四川省南充市阆中中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

四川省阆中中学校2024年秋高2024级学科素养问卷调查数学（满分：150分时间：9月8日19∶00—21∶00）一、单选题（每小题5分，共60分）1.下列各等式中，因式分解正确的是（

）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可．【详解】A.，该选项错误，不符合题意；B.，该选项正确，符合题意；C.，该选项错误，不符合题意；D.，该选项错误，不符合题意．故选：B．2.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（）A.24，25 B.23，23C.23，24 D.24，24【答案】C【解析】【分析】把给定数据由小到大排列，再求出众数、中位数即得.【详解】苗高由小到大排列为：，所以这组数据的众数和中位数分别是23，24.故选：C3.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由题意结合并集的定义可得：.本题选择B选项.4.下列说法中，正确的是（）A.若a>b，则< B.若a>b，则ac>bcC.若a>b>0，c>d>0，则ac>bd D.若a>b，则<【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质判断，也可举特例说明．【详解】选项A中，若满足，但仍然有，A错；选项B中，若，则，B错；选项C中，则得，，∴，C正确；选项D中，若，则，甚至中有一个为0时，或无意义，D错．故选：C．5.若命题“”为假命题，则m的取值范围是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合命题和它的否定的真假性关系，以及一元二次不等式恒成立问题的充要条件即可求解.【详解】由题意命题“”为真命题，所以当且仅当，解得，即m的取值范围是.故选：C.6.已知，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算性质即可求解.【详解】.故选：B7.如图，在中，，，，平分，则的长是（）A. B. C.3 D.5【答案】C【解析】【分析】过作，利用平行线的性质，结合已知列式计算即得.【详解】在中，，，，则过作交的延长线于点，则，即由，得，所以.故选：C8.已知当自变量x在的范围内时，二次函数的最大值与最小值的差为4，则常数m的值可为（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】【分析】配方得时，，分、和讨论即可.【详解】二次函数，该函数图象开口向下，当时，取得最大值7，当自变量在的范围内时，二次函数的最大值与最小值的差为4，当时，时取得最小值，时取得最大值，此时最大值与最小值的差为；当时，和分别取得最小值和最大值，此时最大值与最小值的差大于4，不符合题意；当时，和分别取得最大值和最小值，此时最大值与最小值的差小于4，不符合题意；由上可得，的取值范围是，故选：C.9.若，则的最小值为（）A.4 B.6 C.8 D.无最小值【答案】C【解析】【分析】将式子配凑成，然后利用基本不等式求解即可.【详解】若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．故选：C．10.已知定义在上的函数满足，则的值为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可知，与已知的式子联立方程组可求出，从而可求出的值.【详解】因为定义在上的函数满足，所以，所以，所以，解得，所以，故选：D11.二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为.其中正确的结论有（）A1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据定点坐标求得的关系式，由此对个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】由图可知，由于二次函数的顶点坐标为，所以，整理得，，所以①，①正确.②，②错误.③，所以二次函数与轴交点的横坐标是和，若方程有两个根和，且，则，所以③正确.④若方程有四个根，根据对称性可知，这四个根的和为，所以④错误.综上所述，正确的有个.故选：B12.已知关于不等式的解集为，则（）AB.点在第二象限C.的最大值为D.关于的不等式的解集为【答案】D【解析】【分析】根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得和分别是和的实数根，即可得，，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D.【详解】原不等式等价于，因为解集为,所以和分别是和的实数根，故且，，故A错误；因为，，所以点在第三象限，故B错误；，由于开口向下，故最大值为，故C错误，由得即解集为，故D正确．故选：D．二、填空题（每小题5分，共计20分）13.已知集合，则______.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.【详解】由，得，而，所以.故答案为：14.若是一元二次方程的两个实数根，的值为______.【答案】7【解析】【分析】根据韦达定理和方程的根可得以及，即可代入化简求解.【详解】由韦达定理可得，将代入方程可得，故，故答案为：715.已知，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据立方和公式，代入化简即可求解.【详解】，，,故答案为：16.设x∈R，用x表示不超过的最大整数，则y=x称为高斯函数，也叫取整函数，例如.令函数.①②③的最大值为1，最小值为0④y=fx与的图象有2个交点以上结论正确的是______.【答案】①②【解析】【分析】根据高斯函数的定义对个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，，所以①正确.②，因为，所以②正确.③,由②的分析可知，是周期为1的周期函数，当时，，当时，，当时，，综上，的值域为，故③错误；④当时，，所以，公共点有无数个，所以④错误.故答案为：①②【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.三、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，17.（1）解不等式组：；（2）计算：.【答案】（1）（2）19【解析】【分析】（1）通过解一元一次不等式组来求得正确答案.（2）根据指数运算求得正确答案.【详解】（1），由，得，解得；由得，解得不等式组的解集为.（2）原式.18.设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围.【详解】由题意得，命题，命题，

是的必要不充分条件，

是的充分不必要条件，

即，

且，

，

故实数a的取值范围为.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，以及根据必要不充分条件求参数的问题，解答时注意等价转化思想的运用.19.某校准备设置的五类劳动课程分别为：A.整理与收纳；B.烹饪与营养；C.传统工艺制作；D.新技术体验与应用；E.公益劳动与志愿服务.为了解学生对这五类劳动课程的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五类课程中的一种），并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据上述信息，解答下列问题.（1）本次被调查的学生有______名，并补全条形统计图；（2）扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是______；（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁4名同学中的2名参加全市传统工艺制作展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学同时被选中的概率.【答案】（1）100，补全条形统计图见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）结合条形图及扇形图，列式计算得被调查的学生数，再求出B课程人数，补全条形图.（2）由E课程所占百分比求出圆心角度数.（3）画出树状图，求出概率.【小问1详解】依题意，本次被调查的学生人数为，故答案为：100喜欢B课程的人数为，补全条形统计图如图所示：【小问2详解】扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是.故答案为：【小问3详解】画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时被选中的结果有：甲乙，乙甲，共2种，所以甲、乙两位同学同时被选中的概率为.20.如图，是的直径，弦与点，已知，，点为上任意一点，（点不与重合），连接并延长与交于点，连.（1）求的长.（2）若，直接写出的长.（3）①若点在之间（点不与点重合），求证：.②若点在之间（点不与点重合），求与满足的关系.【答案】（1）8（2）5或8（3）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质以及勾股定理来求得.（2）根据是否为进行分类讨论，从而求得的长.（3）①通过证明，结合圆的几何性质来证得.②通过证明，结合圆的几何性质来证得.【小问1详解】如图1，连接，是的直径，弦，，由勾股定理得；【小问2详解】，平分，由题意知，分是直径，是不为直径的弦两种情况求解：①当是直径，则重合，；②当是不为直径的弦，则重合，，的长为5或8；【小问3详解】①证明：如图2，连接，由题意知，垂直平分，，，，，②解：；如图3，连接，由题意知，垂直平分，，由圆内接四边形可得，，.21已知函数．（1）若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（2）当时，解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；（2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.【小问1详解】即为，所以不等式对于任意x∈R恒成立，当时，得，显然符合题意；当时，得，解得．综上，实数a的取值范围是．【小问2详解】不等式即为，即．又，不等式可化为，若，即时，得或，即解集为或；若，即时，得，即解集为；若，即时，得或，即解集为或．综上可知，当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．22.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）若对任意实