第04讲常用逻辑用语（4大知识点4种必考题型强化训练）原卷版

第04讲常用逻辑用语课程标准学习目标1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)知识点01.命题1.定义：能判断真假的、不带有变元的陈述句，叫做命题（proposition）.判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.例如，“10是2的倍数”是真命题，“11是偶数”是假命题.说明：①命题必定由条件与结论两部分组成；②假命题的确定：举反例（举出一个满足条件，不满足结论的例子，一个即可，一票否决）；【注意】构造反例有时候不容易，要充分注意命题的条件和结论，还要注意极端情况，或运用类比手段.③真命题的确定：直接法和反证法.说明：反证法既是一种重要的数学思想，也是命题证明的一种方法，后面会有赘述.2.推出关系：如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）.因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则.它是逻辑推理的基础.【即学即练1】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）命题“如果，那么”是命题（填“真”或“假”）.知识点02.充分条件，必要条件、充要条件【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件.2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【理解】该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立”；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”.【举例】小明是上海人，小明是中国人.【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．【即学即练2】（2024春•黄浦区校级期末）设，则是的条件．知识点03.反证法要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事.我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法.【解题思路点拨】用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论2．反证法的一般步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）作出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．【即学即练3】（2022秋•普陀区校级期末）设n∈Z．用反证法证明：若n3是奇数，则n是奇数．知识点04.从集合角度看充分、必要条件充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．（1）若p是q的充分条件，则A⊆B；（2）若p是q的充分不必要条件，则；（3）若p是q的必要不充分条件，则；（4）若p是q的充要条件，则A＝B.（5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.【即学即练4】已知条件和条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________.题型01充分条件、必要条件及充要条件的判断【解题策略】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．【例11】(1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0；③已知x∈R，p：x>1，q：x>2.【例12】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)．(1)p：x＝1，q：x－1＝eq\r(x－1)；(2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5；(3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(4)p：a是自然数；q：a是正数．【变式11】（2022秋•普陀区校级期末）设p：x＜5，q：x＜6，那么p是q成立的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要．【变式12】已知为非零实数，则“”是“”成立的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【变式13】指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝eq\r(2x＋1)；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.【变式14】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)．(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；题型02充分条件与必要条件的应用【解题策略】充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．【例2】已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}．若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围．【变式21】（2023秋·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）若，，已知是的充分条件，则实数的取值范围是．【变式22】集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|－a<x－b<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是()A．{b|－2≤b<0} B．{b|0<b≤2}C．{b|－2<b<2} D．{b|－2≤b≤2}【变式23】已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是________．【变式24】已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a(a<0)．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________．题型03充要条件的证明【解题策略】充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．【例3】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.【变式31】求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0.【变式32】（2021秋•金山区校级月考）设n∈Z，求证：“n是偶数”是“（n+1）2是奇数”的充要条件．【变式33】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.【变式34】求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0.题型04充分不必要、必要不充分、充要条件的应用【解题策略】充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．【例4】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【变式41】（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是.【变式42】对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．【变式43】已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________________________．【变式44】设集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|1－m<x<m＋1，m>0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B.(1)若p是q的充要条件，求正实数m的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．一．选择题1.（2023秋•徐汇区期末）若，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023秋•松江区期末）已知：整数能被2整除，：整数能被6整除，则是的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件3．（2023秋•浦东新区校级期中）、、、、、均为非零实数，不等式和的解集分别为集合和，那么“”是“”A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件4．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，，，则“”是“”的条件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要5．（2023秋•浦东新区校级期末）是的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件6．（2023秋•黄浦区校级期末）已知，是非零常数，则“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件7．（2023秋•浦东新区校级期末）已知，都是自然数，则“是偶数”是“，都是偶数”的条件．A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不必要8．（2023秋•普陀区校级期末）设，“是偶数”是“是偶数”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2023秋•浦东新区校级期末）若，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2023秋•闵行区校级月考）设，则“”是“”的A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件11．（2023秋•杨浦区校级期末）已知，，则“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件二．填空题12．（2023秋•奉贤区期末）：四边形是正方形，：四边形的四个角都是直角，则是的条件．13．（2022秋•青浦区校级期末）已知、，用反证法证明命题：“若，则、全为零”时的假设是．14．（2023秋•静安区校级期末）“”是“”的条件．15．（2023秋•浦东新区校级期末）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为．16．（2023秋•闵行区校级期中）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是．17．“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________．三．解答题18．（2023秋•闵行区期中）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数取值范围组成的集合．19．（2023秋•杨浦区校级期末）已知集合，，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围．20．（2023秋•长宁区校级期中）已知集合