山东省德州市武城县第二中学高二上学期开学考试数学试题含解析

高二上学期数学开学考试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】整理可得，结合复数的模长公式运算求解.【详解】由题意可得：，所以．故选：C．2.设，向量，且⊥，则（）A.3 B.5 C.9 D.25【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直得到方程，求出，进而得到，求出模长.【详解】由题意得，解得，故，所以.故选：B3.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（）比赛成绩678910班级数35444A.8.5 B.9 C.9.5 D.10【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可.【详解】因为，所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是.故选：C.4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C若，则D.若，则【答案】B【解析】【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断.【详解】对于A，如图，，此时，故A错误；对于B，若，面内可以找一条直线，使得；而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确；对于C，如图，，此时，故C错误；对于D，如图，，此时，故D错误．故选：B.5.已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算得出结果【详解】该圆台的体积.故选：C.6.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助列举法，找出所有情况及符合要求的情况后计算即可得.【详解】将两个红球编号为1，2，两个黄球编号为3，4，一次性随机摸取两个球的情况有，，，，，，共6种，其中两球不同色的情况有，，，，共4种，故两球不同色的概率为.故选：D.7.在平行四边形中，，，若，则（）A1 B.2 C.4 D.8【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得，从而得解.【详解】，，，，，，，．故选：D．8.在三角形中，内角的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理和辅助角公式得到，结合余弦定理得到，利用三角形面积公式求出答案.【详解】，由正弦定理得，因为，所以，故，即，故，因为，所以，故，解得，由余弦定理得，即，因为，，所以，解得，.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．9.已知，则下列正确的是（）A. B.在复平面内所对应点在第二象限C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用复数乘方运算，结合复数模、共轭复数的意义及复数的几何意义判断即可.【详解】对于A，，A正确；对于B，在复平面内对应的点在第三象限，B错误；对于C，，C正确；对于D，由选项C知，，则，即，因此，D错误.故选：AC10.在中，角的对边分别是，若，，则（）A. B.C. D.的面积为【答案】AC【解析】【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D.【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确；由及正弦定理，可得,化简可得.因为，所以，所以，即.因为，所以，故B错误；因为，所以且，代入，可得，解得，.因为，，，所以由正弦定理可得，由，可得，化简可得，解得或（舍），故C正确；.故选:AC.11.如图，在三棱柱中，已知点，分别在，上，且经过的重心，点，分别是，的中点，且平面平面，下列结论正确的是（）A. B.平面C. D.平面平面【答案】ABC【解析】【分析】由三棱柱性质和面面平行性质可知A正确；利用线面平行判定定理可得B正确；由重心分边长比例可得C正确；易知平面与平面相交，即D正确.【详解】由三棱柱性质可知平面平面，又平面平面，平面平面，由面面平行的性质可知；又点，分别是，的中点，可知，即可得，所以A正确；由，平面，平面，所以平面，即B正确；又经过重心，所以，且，，所以，可知C正确；因为四点共面，且易知与相交，所以平面与平面相交，因此D错误；故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知事件A和B互斥，且，，则______.【答案】0.4##【解析】【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解.【详解】∵事件A和B互斥，∴，又，∴，∴.故答案为：0.4.13.已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为_______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理解得，结合面积公式运算求解.【详解】由余弦定理可得，即，整理可得，解得（舍负），则，所以的面积为．故答案为：.14.在中，为中点，若，则实数的值为______________．【答案】【解析】【分析】利用向量加法和减法法则进行化简，利用向量数量积公式建立方程进行求解即可．【详解】，，，，为中点，，，，，即，即，得，得．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：10，11，12，13，14，组：12，13，15，14，．假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（1）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（2）如果，事件：“甲康复时间为11天”，事件：“甲乙康复时间之和为25天”，事件是否相互独立？【答案】（1）（2）不相互独立【解析】【分析】（1）列举符合条件的基本事件，即可由古典概型的概率公式求解，（2）分别求解,即可根据相互独立事件满足的关系求解.【小问1详解】如果，从两组随机各选1人，样本空间，，共有25种，甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有，共有8种，所以概率为；【小问2详解】当时，，事件的情况有，共4种所以事件：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间和为25天”的情况为．故所以事件不相互独立．16.如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面；(2)过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【小问1详解】证明：因为平面，平面,所以,又因为，即，平面，,所以平面，又因为平面,所以平面平面.【小问2详解】如图，过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以四棱锥的高为.因为平面，平面,所以,,又因为，为公共边，所以与全等，所以.设，则，所以为中点，,又因为,所以,即，解得，所以，所以四棱锥的高为．17.某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照50,60，60,70，，80,90，90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在90,100内的概率.【答案】（1），中位数约为，平均数约为75；（2）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于求出a的值，再估计中位数和平均数.（2）求出抽取的6人中在的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得.【小问1详解】由频率分布直方图，得，解得，成绩在的频率依次为，显然本次竞赛成绩的中位数，则，解得，本次竞赛成绩的平均数为，所以，中位数约为，平均数约为75.【小问2详解】由（1）知，成绩在，的频率之比为，则在中随机抽取人，记为1，2，3，4，在中随机抽取人，记为a，b，从6人中随机抽取2人的样本空间为，共15个样本点，设事件“至少有1人的成绩在内”，则，有9个样本点，因此，所以至少有1人的成绩在内的概率.18.在①，②外接圆面积为，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答.在锐角中，，，的对边分别为，，，若，且______.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）选①或选②都可借助正弦定理得到，即可得；（2）借助余弦定理与三角形面积公式计算即可得.【小问1详解】由得，若选①：由正弦定理得，所以，则，又因为，故；若选②：外接圆半径，由正弦定理，所以，则，又因为，故；【小问2详解】由（1）知，所以，因为的面积为，所以，所以，因为，所以，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以的周长为8.19.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足，现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如图所示.（1）在棱上是否存在点F，使直线平面，若存在，求出，若不存在，请说明理由；（2）求二面角的平面角的正切值.【答案】（1）存在，（2）2【解析】【分析】（1）设的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到，得出平面，进而得到结论；（2）连接CE，取BE中点O，作于M，证得，得到为二面角的平面角，在直角中，即可求解．【小问1详解】