜欢吃草莓或香蕉的共有5人．（2）2+3＝5（人）答：小明家喜欢吃草莓或西瓜的共有5人．【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B．例题2：劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中小学生必须参与的教育活动，光明小学组织“农田基地”劳动，40人参加“农田除杂草”劳动，25人参加“农田施肥”劳动，其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人？【答案】55人。【分析】用参加“农田除杂草”劳动的40人加参加“农田施肥”劳动的25人的和，减去两项都参加的10人即得总人数。【解答】解：40+25﹣10＝65﹣10＝55（人）答：参加这两项劳动的学生一共有55人。【点评】解答依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素的个数﹣既是A类又是B类的元素个数。例题3：三（1）班有50人，每人至少参加一个小组，参加美术小组的有29人，参加书法小组的有27人，两个小组都参加的有多少人？【答案】6人。【分析】用参加美术小组的人数加上参加书法小组的人数，求出两者的总人数，这里面把两个小组都参加的人数多算了一次，所以再减去50，即可求出两个小组都参加的人数。【解答】解：29+27﹣50＝56﹣50＝6（人）答：两个小组都参加的有6人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。例题4：参加数学竞赛的有22人，参加语文竞赛的有26人，两个都参加的有10人，都没参加的有2人，这个班级共有学生多少人？【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，有关系式：全班人数＝参加数学竞赛的人数+参加语文竞赛的人数﹣两个都参加的人数﹣两个都没参加的人数．把数代入即可求出全班人数．【解答】解：22+26﹣10+2＝48﹣10+2＝38+2＝40（人）答：这个班级共有学生40人．【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．第三部分第三部分高频真题1．五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？2．参加某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参加了活动？3．三年级一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年级一班两个课外小组都参加的有多少人？4．四年级一班同学参加跳绳和踢毽子比赛，每人至少参加一个项目，有30人参加跳绳，有26人参加踢毽子，两项都参加的有13人，四年级一班一共有多少人？5．学校举办“我的中国梦”书画作品比赛，共有210幅作品分别获得一、二等奖和优秀奖，其中优秀奖和二等奖的作品共148幅，获得一二等奖的作品共140幅，获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有多少幅？6．某小学有115人参加了音乐、美术兴趣小组，其中76人参加音乐小组，54人参加美术小组，同时参加这两个小组的有多少人？7．同学们收集图片．张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳7个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这5人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这3人收集了奥运图片．（1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？（2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？8．红火小学三年有210名学生，四年有170名学生。大家都扎了疫苗，两个年级共有多少名学生扎了疫苗？9．三（1）班同学每人都至少订一种杂志，有32人订了《数学王国》，有26人订了《作文天地》，其中有12人两种杂志都订了，三（1）班一共有多少人？10．2021年是红军长征胜利85周年。一个44人的国际旅游团到中央红军长征胜利纪念园参观，其中会讲英语的有37人，会讲汉语的有25人，每人至少会讲英语和汉语中的一种，英语和汉语都会讲的有多少人？11．三（5）班45名同学参加数学活动，答对第一题的有23人，答对第二题的有18人，两道题都答对的有17人，两道题都没答对的有几人？12．实验小学组织了一次只有2次射门机会的足球比赛，其中第一次射门成功的86人，第二次射门成功的53人，两次都没有射进的12人，两次都射进的有31人。参加射门比赛的共有多少人？13．三（1）班每人至少订一份报纸，订《数学报》的有36人，订《语文报》的有28人，两种都订的有12人，三（1）班一共有多少人？14．同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参加的有40人．去动物园的一共有多少人？15．学校成立“双滑社团”，既会轮滑又会滑雪的学生才有资格报名。全校有500名学生，只会轮滑的有180人，只会滑雪的有200人，两项都不会的有50人。多少人有报名资格？16．学校成立了科技和书法两个兴趣小组。四（4）班共有40名同学，每人至少参加一个兴趣小组，有24人参加科技小组，17人参加书法小组。有多少人参加了两个兴趣小组？17．三（1）班同学订阅《语文报》的有28人，订阅《数学报》的有27人，这两种报都订阅了的有15人，如果每人至少订阅了一种报刊，这个班一共有多少个同学？18．三（1）班有45人，其中19人喜欢吃苹果，16人喜欢吃橘子，8人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子。喜欢吃苹果和橘子的有多少人？这两种水果都不喜欢吃的有多少人？19．三（1）班有48人，参加体育队的有36人，参加舞蹈队的有27人，每人至少参加一个队，那么这个班两队都参加的有多少人？20．在三（1）班思维课堂上，老师出了两道考察思维能力的题。做对第一道题的有28人，做对第二道题的有30人，（每人至少做对一道题）。两道题都做对的有多少人？21．儿童节那天，实验小学参加展演的节目有歌唱类，舞蹈类、小品类、魔术类、相声类等，种类繁多，其中出演舞蹈类节目的有47人，出演小品类节目的有35人，两项都参加的有15人。出演舞蹈类节目和出演小品类节目的一共有多少人？22．某班在四年级、五年级和六年级时分别评选10名三好学生，又知四、五年级连续被评为三好学生的有4人，五、六年级连续被评为三好学生的有3人，四、六年级被评为三好学生的有5人，四、五、六年级都没被评过三好学生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？23．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？24．聪聪调查了五（1）班50名同学最喜欢吃的水果情况。有25的同学最喜欢吃香蕉，有325．三个小朋友比赛口算，小强做对了25道题，小明做对了18道题，小亮做对了20道题。小明做对的18道题小强也都做对了，小亮做对的题中有10道题小强也做对了。小强和小明一共做对了多少道不同的题？小强和小亮一共做对了多少道不同的题？26．某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？27．某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。两样都会的有多少名？28．一次数学测验只有两道题，结果全班有12人全做对，其中第一道题有24人做对，第二道题有20人做错。两道题都做错的有多少人？29．47名学生组织游泳和跳水训练，其中参加游泳的有12人，参加跳水的有15人，两项都不参加的有26人。求两项训练都参加的有多少人？30．四（1）班参加文艺小组的有16人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人，这个班参加课外小组的学生一共有多少人？31．三（1）班有45人，期中考试语文得优的有33人，数学得优的有26人，所有人至少有一科得优，语文、数学都得优的有多少人？32．在学校举办的运动会上，参加跳高和跳远的共有35人，其中参加跳高的有28人，参加跳远的有16人，两项都参加的有多少人？33．老师组织三（1）班的同学参加打篮球和跳绳两项课外活动，参加打篮球的有22人，参加跳绳的有26人，既参加打篮球又参加跳绳的有5人。三（1）班参加打篮球和参加跳绳的一共有多少人？34．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？35．二年（3）班45名小朋友去图书馆借书，有20名小朋友借了童话书，有30名小朋友借了故事书，那么有多少名小朋友既借了童话书又借了故事书呢？36．一批游客中，有34的人懂法语，有45的人懂英语，两种语言都懂的人占37．八一小学六（1）班有26人参加了美术小组，有29人参加了音乐小组，其中有13人两个小组都参加，还有8人什么组都没有参加。这个班共有学生多少人？38．某班有48名学生，每人至少订阅一份《数学报》或《学习报》．已知1112的学生订阅了《数学报》，139．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？40．学校运动会，三（1）班参加跳绳比赛的有15人，参加接力比赛的有10人。这两项比赛都参加的有6人，三（1）班一共有多少人参加这两项比赛？41．大课间体育活动展示，每人至少参加一项。四（3）班第2小组报名参加跳绳展示的有8人，报名参加踢毽子展示的有6人。（1）第2小组最多有几人？最少有几人？（2）若已知第2小组有10人，请问两项都参加的有几人？42．101名学生去春游，带矿泉水的有70人，带水果的有50人，每人至少带一样。既带矿泉水又带水果的有多少人？43．学校为了丰富学生的校园生活，让学生的个性特长得到优质发展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程都选择了。（1）至少选择其中一类课程的有多少人？（2）这两类课程都没有选择的有多少人？44．三年级举行趣味运动会，参加“摸石头过河”的有39人，参加“两人三足”的有53人，两项都参加的有27人。参加趣味运动会的一共有多少人？45．二（3）班有学生45名，现有两份报纸可以订阅，每人至少订一份。已知订《少年日报》的有32人，订《东方少年报》的有25人，那么两种报纸都订的有几人？46．五年级一班共有36名学生，在六一表演中有12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，那么既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有多少人？47．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？48．阳光小学四（2）班的同学中有18人喜欢打乒乓球，15人喜欢打羽毛球，9人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有多少人？49．三（1）班有31人参加阅读和书法两项竞赛，全部获奖。其中阅读获奖的有12人，书法获奖的有27人，两科都获奖的有多少人？50．六（2）班有54人，其中23喜欢踢足球，5参考答案与试题解析1．五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？【答案】18人。【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。【解答】解：36+30﹣48＝66﹣48＝18（人）答：两道题都做对的有18人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。2．参加某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参加了活动？【答案】见试题解答内容【分析】用47加上38求出它们的和，这样两种都会的多算了一次，然后减去22就是至少会一种的英语和法语，然后再加上15即可．【解答】解：47+38﹣22+15＝63+15＝78（人）答：一共有78人参加了活动．【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．3．三年级一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年级一班两个课外小组都参加的有多少人？【答案】13人。【分析】参加体育课外小组的人数+参加音乐课外小组的人数﹣总人数＝两个课外小组都参加的人数。【解答】解：27+31﹣45＝58﹣45＝13（人）答：三年一班两个课外小组都参加的有13人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。4．四年级一班同学参加跳绳和踢毽子比赛，每人至少参加一个项目，有30人参加跳绳，有26人参加踢毽子，两项都参加的有13人，四年级一班一共有多少人？【答案】43人。【分析】根据容斥原理，用跳绳的30人加参加踢毽子的26人，求出和，然后再减去两项都参加的13人（重复计算的人数），就是四年级一班总人数。【解答】解：30+26﹣13＝56﹣13＝43（人）答：四年级一班一共有43人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。5．学校举办“我的中国梦”书画作品比赛，共有210幅作品分别获得一、二等奖和优秀奖，其中优秀奖和二等奖的作品共148幅，获得一二等奖的作品共140幅，获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有多少幅？【答案】62、78、70幅。【分析】140+148＝288（幅），是一、二、二、优秀奖数量的和，比一、二、优秀奖总数210幅多的数量就是二等奖的数量，即288﹣210＝78（幅）；那么一等奖就有140﹣78＝62（幅），优秀奖有148﹣78＝70（幅）；据此解答即可。【解答】解：140+148＝288（幅）288﹣210＝78（幅）140﹣78＝62（幅）148﹣78＝70（幅）答：获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有62、78、70幅。【点评】本题主要考查容斥原理，解答本题的关键先求出二等奖的数量。6．某小学有115人参加了音乐、美术兴趣小组，其中76人参加音乐小组，54人参加美术小组，同时参加这两个小组的有多少人？【答案】15。【分析】根据容斥问题公式，用参加音乐小组的人数加上参加美术小组的人数，减去总人数，就是参加两个小组的人数。【解答】解：76+54﹣115＝130﹣115＝15（人）答：同时参加这两个小组的有15人。【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。7．同学们收集图片．张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳7个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这5人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这3人收集了奥运图片．（1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？（2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？【答案】见试题解答内容【分析】（1）7个人收集了名山图片，3人收集了奥运图片，没有重叠的人数，把这两部分的人数相加即可．（2）7个人收集了名山图片，5人收集了河流图片，其中李红、王丹、高伟这3人两样都收集了，所以用7与5的和，减去重叠的人数3就是收集名山图片和河流图片的共有多少人．【解答】解：（1）7+3＝10（人）答：收集名山图片和奥运图片的共有10人．（2）7+5﹣3＝12﹣3＝9（人）答：收集名山图片和河流图片的共有9人．【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题．8．红火小学三年有210名学生，四年有170名学生。大家都扎了疫苗，两个年级共有多少名学生扎了疫苗？【答案】380名。【分析】用三年的人数加上四年的人数，求两个年级的总人数即可。【解答】解：210+170＝380（名）答：两个年级共有380名学生扎了疫苗。【点评】本题主要利用整数加减法的运算法则计算。9．三（1）班同学每人都至少订一种杂志，有32人订了《数学王国》，有26人订了《作文天地》，其中有12人两种杂志都订了，三（1）班一共有多少人？【答案】46人。【分析】订了《数学王国》的人数+订了《作文天地》的人数﹣两种杂志都订的人数＝总人数。【解答】解：（32+26）﹣12＝58﹣12＝46（人）答：三（1）班一共有46人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。10．2021年是红军长征胜利85周年。一个44人的国际旅游团到中央红军长征胜利纪念园参观，其中会讲英语的有37人，会讲汉语的有25人，每人至少会讲英语和汉语中的一种，英语和汉语都会讲的有多少人？【答案】18人。【分析】先用37加25求出会讲英语的和会讲汉语的人数和，再减去总人数44就是重复计算的人数，也就是英语和汉语都会讲的人数。【解答】解：37+25﹣44＝62﹣44＝18（人）答：英语和汉语都会讲的有18人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。11．三（5）班45名同学参加数学活动，答对第一题的有23人，答对第二题的有18人，两道题都答对的有17人，两道题都没答对的有几人？【答案】见试题解答内容【分析】根据题干可知至少答对一题的总人数是18+23﹣17＝24人，由此利用总人数﹣至少答对一题的人数＝两题都不对的人数．【解答】解：45﹣（18+23﹣17）＝45﹣24＝21（人）答：两道题都没答对的有21人．【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．12．实验小学组织了一次只有2次射门机会的足球比赛，其中第一次射门成功的86人，第二次射门成功的53人，两次都没有射进的12人，两次都射进的有31人。参加射门比赛的共有多少人？【答案】120人。【分析】先用86加53求出两者的人数和，再减去重复计算的31人，就是至少射进一次的人数，然后再加上两次都没有射进的人数即可。【解答】解：86+53﹣31+12＝108+12＝120（人）答：参加射门比赛的共有120人。【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少射进一次的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。13．三（1）班每人至少订一份报纸，订《数学报》的有36人，订《语文报》的有28人，两种都订的有12人，三（1）班一共有多少人？【答案】52人。【分析】订《数学报》的人数+订《语文报》的人数﹣两种都订的人数＝总人数。【解答】解：36+28﹣12＝64﹣12＝52（人）答：三（1）班一共有52人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。14．同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参加的有40人．去动物园的一共有多少人？【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参加人数＝去参观的总人数．把数代入计算即可．【解答】解：70+65﹣40＝135﹣40＝95（人）答：去动物园的一共有95人．【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．15．学校成立“双滑社团”，既会轮滑又会滑雪的学生才有资格报名。全校有500名学生，只会轮滑的有180人，只会滑雪的有200人，两项都不会的有50人。多少人有报名资格？【答案】70人。【分析】用总人数减去只会轮滑的人数、减去只会滑雪的人数，再减去两项都不会的人数即可。【解答】解：500﹣180﹣200﹣50＝120﹣50＝70（人）答：70人有报名资格。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。16．学校成立了科技和书法两个兴趣小组。四（4）班共有40名同学，每人至少参加一个兴趣小组，有24人参加科技小组，17人参加书法小组。有多少人参加了两个兴趣小组？【答案】1人。【分析】根据容斥原理，参加科技小组的人数+参加书法小组的人数﹣总人数＝参加书法小组的人数。【解答】解：24+17﹣40＝41﹣40＝1（人）答：有1人参加了两个兴趣小组。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。17．三（1）班同学订阅《语文报》的有28人，订阅《数学报》的有27人，这两种报都订阅了的有15人，如果每人至少订阅了一种报刊，这个班一共有多少个同学？【答案】见试题解答内容【分析】先计算出订制两种报纸的总人数，因为有两种报纸都订制的人数重复数了，所以订制两种报纸的总人数就比班级实际人数多，即订制两种报纸的总人数减去两种报纸都订的人数，就是班级实际的人数．【解答】解：27+28﹣15＝55﹣15＝40（人）答：这个班一共有40个同学．【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）．18．三（1）班有45人，其中19人喜欢吃苹果，16人喜欢吃橘子，8人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子。喜欢吃苹果和橘子的有多少人？这两种水果都不喜欢吃的有多少人？【答案】27人，18人。【分析】把喜欢苹果的和喜欢橘子的人数加起来：19+16＝35（人），因为8人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子，所以喜欢这两种水果（至少喜欢一种）的是35﹣8＝27（人），那么总人数减去这27人，剩下的就是两种水果都不喜欢的人数。【解答】解：19+16﹣8＝35﹣8＝27（人）45﹣27＝18（人）答：喜欢吃苹果和橘子的有27人，两种水果都不喜欢吃的有18人。【点评】本题考查合情推理，解题的关键是确定喜欢这两种水果的人数。19．三（1）班有48人，参加体育队的有36人，参加舞蹈队的有27人，每人至少参加一个队，那么这个班两队都参加的有多少人？【答案】见试题解答内容【分析】参加体育代队和参加舞蹈队的人数之和是36+27＝63人，这比已知的总人数多了63﹣48＝15人，这就是重复加的两个队都参加的人数．【解答】解：36+27﹣48＝63﹣48＝15（人）答：这个班两队都参加的有15人．【点评】此题属于典型的利用容斥原理解答的问题，如果利用画图的方法分析更简洁易懂．20．在三（1）班思维课堂上，老师出了两道考察思维能力的题。做对第一道题的有28人，做对第二道题的有30人，（每人至少做对一道题）。两道题都做对的有多少人？【答案】13人。【分析】先用28加上30求出做对第一道题与做对第二道题的人数和，再减去三（1）班的总人数45就是重复计算的人数，也就是两道题都做对的人数。【解答】解：28+30﹣45＝58﹣45＝13（人）答：两道题都做对的有13人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。21．儿童节那天，实验小学参加展演的节目有歌唱类，舞蹈类、小品类、魔术类、相声类等，种类繁多，其中出演舞蹈类节目的有47人，出演小品类节目的有35人，两项都参加的有15人。出演舞蹈类节目和出演小品类节目的一共有多少人？【答案】67人。【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。【解答】解：35+47﹣15＝82﹣15＝67（人）答：出演舞蹈类节目和出演小品类节目的一共有67人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。22．某班在四年级、五年级和六年级时分别评选10名三好学生，又知四、五年级连续被评为三好学生的有4人，五、六年级连续被评为三好学生的有3人，四、六年级被评为三好学生的有5人，四、五、六年级都没被评过三好学生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？【答案】41，38。【分析】用评过三好学生的人数加上没评过三好学生的人数就等于本班的学生数。评过的学生分为只在四年级、五年级、六年级评过的，四、五年级连续的、五、六年级连续的，四、六年级连续的，四、五、六连续的这7种情况。当，四、五、六连续的是0时最多，是3时最少。【解答】解：如图：1+4+5+2+3+3+3+20＝21+20＝41（人）1+4+5+2+3+3+20＝18+20＝38（人）答：这个班最多有41名同学，最少有38名同学。【点评】明确数量之间的包含关系是解决本题的关键。23．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？【答案】47人。【分析】先用30加上27求出两者的人数和，然后减去重叠的人数10即可。【解答】解：30+27﹣10＝57﹣10＝47（人）答：我们班有47人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。24．聪聪调查了五（1）班50名同学最喜欢吃的水果情况。有25的同学最喜欢吃香蕉，有3【答案】35人。【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法解答；据此分别求出最喜欢吃香蕉的和最喜欢吃苹果的有多少人，再求和即可。【解答】解：50×25＝20+15＝35（人）答：最喜欢吃香蕉的和最喜欢吃苹果的一共有35人。【点评】本题考查了分数乘法应用题的运用，是熟练掌握整数乘分数的计算方法。25．三个小朋友比赛口算，小强做对了25道题，小明做对了18道题，小亮做对了20道题。小明做对的18道题小强也都做对了，小亮做对的题中有10道题小强也做对了。小强和小明一共做对了多少道不同的题？小强和小亮一共做对了多少道不同的题？【答案】25道，35道。【分析】小明做对了18道题，小明做对的18道题小强也都做对了，所以小强做对的题的道数就是小强和小明一共做对的不同的题的道数；小亮做对的题中有10道题小强也做对，则小亮和小强做对总道数减10，是两人做对的不同的题的道数。【解答】解：25+18﹣18＝25（道）25+20﹣10＝35（道）答：小强和小明一共做对了25道不同的题，小强和小亮一共做对了35道不同的题。【点评】掌握用两人做对题的道数之和减去两人都做对题的道数，就是两人一共做对的不同的题的道数是解答此题的关键。26．某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？【答案】11人。【分析】根据“提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问”，可得两者的总人数：36+25＝61（人），再减去总人数50就是重复计算的人数，也就是既用文字又用语音提问的人数。【解答】解：36+25﹣50＝61﹣50＝11（人）答：既用文字又用语音提问的有11人。【点评】本题是典型的容斥原理问题，关键是熟练掌握容斥原理的解题规律：既A又B＝（A+B）﹣总人数。27．某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。两样都会的有多少名？【答案】9名。【分析】用会弹钢琴的人数加会吹长笛的人数加两样都不会的人数，再减总人数即可求解。【解答】解：11+56+4﹣62＝67+4﹣62＝71﹣62＝9（名）答：两样都会的有9名。【点评】本题主要考查了容斥原理的灵活运用。28．一次数学测验只有两道题，结果全班有12人全做对，其中第一道题有24人做对，第二道题有20人做错。两道题都做错的有多少人？【答案】8人。【分析】第一道题有24人做对，包括只做对一道和两道都做对的，因此只做对第一道题的有（24﹣12）人；已知第二道题有20人做错，也包括只做错一道和两道都做错的，则两道都做错的有[20﹣（24﹣12）]人。【解答】解：20﹣（24﹣12）＝20﹣12＝8（人）答：两道题都做错的有8人。【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。29．47名学生组织游泳和跳水训练，其中参加游泳的有12人，参加跳水的有15人，两项都不参加的有26人。求两项训练都参加的有多少人？【答案】6人。【分析】47名学生组织游泳和跳水训练，两项都不参加的有26人，用47减去26就是参加训练的总人数。然后用12加上15求出参加游泳与参加跳水的人数和，再减去参加训练的总人数就是重复计算的人数，也就是两项训练都参加的人数。【解答】解：47﹣26＝21（人）12+15﹣21＝27﹣21＝6（人）答：两项训练都参加的有6人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。30．四（1）班参加文艺小组的有16人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人，这个班参加课外小组的学生一共有多少人？【答案】33人。【分析】根据题意可知，参加文艺小组的人数+参加科技小组的人数﹣两项都参加的人数＝参加课外小组的总人数，依此列式并计算即可。【解答】解：16+25﹣8＝41﹣8＝33（人）答：这个班参加课外小组的学生一共有33人。【点评】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。31．三（1）班有45人，期中考试语文得优的有33人，数学得优的有26人，所有人至少有一科得优，语文、数学都得优的有多少人？【答案】14人。【分析】由题意可知，语文、数学都得优的人数＝语文得优的人数+数学得优的人数﹣总人数，据此求解即可。【解答】解：33+26﹣45＝59﹣45＝14（人）答：语文、数学都得优的有14人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。32．在学校举办的运动会上，参加跳高和跳远的共有35人，其中参加跳高的有28人，参加跳远的有16人，两项都参加的有多少人？【答案】9人。【分析】先用16加28求出参加跳远和参加跳高的人数和，再减去总人数35就是重复计算的人数，也就是两项都参加的人数。【解答】解：16+28﹣35＝44﹣35＝9（人）答：两项都参加的有9人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。33．老师组织三（1）班的同学参加打篮球和跳绳两项课外活动，参加打篮球的有22人，参加跳绳的有26人，既参加打篮球又参加跳绳的有5人。三（1）班参加打篮球和参加跳绳的一共有多少人？【答案】43人。【分析】根据容斥原理公式总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。【解答】解：22+26﹣5＝48﹣5＝43（人）答：三（1）班参加打篮球和参加跳绳的一共有43人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。34．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？【答案】见试题解答内容【分析】用14人加上28人求出两者的和，由于8人是重复计算的部分，再减去8人，就是至少参加一项的人数是：28+14﹣8＝34（人），然后用总人数52人减去至少参加一项的人数，就是两个小组都没参加的人数，即52﹣34＝18（人）．【解答】解：52﹣（28+14﹣8）＝52﹣34＝18（人）答：这个班两个小组都没参加的有18人．【点评】容斥原理的计算公式：A+B﹣既A又B＝至少参加一项的人数．35．二年（3）班45名小朋友去图书馆借书，有20名小朋友借了童话书，有30名小朋友借了故事书，那么有多少名小朋友既借了童话书又借了故事书呢？【答案】5名。【分析】同时借了两种书的小朋友数＝借童话书的人数+借故事书的人数﹣班级总人数，将题目中给出的数值代入上述公式即可解答。【解答】解：20+30﹣45＝50﹣45＝5（名）答：有5名小朋友既借了童话书又借了故事书。【点评】本题考查了容斥原理的灵活运用。36．一批游客中，有34的人懂法语，有45的人懂英语，两种语言都懂的人占【答案】见试题解答内容【分析】把总人数看作单位“1”，至少懂一种语言的人数占总人数的34+4【解答】解：38÷（1−9＝8÷＝80（人）答：这批游客共有80人．【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．37．八一小学六（1）班有26人参加了美术小组，有29人参加了音乐小组，其中有13人两个小组都参加，还有8人什么组都没有参加。这个班共有学生多少人？【答案】50人。【分析】根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数+既不A又不B类人数＝该班人数”即可求解。【解答】解：26+29﹣13+8＝55﹣13+8＝42+8＝50（人）答：这个班共有学生50人。【点评】本题考查了容斥原理的应用。38．某班有48名学生，每人至少订阅一份《数学报》或《学习报》．已知1112的学生订阅了《数学报》，1【答案】16人。【分析】先根据分数乘法的意义分别求出订阅《数学报》的人数和订阅两种报刊的人数，再根据容斥原理公式解答即可。【解答】解：48×1148×148﹣（44﹣12）＝16（人）答：订阅《学习报》的学生有16人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。39．某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，其中数学、英语都参加的有12人，两个小组都不参加的有4人，则这个班学生人数有多少人？【答案】48人。【分析】某班有26人参加数学兴趣小组，30人参加英语兴趣小组，两者共有26+30＝56人，然后再减去其中数学、英语都参加的有12人，即重叠的人数12人就是至少参加一项的人数，最后加上两个小组都不参加的4人，可得这个班学生的人数。【解答】解：26+30﹣12+4＝56﹣12+4＝48（人）答：这个班学生人数有48人。【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。40．学校运动会，三（1）班参加跳绳比赛的有15人，参加接力比赛的有10人。这两项比赛都参加的有6人，三（1）班一共有多少人参加这两项比赛？【答案】19人。【分析】根据容斥原理“A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数”，用参加跳绳的15人加参加接力比赛的10人的和，减去两项都参加的16人即得总人数。【解答】解：15+10﹣6＝25﹣6＝19（人）答：三（1）一共有19人参加这两项比赛。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。41．大课间体育活动展示，每人至少参加一项。四（3）班第2小组报名参加跳绳展示的有8人，报名参加踢毽子展示的有6人。（1）第2小组最多有几人？最少有几人？（2）若已知第2小组有10人，请问两项都参加的有几人？【答案】（1）14人，8人；（2）4人。【分析】（1）当参加这两项的同学都分别只报名了一项，此时人数最多，所以最多有（8+6）人；当报名参加跳绳的同学同时也报名参加踢毽子时，人数最少为8人；（2）既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况），据此解答即可。【解答】解：（1）8+6＝14（人）答：第2小组最多有14人，最少有8人。（2）8+6﹣10＝14﹣10＝4（人）答：两项都参加的有4人。【点评】本题考查了容斥问题的灵活运用，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。42．101名学生去春游，带矿泉水的有70人，带水果的有50人，每人至少带一样。既带矿泉水又带水果的有多少人？【答案】19人。【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。【解答】解：70+50﹣101＝120﹣101＝19（人）答：既带矿泉水又带水果的有19人。【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。43．学校为了丰富学生的校园生活，让学生的个性特长得到优质发展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程