河南省名校联盟2025届高三上学期开学摸底联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省名校联盟2025届高三上学期开学摸底联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，可得.故选：B.2.若复数满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题知，所以．故选:D．3.抛物线的焦点坐标为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为抛物线的标准方程为：，焦点在轴正半轴上，且，所以焦点坐标为，故选:B.4.双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，所以，即双曲线的离心率．故选：B．5.将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：，则2025在第（）组．A.9 B.10 C.11 D.12〖答案〗C〖解析〗由题意可设前组里含有的正整数的个数为，则，由于，，故2025在第11组．故选：C．6.在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可知，，所以，所以．在中，由等面积法得，即，即，解得，故正确故选:A.7.已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设球的半径为外接圆圆心为，半径为的边长为．因为是面积为的等边三角形，所以，解得，所以，所以，解得，则，则球的表面积为，故正确.故选：B.8.已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（）A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗故，因为当时，由于，所以在上的值域为，所以解得，即的零点即为的根，则或，即或，所以函数在上的零点有，共8个．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（）A.2 B.0 C. D.〖答案〗CD〖解析〗因为命题“”为真命题，所以．令，根据增函数减去减函数知：为增函数，当时，有最小值，故实数的取值范围为．故选：CD．10.已知随机变量，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由随机变量，得，，，，故A正确；，故B正确；，故C错误；两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确．故选：ABD．11.若定义在R上的偶函数y=fx，对任意两个不相等的实数，都有，则称y=fx为“函数”．下列函数为“函数”的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗根据题意，对任意两个不相等的实数，都有，变形可得，即．若，则，可得，即在0,+∞上单调递减．又为偶函数，所以fx在上单调递增．对A：定义域为，且，则fx为偶函数，根据二次函数性质可得fx在上单调递减，在上单调递增，符合题意，故正确；对：定义域为，且，则fx为偶函数，函数，在上单调递增，在上单调递减，函数为增函数，根据复合函数定义可知函数在上单调递增，在上单调递减，故不符合题意，故错误；对C：，定义域为，且，则fx为偶函数，且，则fx在上单调递减，在上单调递增，故符合题意，故C正确；对D：，定义域为，且满足，则fx为偶函数，当x>0时，，由为减函数，为增函数，则在上单调递减，同理可得fx在上单调递增，故符合题意，故正确.故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，含的项的系数为____________．〖答案〗〖解析〗由题意可得的二项展开式的通项公式为，令，可得，所以，故含的项的系数为80.13.已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是____________．〖答案〗〖解析〗由题意可得fx在时有最小值，即在1,2上有极小值即可，因为在上单调递增，所以只需即解得，这时存在x0∈1,2，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是．14.如图，已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是____________．〖答案〗〖解析〗如图，为圆心，连接，则．因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以，则，即取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格，分别表示第个子工厂的投资（单位：万元）和纯利润（单位：万元）．投入万元32313336373839434546纯利润万元25303437394142444850（1）依据表中的统计数据，请判断投资与纯利润是否具有较强的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较强．计算时精确度为0.01）（2）求关于的经验回归方程（精确到0.01）．参考数据：，．参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．解：（1）依题意知，，所以相关系数，所以与之间具有较强的线性相关关系.（2）依题意知，又因为，所以，所以，所以关于的经验回归方程为.16.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．解：（1）当时，，即，当时，①，②，①-②得，即，所以．因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列．则，即．（2）由（1）得，，所以，，故，所以．17.如图，在三棱柱中，平面．（1）求证：平面；（2）设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数．（1）证明：平面平面，．又，且平面，平面．平面．又平面，平面．（2）解：由（1）知四边形为正方形，即，且有，以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则．，．设平面的一个法向量为，由得：，取．由（1）知平面平面的一个法向量为，，解得.所以.18.已知函数，当时，fx的值域为.（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性；（3）设，证明：对任意两个不等实数，不等式恒成立.（1）解：由在都单调递增，所以在上单调递增，由当时，fx的值域为，可知，即.（2）解：由（1）知，的定义域为.令，所以f'x>0，所以在上单调递增（3）证明：.不妨设，则要证明x只需证明x即x即证x设，则只需证明.化简得.设.则在1,+∞上恒成立，在1,+∞上单调递增，当时，，即，得证.19.定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；（3）设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．（1）解：由题，椭圆的另一焦点为F21,0因此，所以，所以椭圆标准方程为．（2）证明：设“共轭点对”中点的坐标为Bx,y，根据“共轭点对”定义：点的坐标满足所以或于是有两个点满足，且点的坐标为．（3）解：设．设所在直线为，则的方程为．