2025年高考数学一轮复习 课时作业五十四 椭圆的定义及标准方程

五十四椭圆的定义及标准方程

（时间：45分钟分值:80分）

【基础落实练】

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1.（5分）（2024•许昌模拟）已知为尸2为椭圆营+卷=1的两个焦点，过B的直线交椭

圆于两点，右尸2%|+|匹出=10,则|43|=（）

A.8B.6C.4D.2

2222

【解析】选B.由2金=1,即士吟三,可得。=4,根据椭圆的定义

FMI+尸2小+尸山I+IB引=4。=16,所以M引=7/|+-归1=6.

22____

2.（5分）与椭圆费*=1有相同焦点,且过点（3,您）的椭圆方程为（）

22

Ay।%」

36z0

2222

yx一汽y<

C—+~=1

2018D,元十=

22

【解析】选B.由题意可设椭圆的方程为a*=10>-9）.又所求椭圆过点（3,

乙JIzLJI/L

声）,所以将（3,/司代入椭圆方程得心上号1,解得4=11（-21舍去）.

4*JIzLT/IzL

22

故所求的椭圆方程为2&L

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3.（5分X2024•北京模拟）已知椭圆亲+3=1的一个焦点的坐标是（20）,则实数加

的值为（）

A.lB娘C,2D.4

【解析】选C.由条件可知,q2=3加力2=私c=2,所以/一按^㈡2加=4得m=2.

【加练备选】

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已知曲线。:乙+匕=-1,则“4女＜5”是“曲线。表示焦点在歹轴上的椭圆”的

K-uS-K

（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

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【解析】选A.将曲线C的方程化为为+"1，若曲线C表示焦点在y轴上的椭

圆厕h3＞5次＞0,即4＜左＜5,而“4女＜5”不能推出“4（左＜5";"4＜左＜5”可以推出“4女＜5”,

故“4女＜5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.

4.（5分）已知两定点直线/:尸%丁区在I上;两足I尸的点

P的个数为（）

A.0B.1C.2D.0或1或2

【解析】选B,由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,

故c=1以="乃=1,其方程是g+产1,

把尸c-F代入椭圆方程并整理得：3*4灰+4=0,由/=（一4依）2-4义3义4=0,所以在

I上满足|尸根+|尸2=2”的点。有1个.

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5.（5分X多选题X2024•天水模拟）设椭圆。：£+土1的左右焦点为是C上

的动点，则下列结论正确的是（）

A.FBI+FBHO

B/到为最小的距离是2

C.△4汜面积的最大值为6

D.P到B最大的距离是9

【解析】选AD.由椭圆方程可得:a=5,b=3,则C=7?7P=4,

对A:根据椭圆的定义可得|PE|+FB|=2a=10,A正确；

对B:根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时『到B的距离最小，最小值为a-

c=l,B错误；

对C:根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点或下顶点时,的面积最大，最

1

大值为,x2cxb=12,C错误；

对D:根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时,P到F1的距离最大，最大值为

a+c=9,D正确.

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6.（5分）（多选题X2024•南通模拟）已知F为椭圆与+==1（。>6>0）的一个焦点45为

ab

该椭圆的两个顶点，若|/月=3,|5F|=5,则满足条件的椭圆方程为（）

2222

4%yy一%y

B-V+T

222：2

C—%+—V—1D+1

1615-lsIr

【解析】选BCD,由题意，对A,B两个顶点的位置分类讨论:

（1）若B为右顶点H为上或下顶点时，

少为左焦点,|/巧=3〃b|=5可得

{aW解得{屋，，又因为』守=5,

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故椭圆E的方程为。+卜1，故B选项正确;

（2）若B为右顶点H为左顶点时，

万为左焦点,|9=3,W|=5得

解得tI*又因为62=人2=15,

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故椭圆E的方程为故C选项正确;

1O1D

（3）若B为左顶点H为上或下顶点时,

方为左焦点,MP=3〃b|=5可得

中又因为C>O,故方程无解，即不存在此情形；

(4)若B为左顶点H为右顶点时，

方为左焦点,0巧=3,因方|=5可得

"+机又因为AOQO,故方程无解，即不存在此情形；

I(X-C——KJ

(5)若B为上或下顶点H为左顶点时，

尸为左焦点,|4+3,|苏1=5,

a222

[a3,解得仁=版因为b=a-c=21,

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故椭圆E的方程为看*1,故D选项正确；

(6)若B为上或下顶点4为右顶点时，

少为左焦点,|/巧=3〃b|=5可得

L2r-?，又因为。>0，。>0,故方程无解，即不存在此情形.

ILtIC——D

222222

综上所述:椭圆方程为或或羡+71・

7.(5分X2024・济南模拟)已知椭圆的焦点在歹轴上，其上任意一点到两焦点的距离

之和为10,焦距为6,则此椭圆的标准方程为.

222a=10/a=5

【解析】依题意，设椭圆方程为彳*=1(»>0),则/弋6解得k=3,

ab[c2=02一后Q=4

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所以椭圆方程为才

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答案:

8.(5分)A43C的两个顶点坐标分别是3(0,6)和。(0广6),边/民/。所在直线的斜

率的乘积是9则顶点/的轨迹方程是.

【解析】设顶点A的坐标为(%,y),

由题意得?•一［化简整理，

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得看+汇1,

又A,B,C是A45C的三个顶点，所以A,B,C三点不共线，因此方土6,

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所以顶点Z的轨迹方程为*

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答案盘+黑1仿"6)

9.(10分)动点M与定点丹(3,0)的距离和M到定直线/犹噌的距离的比是常数3

(1)求动点M的轨迹方程；

【解析】⑴设M(x,y\d是点〃到直线I的距离，则学=|,即也若二|,

化简得169+25俨=400,

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所以动点M的轨迹方程为装心1.

(2)设BG3,0),点P为〃轨迹上一点，且N吊尸歹2=60。,求的面积.

【解析】(2)由⑴知，动点M的轨迹是以F/2为焦点的椭圆，所以PBI+I尸尸2曰0,

在中,由余弦定理得

|尸尸1|2+|尸「2/-2|尸碎|尸尸21cos60。=/死|2,

所以(|尸尸1|+甲尸2尸-3|尸碎|尸尸^/产?/，

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整理得。碎叱2|一,

|PB|sin60

所以SL―i"F/=|乙|尸碎乙J。彳乙号«J|一¥

【能力提升练】

10.(5分)若点M(x,y)满足方程，%2+(y-2/+J%2+(y+2)2=12,则动点M的轨迹

方程为()

x2y2x2y2

A.—K-=lB.—1

36323620

一V2%2V2%2

C—+—=1D^―+~=1

363214416

【解析】选C.因为动点M%,y)满足关系式J%2+(y-2)2+J%2+(y+2)2=12,

所以该等式表示点M(x,y)到两个定点为(0,-2),B(0,2)的距离的和为12,

而方丙|=4<12,即动点M的轨迹是以为尸2为焦点的椭圆，且2—12,即折6,又

。=2尸=。2_02=36-4=32,

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所以动点M的轨迹方程为总+ML

DODZ

11.(5分)(2024•桂林模拟)”(loga2)N+(logR)产1表示焦点在y轴上的椭圆”的一

个充分不必要条件是()

A.0<a<bB.l<a<b

C.2<a<bDA<b<a

【解析】选C.若（10ga2）x2+（10g62）y2=l表示焦点在〉轴上的椭圆，则需

'logj>0

fa>l

log/,2>0，即b>1,所以l<a<b,

嗨2>log理a<b

所以"（log“2）%2+（logb2）俨=1表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是

2<a<b.

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12.（5分）（多选题）已知为椭圆34=1的左、右焦点"为椭圆上的动点，则

下列说法正确的是（）

AJA/三的最大值大于3

•此码的最大值为4

C.60°

ZFXMF2的最大值为

DAMKB的面积的最大值为3

【解析】选BC.由椭圆的方程得出=4/2=3,所以。2=1,所以尸（1,0）,尸2（1,0）.

对于AJM/21max=a+c=3,故A错误

\MFA+\MF?\

对于B,由椭圆定义可知也用|+少里|=4,所以吠11-幽出&——-——）2=4,当且仅当

|M\|=|〃F2|时取等号，故B正确.

对于C,当点M为椭圆与y轴的交点时,ZF.MF2取得最大值，

由M。,我得tan"

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z_pMF

所以-^=30。,/月力加2=60。,故C正确.

对于D,当点M为椭圆与歹轴的交点时,的面积最大，最大值为儿=出，故

D错误.

13.（5分）（2024•聊城模拟）以。为圆心的动圆与圆G：（%+2）2+俨=1和圆c^x_

2）2+俨=/&＞（））均相切，若点P的轨迹为椭圆，则r的取值范围是.

【解析】由题知，若以P为圆心的动圆与两圆均外切，如图，令以P为圆心的动圆

半径为R,

贝UPC^R+l,PC2^R+r,

因为FG-PGHr」，所以此时点P的轨迹不是椭圆,不符合题意;

若以。为圆心的动圆与圆G外切，与圆G内切，如图，令以。为圆心的动圆半径

为R,

则干氏因为「。2+。。1|=升1,

若点P的轨迹为椭圆，则〃+1>2X2=4,即厂>3,且圆G与圆G不相交，即厂>5.

综上，若点P的轨迹为椭圆，则r>5.

答案：（5,+8）

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14.（10分）（2024・济南模拟）已知椭圆务1直线I与C在第二象限交于A,B

两点（4在5的左下方），与x轴,V轴分别交于点MN,且|MZ|：四|：|物=1：2：

3,求直线I的方程.

【解析】如图,

由条件得B点为线段MN中点，设B点坐标为（沏,州）得M2xo,O）,MO,2yo）,

5汽y22

由雇4|：引=1：2得/坐标为（一争,将45坐标分别代入中,

.22

x

oy0

---+——]