2024-2025学年江西省抚州市高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省抚州市高三(上)第一次月考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合M=[x\y=lg(2x-3)},N={y\y>1},则MCN=()

A.B.(1,|)C.(l,+8)D.(|,+8)

2.某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑

的时长(单位：分钟)，得到统计数据如下：35,30,50,90,70,85,60.则该组数据的中位数和平均数

分别为()

A.60,58B,60,60C,55,58D,55,60

3.已知z=富(。eR)为实数,则|2z+zi|=()

A.A/3B.2C.1D8

4.曲线y=e*+s讥2K在点(0,1)处的切线方程为()

A.3x+2y—2=0B.2x—2y+1=0C.3x—y+1=0D.3x—2y+2=0

5.已知锐角a,/?满足sina+sinasin^=cosacosp,贝2a+S=()

717171

A.2B.yC.D.Ji

6.过点P(l,-3)的直线Z与曲线M：(x-2)2+y2=i(2WKW3)有两个交点，则直线l斜率的取值范围为()

A.(1,1]B.(1,2]C.(1,2]D.(|,4]

7.已知椭圆7：,+"=l(a>b>0)的右焦点为尸，过尸且斜率为1的直线I与T交于4B两点,若线段4B

的中点M在直线x+2y=0上，贝U7的离心率为()

A.号B.亨C.§D.孝

8.如图，在平行四边形ABC。中，tan/BAD=7,AB=5y/2fAD=5万为边BC上异于端点的一点，且族•族

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知双曲线c：J——2=1，贝1k)

A.爪的取值范围是(—6,3)

B.m=1时，C的渐近线方程为y=

C.C的焦点坐标为(一3,0),(3,0)

D.C可以是等轴双曲线

10.下列函数中，存在数列｛斯｝使得的，a2,和7'(a。，f(a2)-f(a3)都是公差不为0的等差数列的是()

2024

A./(x)=tanxB./(x)=log2xC./(x)=xD./(x)=1g签金

11.己知定义在R上的偶函数/'(X)和奇函数g(x)满足/'(2+%)+g(-久)=1,贝!1()

A./(均的图象关于点(2,1)对称B.f(x)是以8为周期的周期函数

C.g(x+8)=gQ)D.牛鳖/(轨-2)=2025

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.二项式(x-y)6的展开式中％4y2的系数为.

,JT___TT____

13.已知函数/(%)=2024s讥(2乂-%)在区间(1,zn)内恰有两个极值点，则实数小的取值范围为.

14.已知三个正整数的和为8,用X表示这三个数中最小的数，则X的期望EX=.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12

秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的

冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间双单位：s)与位移y(单位：爪)之间的关系，得

到如下表数据：

X2.82.933.13.2

y2425293234

画出散点图观察可得久与y之间近似为线性相关关系.

(1)求出y关于x的线性回归方程；

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(2)记4=%-匕=%-6%-(1,其中%为观测值，均为预测值，4为对应(久"％)的残差，求前3项残差的和.

参考数据：即=i腾=45.1,型=1刈%=434.7,参考公式：b=Y?=1Xiyi-nxy,a=y-bx.

—nx2

16.(本小题15分)

已知△ABC的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,且。=等空.

4—a

(1)证明：b=4cosC；

(2)若C=^,c=邓,求△ABC的周长.

17.(本小题15分)

已知直线Z：x=my+九交抛物线C：y2=N两点，尸为C的焦点，且FM1FN.

(1)证明：m2+n>0；

(2)求71的取值范围.

18.(本小题17分)

如图，在棱长为4的正方体/BCD-中，将侧面CD”G沿CG逆时针旋转角度。至平面CD/©其中

eE(0,分，点P是线段EF的中点.

(1)当12彳。4//1=狎，求四棱锥P—CDi/G的体积；

(2)当直线与平面CD/iG所成的角为称时，求cos。的值.

19.(本小题17分)

定义：若对于任意几6N*,数列｛Xn｝,｛即｝满足：①Xn^Vn；②/'(久n)=/(即)，其中/(久)的定义域为。，

Xn,yneD,则称｛吗｝，关于f(久)满足性质G.

(1)请写出一个定义域为R的函数八式)，使得8｝,｛-n｝关于满足性质G；

(2)设g(x)=x+3x>0,k>0),若｛/｝，｛%J关于9(久)满足性质G,证明：xn+yn>2\/k；

(3)设h(久)=淳+*+出x(xeR),若｛孙｝,关于h(X)满足性质G,求数列｛>„+的前几项和.

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参考答案

l.D

2.B

3.0

4.C

5.4

6.B

l.D

8.B

9.ACD

10.AD

11.ABC

12.15

1勺,5〃4九-|

14-7

15.解：(1)依题意可得x=(x(2.8+2.9+3+3.1+3.2)=3,

y=|x(24+25+29+32+34)=28.8,

^Xiyt-5xy

=1434.7—5x3x28.8红—27

T7~-45.1-5x32

»=ixj—5x

a=28,8—27x3=-52.2,

所以y关于％的线性回归方程为y=27X-52.2.

(2)根据(1)得到=27X2,8-52.2=23.4,e1=24-23.4=0,6；

y2=27X2,9-52.2=26,1%=25-26.1=-1,1；

y3=27X3—52.2=28.8/=29—28.8=0.2,

所以E'le.=0.6-1.1+0.2=-0.3.

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16.(1)证明：由b=节詈，整理可得：ab=^b-4ccosA,

由正弦定理得bsinZ=4sinB—4sinCcosA=Asin(A+C)—4sinCcosA=4sinAcosCf

因为si几4。0,

所以b=4cosC；

(2)因为C=p所以b=4cosC=2平，

2

而C=方,c=4，由余弦定理得c2=炉+a-2abcos^f

即3=12+a2—6a,解得a=3,

所以△ABC的周长为3+3P.

17.(1)证明：由题意联立｛1二+九，

得y2—4my—4n=0,

又直线1：x=my+n交抛物线C：、2=4%于〃，N两点,

所以/=16m2+16n>0,

所以血2+n>0；

(2)解:设M(xi,yi),N(x2,y2),

由(1)得yi+及=4m,yxy2=-4n,

因为FM1FN,F(l,0),

所以丽•前=0,

BP(xi-i)(x2-i)+y02=o，

即⑺为+n-l)(my2+n-l)+为及=0,

2

整理得(m2+1)7172+m(n—l)(yi+y2)+(n—l)=0,

将yi+y2=4m,y02=—4n代入并整理得，4m2-n2—6n+1,4(m2+n)-(n—l)2>0,

所以n41,5.n2—6n+1>0,

解得：n>3+2"或n<3-272,

即n的取值范围为(―8,3-2的U[3+2*,+8).

18.解：(1)由题意Di%，平面EFGH,P%u平面EFGH,

所以D/11PH1，又因为tan—iPHi=|,

得*=|，所以P"i=6,

因为尸G=2巡,GH\=4,PHi=6,

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所以PG2+G/^=P掰，

故PG1GHi，又D/ilPG,GH1nD1H1=H1,

故PG1平面C£»i/G,

所以U四棱锥P-CD1H1G=x4X4-PG=32s.

(2)如图，易知GH,FG,GC两两垂直，以G为原点，GH^FG^GC^jx,y,z轴建立空间直角坐标系,

由题知=则G(0,0,0),C(0,0,4),W1(4cos0,4sin0,O),£>(4,0,4),

故次=(0,0,4),GH；=(4cos0,4sin0,O),

设平面CDi"iG的一个法向量为而=(x,y,z),

->-->

m-GC=O,C4z=0,

拓.GH；=0J寸14%COS6+4ysin3=0,

取y=1,得％=—tand,故m=(Tern。,1,0),

又DH；=(4cos6—4,4s讥4一4),

.Ti---»—>\—4sin0+4tan0+4sinO\

Sin=cosDHm=222?

6\V\^1+tan6>.716(cos0-l)+16sin0+16

日口tanO1

、yjl+tan20•^/(cos0—l)2+sin20+1-2'

化简可得4cos2。-2cos。―1=0,

解得cose=上匕些或cose=匕在(舍去).

44

19.解：(1)4/(%)=/,定义域为R,

显然任意几EN*,-n。几，且/(一九)=(-n)2=n2=/(n),

故/(%)=/满足要求，(注：所有的定义域为R的偶函数均符合题意),

kk

(2)证明：因为。(鸟)=gOn),所以马+7=%1+r，

移项得知一丹=［一］k(xn-yn)

Yn-TIxnyn

k

因为久九w打，所以%九一％Iw0,故7T=l,xnyn=fc,

由基本不等式安"n店拓，当且仅当g=