陕西省某中学2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试题（含答案解析）

陕西省西安中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

学校:..姓名:.班级:考号:

一、单选题

1.曲线〃x)=3--e*在(0,〃0))处的切线方程为()

A.%+y+l=0B.x-y+1=0

C.x-y-l=0D.x+y-l=0

2.若随机变量J〜N(3,9),尸(1<"3)=0.35,则尸仔>5)=()

A.0.15B.0.3C.0.35D.0.7

3.随机变量X的分布列如下：

X-212

j_

Pab

2

若矶X）=l,则£＞（X）=（）

A.0B.2C.3D.4

4.若（正+：］的二项展开式中常数项为（）

A.1B.2C.4D.6

5.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”.甲、乙等6名网红

主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡

游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、

乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）

A.96种B.132种C.168种D.204种

6.某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”

的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方

图如图所示，则下列说法正确的是（）

试卷第1页，共6页

①频率分布直方图中a的值为0.005

②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80

③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78

④估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为150

A.①②③B.①②④C.①③④D.②④

7.质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其

他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“挛生素数”.在不超过

30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件2=“这两个数都是素数"；事件3=“这两

个数不是挛生素数”，则尸（引"）=（）

11r37c4143

A.—B.-—C.—D.—

15454545

8.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排

列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,.,则此数列的前

45项的和为（）

算

n【0行

p1

算

1行

An-11

算

p2行

4

：弓121

算

3行

1331

算

An-4行

算14641

MrJ5行

b

算

行15101051

M6

1615201561

rJ

Apn-

A.2026B.2025C.2024D.2023

二、多选题

9.某车间加工同一型号零件，第一、二台车床加工的零件分别占总数的30%,70%,各自产

品中的次品率分别为6%,5%.记“任取一个零件为第i台车床加工1=1,2户为事件4,“任取

一个零件是次品”为事件3,则（）

试卷第2页，共6页

A.尸⑶=0.053B.P（B\4）=0.05

35

C.尸（4可=0.035D.尸⑷可=气

三、单选题

10.2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同

一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价尤元和销售量V件之间的一组数据如下

表所示：

价格X9095100105110

销售量y1110865

用最小二乘法求得y关于X的经验回归直线是i=-0.32尤+■，相关系数厂=-0.9923,则下列

说法不正确的有()

A.变量x与N负相关且相关性较强B.£=40

C.当x=85时，V的估计值为13D.相应于点。05,6)的残差为-0.4

四、多选题

2

11.关于函数”x)=1+ln无，下列判断正确的是()

A.x=2是“X)的极小值点

B.函数y=/(x)-x有且只有1个零点

C.存在正实数总使得f(x)＞区恒成立

D.对任意两个正实数尤1/2,且马＞西，若1(再)=/(%2),贝!］再+%＞4

五、填空题

12.五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、

火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是种.

13.若函数〃月=，-x+alnx在(1,+8)上单调递增，则实数。的取值范围为.

试卷第3页，共6页

14.已知二项式（1+26）”的二项式系数和为32.给出下列四个结论:

①"=5②展开式中只有第三项的二项式系数最大

③展开式各项系数之和是243④展开式中的有理项有3项

其中，所有正确结论的序号是.

六、解答题

15.当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系

列创新技术有了革命性突破.全球各大科技企业都在积极拥抱AGC,我国的BAT（百度、

阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加

码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从

上面7个科技企业中随机选取3个进行采访.记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X,

求X的分布列与期望.

16.下表是某单位在2023年1〜5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

月份X12345

用水量V2.5344.55.2

⑴从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）

的概率；

（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05,视为“预测可靠"，那么

由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由.

参考公式：对于一组数据（4,兀），伍，/），…，（%，%），其回归直线9=常+4的斜率和

尸产__

Z（西-x）（.%-y）ZW厂_

截距的最小二乘估计公式分别为：b=『-----------=g------—,£=亍-菽.

方（匕-x）2储2-”一

Z=1Z=1

17.2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者

中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占;，并将这200人按年龄分组，第1组［15,

25）,第2组［25,35）,第3组［35,45）,第4组［45,55）,第5组［55,65］,得到的频率分

布直方图如图所示.

试卷第4页，共6页

(1)求a,并估计参与调查者的平均年龄；

(2)把年龄在第1,2,3组的居民称为青少年组，年龄在第4,5组的居民称为中老年组，若

选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2x2列联表.请将列联表补充

完整填入答题卡，并回答：依据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为是否关注民生

与年龄有关？

关注民生问题不关注民生问题合计

青少年

中老年10

合计200

(3)将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问

题”的人数为Y，求随机变量Y=2时的概率和随机变量Y的数学期望E(Y).

n(ad-be)

附：z2-------77-------77-------77-------r,n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.0500.0100.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

18.已知函数/(x)=、-alnx(aeR).

⑴若(2=2,求/(X)的极值；

⑵若函数g(x)=/(x)+(l-2a)x恰有两个零点,求。的取值范围.

19.某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都

试卷第5页，共6页

有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为擀2；从第二次摸球开始，若

前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为g,若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为，记

该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为P„.

⑴求BE的值；

(2)探究数列｛Pj的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过

程.

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案AABCCBCAACDc

题号11

答案ABD

1.A

【分析】先对函数〃尤)求导，得到了'(0)=-1,再结合/(o)=-i,即可得解.

【详解】/'(x)=6x-e、，则/'⑼=-1,又/(0)=3X02_€。=_1,

则所求切线方程为N+1=-尤，即x+y+l=O.

故选：A.

2.A

【分析】根据正态分布的对称性，可知尸(3<J<5)=尸(1<4<3),即可得解.

【详解】由随机变量4〜N(3,9),P(l<J<3)=0.35,

可知尸(J>5)=0.5-尸(3<J<5)=0.5-0.35=0.15,

故选：A

3.B

【分析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得。、6的值，进而求

得方差.

a+f}+1_][a=—

【详解】由题意可知，"++2=n:,

-2a+b+l=l\b=—

[3

所以Z)(x)=(-2-1川+(1-1)2X：+(2-1)2X：=2.

632

故选：B

4.C

【分析】写出展开式的通项，再令竽=。，解得最后代入计算可得.

【详解】二项式,+]展开式的通项为加=玛(叼(0<r<45.reN),

令竽=。，解得厂=1，所以心=C}°=4,故展开式中常数项为4.

答案第1页，共11页

故选：c

5.C

【分析】对其余4位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得.

【详解】依题意其余4位主播有两种情况：

①3位主播去一个景点，1位主播去另外一个景点；②分别都是2位主播去一个景点;

「2-2

所以不同游玩方法C：A：+发-A：=168（种）.

故选：C

6.B

【分析】根据题意，由频率分布直方图的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】由频率分布直方图可得：

10x（2a+3a+7a+6。+2。）=1,解得。=0.005,故①正确；

前三个矩形的面积为（2。+3a+7a）x10=0.6,

即第60百分位数为80,故②正确；

估计这200名学生竞赛成绩的众数为四誓=75,故③错误；

总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为3axl0xl000=150,故④正确；

故选：B

7.C

【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.

【详解】不超过30的自然数有31个，其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

共10个，

挛生素数有3和5,5和7,11和13,17和29,共4组.

C245C2-441

所以尸(⑷=/=笆，尸(/8)=工=

JiJiJi51

41

所以尸监⑷=2鲁41

45

故选：C.

8.A

答案第2页，共11页

【分析】根据“杨辉三角”的特点可知«次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第〃+1行,

从而得到第"+1行去掉所有为1的项的各项之和为：2"-2;根据每一行去掉所有为1的项的

数字个数成等差数列的特点可求得至第11行结束，数列共有45项，则第45项为C；°=10,

从而加和可得结果.

【详解】由题意可知，〃次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第"+1行

则“杨辉三角”第〃+1行各项之和为：2"

.•.第〃+1行去掉所有为1的项的各项之和为：2"-2

从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4,…

则：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,即至第11行结束，数列共有45项

.•.第45项为第11行最后1个不为1的数，即为：C]o=lO

.•.前45项的和为：21-2+22-2+23-2+---+210-2=~~--2x10=202(

1-2

故选：A

9.ACD

【分析】根据条件概率公式逐一计算即可.

【详解】根据题意得尸(4)=0.3,尸(H)=0.7,尸(例4)=0.06,尸伊14)=0Q5,故B错误;

对于A,P（5）=0.3x0.06+0.7x0.05=0.053,故A正确;

尸⑶4)=^^,所以尸(4为=尸(引4)・尸(4)=0.05x0.7=0.035,故c正确;

对于C,

尸(43)=曰*=器=||，故D正确.

对于D,

故选：ACD.

10.C

【分析】由回归直线可得变量线性负相关，且由相关系数|川=0.9923,可知相关性强，

判断A,计算样本中心点坐标，计算求得£=40,判断B;将x=85代入线性回归直线求得N

的估计值，判断C;求出相应于点(105,6)的残差即可判断D.

【详解】对于A,由回归直线可得变量x/线性负相关，且由相关系数IH=0.9923,可知

相关性强，故A正确，

答案第3页，共11页

对于B,由表中数据可得，0=)x(90+95+100+105+110)=100,

)7=1x(ll+10+8+6+5)=8,故回归直线恒过点(100,8),

故8=-0.32X100+A，解得乐=40，故B正确，

对于C,当x=85时，y=-0.32x85+40=12.8,故C错误，

对于D,相应于点(105,6)的残差为6-(-0.32x105+40)=-04,故D正确.

故选：C.

11.ABD

【分析】A选项，求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到x=2是/(x)的极小值点;

B选项，令g(尤)=/(尤)-x=、+lnx-x,求定义域，求导，得到函数单调递减，结合特殊

点函数值及零点存在性定理得到结论；C选项，参变分离，构造函数，进行求解；D选项,

设三=/>1,即有9=/，由/(再)=/(9)得到王=牛2,从而

石tInt

2

x1+x2>4^/-l-2flnZ>0,构造函数，得到函数单调性和极值最值情况，证明出结论.

2

【详解】A选项，〃x)=—+lnx定义域为(0,+e),

X

〃(力=-卷+:卡，

当x>2时,r(x)>0,函数/(X)单调递增,

当0〈尤<2时，r(x)<0,函数/(X)单调递减，

，x=2是/(x)的极小值点，即A正确；

2

B选项，令g(x)=/(x)-x=(+lnx-x,定义域为(0,+功，

7

x—x+24八恒成立,

2

g(x)=/(x)-x=—+lnx-x在(0,+8)单调递减,

g⑴=2+0-1=1>0,g(2)=l+ln2-2=ln2-l<0,

由零点存在性定理可知，叫)«1,2),使得g(x())=0,

...y=〃X)-X有且只有一个零点，故B正确;

答案第4页，共11页

C选项，/(x)>Ax,即一+lnx>Ax等价为左〈二+,x>0,

xXX

人，/\21nx八EI7,/\-41-lnxx-xlnx-4八

令人(x)=y+-^,x>0,贝!]〃(%)=1-+2―=-------3-------，x>0,

令w(x)=x—xlnx—4,x>0,贝(JM(x)=l—lnx—l=_lnx,%>0,

当x〉l时，w(x)=x—xlnx—4单调递减，当0<x<l时，w(x)=x—xlnx—4单调递增，

故w(x)=x-xlnx-4在1=1处取得极大值，也是最大值，最大值为1-0-4=-3<0,

故可得力(%)在(0,+动单调递减，则,(x)无最小值，

所以左<"x)不恒成立，故C错误；

D选项，设三=/>1,即有3=均，

再

22

/(再)=/(%2)，即为1+=丁+111工2,

222

—FInX]—FIn(b])=—FIn/+InXj,

再txxtxx

故[1_：]2=1型，所以再=2：2,

[t)xxtint

2t—22t—2

贝[jX]+XQ>4--------1--------->4，2—1—2,In看>0,

tinthit

设〃(%)=/—1—2/In/(才〉1),可=2%—21n/—2=2(%—In/—1),

令机(7)=t一1一Inf,贝Ij“«)=1-；=>0在fe(1,+8)上恒成立,

可得〃O>加⑴=0,

/.M'(^)>0,故“。单调递增，可得〃⑺>“(1)=0,故国+%>4成立，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等

式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含

参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不

等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

12.48

【分析】相邻问题利用“捆绑法”即可求解.

【详解】先将“木、土”看成一个整体，所以一起4个元素，总共有A；=24种排法，“木、土”

答案第5页，共11页

内部排序有A；=2种排法，所以总共有A：A；=48种排法.

故答案为：48.

13.[-1,+«)

【分析】依题意可得尸3=2-；+。30在Xe(1,+8)上恒成立，参变分离得到a>-2x2+x

在xe(l,+oo)上恒成立，令g(x)=-2x2+x,结合二次函数的性质求出g(x)的最大值，即可

求解.

【详解】因为/1(x)=/-尤+aln无，x>\,

所以r(x)=2x-i+-=2%2~x+fl,

XX

又函数八可在(1,+8)上单调递增，

所以厂(X)=2/；20在Xe0,+⑹上恒成立,

即a2-2x2+尤在尤e(1,+<»)上恒成立，

令g(x)=-2f+x,对称轴为直线x=；,

所以函数g(x)在(1,+«0上单调递减，

所以g(x)<g⑴=T,

所以a2-1,

即实数a的取值范围为[-1,+s).

故答案为：卜1,+«9・

14.①③④.

【分析】根据二项式系数和满足2"=32,可判定①正确；根据二项式系数的性质，可得②

不正确；

令x=l,求得展开式各项系数之和，可判定③正确；根据展开式的通项，可判定④正确.

【详解】对于①中，由二项式(1+24)"的二项式系数和为32,可得2"=32,

解得〃=5,所以①正确；

对于②中，由二项式(1+24)5的展开式共有6项，

答案第6页，共11页

根据二项式系数的性质，可得第三项和第四项的二项式系数相同，且最大，所以②不正确;

对于③中，令X=l,可得（1+2）5=243,所以展开式各项系数之和是243,所以③正确;

对于④中，由二项式（1+24甘的展开式的通项为/=C；（2^）r=，

24

当r=0,2,4时，可得展开式的项分别为7；=2C：Z=2C；x,T5=2C；/,

所以展开式中的有理项有3项，所以④正确.

故答案为：①③④

9

15.分布列见解析，

【分析】求出X的所有可能取值和对应的概率，求出分布列，得到期望.

【详解】由题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,

此时尸（x=o）=g=2,尸（X=l）=害=1|,

2

16.（l）y

（2）得到的经验回归方程是“预测可靠”的.

【分析】（1）根据古典概型求概率；

（2）先求出线性回归方程，在进行预测判断.

【详解】（1）从这5个月中任取2个月，包含的基本事件有C；=10个，

其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的基本事件有以下4个:

（2.5,3）,（2.5,4）,（2.4,4.5）,（3,4）,

答案第7页，共11页

故所求概率尸=4言=：2.

-1+?+3+4-2.5+3+4+4.5

⑵由数据得=y=---------；---------=3.5

4盯

2.5+6+12+18-35_07

由公式计算得b=与.....-

之茗2—4：1+4+9+16-25.

z=l

a=y-bx=L75,所以歹关于x的经验回归方程为V=0.7x+1.75,

当x=5时，得估计值>=0.7x5+1.75=5.25,ffij|5.2-5.25|=0.05<0.05

所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的.

17.(1)0.035；41.5岁

(2)表格见解析；有关

27

⑶尸(丫=2)=k；1

IZo

【分析】(1)利用频率直方图面积和为1,即可得到。，根据频率直方图计算平均数即可；

(2)根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算

出Y，根据独立性检验可得答案；

(3)将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相

互独立的得y〜可得答案

【详解】(1)•,•0,010x10+0.015x10+0.030x10+^x10+0.010x10=1,

/.a=0.035,

x=0.01x10x20+0.015x10x30+0.035x10x40+0.03x10x50+0.010x10x60=41.5,

，估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁；

(2)选出的200人中，各组的人数分别为：

第1组：200x0.010x10=20人，第2组：200x0.015x10=30人,

第3组：200x0.035x10=70A,第4组：200x0.030x10=60人，

第5组：200x0.010x10=20人，

•••青少年组有20+30+70=120人，中老年组有200-120=80人，

・••参与调查者中关注此问题的约占80%,.•.有200x(1-80%)=40人不关心民生问题，

•••选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人，

答案第8页，共11页

，2x2歹U联表如下;

关注民生问题不关注民生问题合计

青少年9030120

中老年701080

合计16040200

零假设"。：假设关注民生问题与性别相互独立,

/=200(9。-。-70x3。)"6875—

160x40x80x120

，根据独立性检验，可以认为零假设名不成立,

即能依据小概率值&=0.050的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关;

(3)由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为3义0=1

1204

将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为!,

因为每次抽取的结果是相互独立的，所以y〜,

所以尸(y=左)=11-j，左=0,1,2,3,4,

所以”=2)=Ct］『J=短%)=吟=1.

18.⑴/⑺的极小值为1,无极大值.

(2)(1,+®)

【分析】(1)求导，利用导数判断〃x)的单调性和极值；

(2)求导，分类讨论判断g(x)的单调性，结合零点存在性定理判断g(x)的零点.

【详解】(1)若。=2,贝!]/(x)=/-21nx,

可知〃x)的定义域为(0,+s),且广⑶=2x32D,

XX

令/'(x)=0,解得尤=1,

答案第9页，共11页

当0<x<1时,f\x)<0,当x〉1时，f\x)>0,

所以/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，且/⑴=仔—21nl=l,

所以/(x)的极小值为1,无极大值.

(2)因为g(x)=/(x)+(1-2a)x=x2-alnx+(l-2a)x,

则g(x)的定义域为(0,+幻)，且g'(x)=2x-色+1-2。=—+1)(…)

XX

当aVO时，g'(x)>0,则g(x)在(0,内)上单调递增，

所以g(x)至多有一个零点，不符合题意；

当0>0时，令g'(x)>0,解得x>a,令g[x)<0,解得0<x<a,

所以g(x)在(0,。)上单调递减，在(%+8)上单调递增，

g(x)min=g(。)=/一4lna+(l-2a)a=a-a\na-a2=a(l-l