2024年中考数学试题分类训练：圆的相关性质

专题22圆的相关性质（34题）

一、单选题

1.（2024・湖南・中考真题）如图，AB,AC为©O的两条弦，连接03,OC,若NA=45。，则N3OC的

度数为（）

75°C.90°D.135°

【答案】C

【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

是解题的关键.根据圆周角定理可知=即可得到答案.

【解析】根据题意，圆周角/A和圆心角同对着8C，,=•.•NA=45。,

Z.BOC=2ZA=2x45°=90°.故选，C.

2.（2024•甘肃临夏•中考真题）如图，AB是。。的直径，ZE=35°,则（）

C.120°D.110°

【答案】D

【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出400=2NE.

由圆周角定理得到ZAOD=2ZE=70°,由邻补角的性质求出ZBOD=180°-70°=110°.

【解析】•.♦NE=35。，:.ZAOD=2ZE='70°,.•.ZBOD=180o-70o=110°.故选，D.

3.（2024.江苏连云港.中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在。点，另一端绑一重物.将此重物拉到

A点后放开，让此重物由A点摆动到8点.则此重物移动路径的形状为（）

o

A.倾斜直线B.抛物线C.圆弧D.水平直线

【答案】C

【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧.

【解析】在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以。为圆心，Q4为半径的一段圆弧，

故选，C.

4.（2024.四川凉山•中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的

解决方案是：在工件圆弧上任取两点A8,连接A3,作A3的垂直平分线8交A3于点。，交45于点

C,测出AB=40cm,CD=10cm,则圆形工件的半径为（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识.由垂径定理，可得出3D的长；设圆心为。，连接05,

在RtaOBD中，可用半径03表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子

的直径长.

【解析】；8是线段A3的垂直平分线，，直线经过圆心，设圆心为。，连接03.

1,

RtAQBD中，8r»=/A8=20cm,根据勾股定理得：OD1+BD1=OB2,即：（OB-10）+202=OB2,解

得：。8=25；故轮子的半径为25cm,故选，C.

5.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）如图，AO是。。的直径，A3是。。的弦，半径OC_LAB,连接CD,交

03于点E,NBOC=42。，则NOE。的度数是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质.先根据垂径定理，求得

ZAOC=ZBOC=42°,利用圆周角定理求得ZD=g/AOC=21。，再利用三角形的外角性质即可求解.

【解析】•.,半径；.AC=BC，AZAOC=ZBOC=42°,ZAOB=84°,AC=AC>

ZD=-ZAOC=21°,：.ZOED=ZAOB-ZD=63°,故选，B.

2

6.（2024.湖北.中考真题）A3为半圆。的直径，点C为半圆上一点，且N6B=50。.①以点3为圆心，

适当长为半径作弧，交AB,BC于D,E；②分别以OE为圆心，大于JDE为半径作弧，两弧交于点P；③

作射线BP,则（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出加C=40。,

根据作图可得NABP=；ABC=2O。，故可得答案

【解析A3为半圆。的直径，NACB=90。，：NC4B=50。，NABC=40。，由作图知，AP是/ABC

的角平分线，尸=gA8C=20。，故选，C

7.（2024.四川宜宾.中考真题）如图，AB是。。的直径，若NCDB=60。，则NABC的度数等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等.根据直径所对的圆周角为

直角得到NACB=90。，同弧或等弧所对的圆周角相等得到NCZ汨=4=60。，进一步计算即可解答.

【解析】是的直径，二〃^8=90。，-.•ZCDB=60°,ZA=ZCDB=60°,..ZABC=90°-ZA=30°,

故选，A.

8.（2024.四川广元.中考真题）如图，已知四边形是。。的内接四边形，E为A£>延长线上一点，

ZAOC=128°,则NC£>E等于（）

A.64°B.60°C.54°D.52°

【答案】A

【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.根据同弧所

对的圆心角等于圆周角的2倍可求得/ABC的度数，再根据圆内接四边形对角互补,可推出ZCDE=ZABC,

即可得到答案.

【解析】•.•NABC是圆周角，与圆心角NAOC对相同的弧，且NAOC=128。.

.­.ZABC=-ZAOC=-x128°=64°,又；四边形ABCD是。。的内接四边形，:.ZABC+ZADC=180°,

22

又•.•NCDE+ZADC=180。，/.ZCDE=ZABC=64°,故选，A.

9.（2024・云南・中考真题）如图，CD是。。的直径，点A、3在。。上.若AC=BC，ZAOC=36%则〃=

D

A.9°B.18°C.36°D.45°

【答案】B

【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接03,由AC=BC可得N3OC=NAOC=36。,

进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键.

【解析】连接03，：AC=BC，/•^BOC=ZAOC=36°,1^BOC=18°,故选，B.

10.（2024•黑龙江绥化•中考真题）下列叙述正确的是（）

A.顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形

B.平分弦的直径垂直于弦

C.物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析

判断，即可求解.

【解析】A.顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；B.平

分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；C.物体在灯泡发出的光照射下形成的

影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；D.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的

弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；故选，C.

11.（2024.广东广州•中考真题）如图，。。中，弦A3的长为4石，点C在。。上，OC±AB,ZABC=30°.QO

所在的平面内有一点尸，若。尸=5,则点尸与。。的位置关系是（）

A.点尸在。。上B.点尸在。。内C.点尸在。。外D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解

题关键.由垂径定理可得AD=2白，由圆周角定理可得NAOC=60。，再结合特殊角的正弦值，求出。。的

半径，即可得到答案.

【解析】如图，令OC与A3的交点为。，为半径，A3为弦，且OC_LAB,40=145=2所,

ZABC=30°ZAOC=2ZABC=60°,在AAZX）中，ZADO=9QP,ZAOD=60°,AD=2-j3,

AD-OA==20=4

sinZAOD=-—,---sin60。-g—,即O。的半径为4,尸=5>4,点尸在。。外，故选，C.

12.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，四边形A8CD是。。的内接四边形，Afi是。。的直径，若

C.120°D.130°

【答案】B

【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接AC,由A5是。。的直径得到NACB=90。，

根据圆周角定理得到NCAB=N3EC=20。，得到NABC=90。-NA4c=70。，再由圆内接四边形对角互补

得到答案.

【解析】如图，连接AC,'：AB是GO的直径，；.ZACB=90°,:ZBEC=20°,：.Z.CAB=NBEC=20°

ZABC=90°-ZBAC=70°;四边形AB8是。。的内接四边形，，NADC=180。—NABC=110。，故选，

B

13.（2024・湖北武汉•中考真题）如图，四边形ABCD内接于。。，ZABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

AB+AD=2,则。。的半径是（）

A.o.------C.D.

3322

【答案】A

【分析】延长AB至点E,使BE=AD,连接BD,连接CO并延长交0。于点R连接AF,即可证得

△ADC均EBC(SAS),进而可求得AC=cos45。-AE=&，再利用圆周角定理得到NAFC=60。，结合三角

函数即可求解.

【解析】延长A3至点E,使=连接3D,连接CO并延长交0。于点R连接AF,：四边形ABCD

内接于。。，/.ZADC+ZABC=ZABC+NCBE=180°/.ZADC=NCBE'：ABAC=ACAD=45°

NCBD=NCDB=45。,NZMB=90。是。。的直径，"CB=90。△OCB是等腰直角三角形，，

DC=BC*.•BE=AD/.AADC^AEFC(SAS)/.ZACD=ZECB,AC=CE,\'AB+AD=2A

AB+BE=AE=2又•:NDCB=90°ZACE=90°AACE是等腰直角三角形AC=cos45°•AE=忘：

ZABC=60°ZAFC=600'：AFAC=90°：.CF=.；.OF=OC=‘CP="故选，A.

sin600323

二、填空题

14.（2024・四川南充・中考真题）如图，A3是。。的直径，位于A3两侧的点C,。均在。。上，ZBOC=30°,

则NADC=度.

【分析】本题考查圆周角定理，补角求出-40。，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即

可.

【解析】「AB是。。的直径，位于A3两侧的点C,。均在。。上，ZBOC=30°,/.

ZAOC=180°-Z.BOC=150°,Z.AADC=-AAOC=150■故答案为：75.

2

15.（2024・北京・中考真题）如图，。。的直径A3平分弦8（不是直径）.若N£>=35。，则NC=

【答案】55

【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

先由垂径定理得到ABLCD,由8C=BC得到=35。，故/。=90。-35。=55。.

【解析「••直径A3平分弦8,二43,CD,：BC=BC，，ZA=AD=35°,NC=90。—35。=55。，

故答案为：55.

16.（2024.江苏苏州・中考真题）如图，AABC是。。的内接三角形，若NO3C=28。，则NA=

【答案】62。/62度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接OC,利用等腰三角形的

性质，三角形内角和定理求出NBOC的度数，然后利用圆周角定理求解即可.

【解析】连接OC,OB=OC,Z.OBC=28°,NOCB=ZOBC=28°,/.

ZBOC=180°-NOCB-NOBC=124°,ZA=-ZBOC=620,故答案为：62°.

2

17.（2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题）如图，AABC内接于O。，AO是直径，若NB=25°,则NCAD

B

【答案】65

【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接8,根据直径所对的圆周角是直角

得出NACD=90。，根据同弧所对的圆周角相等得出”=NB=25。，进而根据直角三角形的两个锐角互余,

即可求解.

【解析】如图所示，连接8,：AABC内接于O。，是直径，ZACD=90。，：AC=AC，NB=25。,

ZD=ZB=25°AZC4D=90o-25o=65°,故答案为：65.

B

18.（2024・四川眉山・中考真题）如图，"C内接于。。，点。在A3上，AO平分/交0。于。,

连接BD.若AB=10,BD=2下,则3c的长为.

【答案】8

【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判

定和性质，延长AC,BD交于E,由圆周角定理可得NAT>3=NADE=90。，ZACB=ZBCE=90°,进而

可证明AABZ巨AAED（ASA）,得到近，即得BE=46,利用勾股定理得AD=4石，再证明

△ABDS^BCE,得到竺=翌，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

ABAD

【解析】延长AC,BD交于E,•.•M是。。的直径，，4£>2=40£=90。，ZACB=ZBCE=90°,-.AD

平分^BAC,：,ABAD=NDAE,^：AD=AD,AAB£)^AA£D(ASA),BD=DE=2非,BE=4后,

■.-AB=IO,BD=25AD=yJIO2-(2y/5^=4>/5.;ZDAC=NCBD,XVZBAD^ZDAE,二

BEBC475BC„

ZBAD=ZCBD,•••ZADB=ZBCE=90°,:.AAB4ABEC,—=—,；.^—=—k,;.BC=8,故

ABAD104君

19.（2024・陕西・中考真题）如图，3C是。。的弦，连接03,OC,/A是BC所对的圆周角，则/A与NO8C

的和的度数是.

【答案】90。/90度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的

关键.根据圆周角定理可得N30c=2NA,结合三角形内角和定理，可证明2NA+NOBC+NOCB=180。，

再根据等腰三角形的性质可知NOBC=ZOCB,由此即得答案.

【解析】是所对的圆周角，N8OC是所对的圆心角，，N3OC=2NA,

ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,/.2ZA+ZOBC+ZOCB=180°,.OB=OC,;.NOBC=NOCB,

2ZA+Z.OBC+Z.OBC=180°,.-.2ZA+2ZOBC=180o,ZA+ZOBC=900.故答案为：90°.

20.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在。。中，直径AB_LCD于点E,CD=6,BE=\,贝。弦AC的

长为.

【答案】3V10

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键.

由垂径定理得CE=£Z）=LC£）=3,设。。的半径为『，则==在我90互＞中，由勾股定

2

理得出方程，求出r=5,即可得出A£=9,在中，由勾股定理即可求解.

[W^rlVAB1CD,CD=6,:.CE=ED=^CD=3,设。。的半径为r,贝ljO£=OB—EB=r—1,在R〃OED

中，由勾股定理得：。b2+此2=。。2,即（-1）2+32=产，解得：r=5,.,.Q4=5,OE=4,.•.AE=Q4+O£=9,

在比AAEC中，由勾股定理得：AC=VCE2+AE2=A/32+92=3-710＞故答案为：3.

21.（2024•江西・中考真题）如图，是O。的直径，AB=2,点C在线段上运动，过点C的弦DEIAfi,

将D3E沿OE翻折交直线45于点孔当OE的长为正整数时，线段朋的长为.

【答案】2-6或2+百或2

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据。E4AB,可得OE=1或2,利用勾股定理

进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键.

【解析】•.•AB为直径，OE为弦，,/）£1<回,，当。E的长为正整数时，£>E=1或2,当£>E=2时，即

为直径，•.・JDE_LAflJ.将O3E■沿。E翻折交直线A3于点E此时厂与点A重合，故尸6=2;当DE=1

时，且在点c在线段os之间，如图，连接。。，此时OO=!AB=I,-.DE±AB,.-.DC=^DE=^,

222

：.OC-^OD2-DC2=—,；.BC=0B-0C=2—逝,:.BF=2BC=2-0

22

当OE=1时，且点C在线段Q4之间，连接。刀，同理可得BC=2+逝,:.BF=2BC=2+B综上，可

2

得线段冲的长为2-0或2+也或2,故答案为：2-百或2+0或2.

22.（2024•河南・中考真题）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内

旋转，过点B作AD的垂线，交射线4£>于点E.若8=1,则AE的最大值为,最小值为.

【答案】2收+1/1+2&2V2-1/-1+2V2

【分析】根据题意得出点。在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以A3为直径的圆上，根据

AE=AB-cosZBAE,得出当cosNBAE■最大时，AE最大，cosNBAE'最小时，AE最小，根据当AE■与G>C

相切于点。，且点。在AABC内部时，NR4E最小，AE最大，当AE与。。相切于点。，且点。在&4BC

外部时，/BAE最大,AE最小，分别画出图形，求出结果即可.

【解析】；NACB=90。，CA=CB=3,：.ABAC=ZABC=1x90°=45°,二•线段8绕点C在平面内旋

2

转，8=1,.,.点。在以点C为圆心，1为半径的圆上，NA£B=90。，.•.点£在以A3为

直径的圆上，在RtZWE中，AE=AB-cosZBAE,：A3为定值，.,.当cosNA4E最大时，AE最大，

cosNBAE最小时，AE最小，...当AE与G）C相切于点。，且点。在AABC内部时，N54E最小，AE最

大，连接8,CE,如图所示：

则8LAE，：.ZADC=ZCDE=90°,旬=口炉-5=打-f=2&：AC=AC，二

XCED=XABC=45°,VZCDE=90°,，ACDE为等腰直角三角形，/.DE=CD=1,：.

AE=AD+DE=2A/2+1，即AE的最大值为2点+1;

当AE与。C相切于点。，且点。在AABC外部时，23AE最大，AE最小，连接8,CE,如图所示:

则COJ_AE,AZCDE=90°,：,AD=4AC1-CD1-A/32-I2=272-:四边形"庭为圆内接四边形，

AACEA=180°-ZABC=135°,AACED=180°-ACEA=45°,VZCDE=90°,.♦.△CDE为等腰直角

三角形，，DE=CD=1,：.AE=AD-DE=2亚-1，即AE1的最小值为2拒-1;故答案为：272+1;20-1.

三、解答题

23.（2024.四川甘孜•中考真题）如图，A3为。。的弦，C为的中点，过点C作8〃AB,交03的

延长线于点D连接。4,OC.

⑴求证：8是。。的切线；

(2)若OA=3,BD=2,求AOCD的面积.

【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键.

(1)由垂径定理的推论可知OCLAB,据此即可求证；

(2)利用勾股定理求出8即可求解；

解：(1)证明：•••A3为。O的弦，C为A3的中点，

由垂径定理的推论可知：OC±AB,

,/CD//AB,

：.OC±CD,

0c为。。的半径，

8是。。的切线；

(2)VOB=OA=OC=3,BD=2,

OD=OB+BD=5,

•*-CD=dOD2-OC2=4,

/.S'OCD=gxOCxCD=6,

24.(2024.内蒙古包头•中考真题)如图，A3是O。的直径，3c,3。是。。的两条弦，点C与点。在A3

的两侧，E是OB上一点(OE>BE),连接。C,CE,且N30c=2ZBCE.

(1)如图1,若BE=1,CE=y/5,求。。的半径；

(2)如图2,若BD=2OE,求证：9〃OC.(请用两种证法解答)

【分析】(1)利用等边对等角、三角形内角和定理求出/。2。=/。口=3(180。-/2。(?),结合

ZBOC=2ZBCE,可得出NO3C+N3CE=90。，在RtAOCE中，利用勾股定理求解即可;

(2)法一：过。作。尸_LBD于尸，利用垂径定理等可得出2/=：BD=OE,然后利用HL定理证明

RtACEO^RtAOFB,得出NCOE=NQB尸，然后利用平行线的判定即可得证；

法二：连接AE>,证明ACEOSAADB,得出NCOE=NAB。，然后利用平行线的判定即可得证

解：(1)解：：OC=OB,

：.NO8C=NOC8=g(l80。—N3OC),

*.•ZBOC=2NBCE,

：.ZOBC=1(180°-2NBCE)=90°-Z.BCE,即NOBC+ZBCE=90°,

二ZOEC=90°,

•••OC2=OE2+CE2,

：.OC2=(OC-l)2+(^)2,

解得0c=3,

即。。的半径为3；

(2)证明：法一：过。作。尸，班(于凡

•/BD=2OE

：.OE=BF,

y.OC=OB,ZOEC=ZBFO=90°,

RtACEO^RtAOFB(HL),

NCOE=NOBF,

：.BD//OC-,

法二：连接AO,

♦AB是直径,

ZADB=90°,

・•・AD=^AB2-BD2=^（2OC）2-（2OE）2=2^OC2-OE2=2CE,

.PCCEOE\

**AB-AD-?

^CEO^^ADB,

ZCOE=ZABD,

：.BD//OC.

25.（2024•安徽・中考真题）如图，。。是AABC的外接圆，。是直径A3上一点，NACD的平分线交A3于

⑴求证：CDrAB-

(2)设句0_LAB,垂足为M,若OA/=OE=1,求AC的长.

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解

题的关键.

(1)由等边对等角得出〃AE=NAE/，由同弧所对的圆周角相等得出NE4E=N3CE,由对顶角相等得

出NAEF=NCEB,等量代换得出NCEB=N8CE,由角平分线的定义可得出NACE=N£>CE,由直径所

对的圆周角等于90。可得出NACB=90。，即可得出NCEB+NDCE=NBCE+NACE=NACB=90。，即

NCDE=90。.

(2)由(1)知，NCEB=NBCE,根据等边对等角得出3E=BC,根据等腰三角形三线合一的性质可得

出M4,AE的值，进一步求出Q4,BE,再利用勾股定理即可求出AC.

解：(1)证明：：FA=FE,

ZFAE=ZAEF,

又NFAE与NBCE都是gb所对的圆周角，

NFAE=NBCE,

,/ZAEF=ZCEB,

：.NCEB=NBCE,

'：CE平分NACD,

：.ZACE=ZDCE,

AB是直径，

ZACB=90°,

：.ZCEB+NDCE=ZBCE+ZACE=ZACB=90°,

故NCDE=90。，

即CD±AB.

（2）由（1）知，NCEB=NBCE,

：.BE=BC,

又FA=FE,FMLAB,

：.MA=ME=MO+OE=2,AE=4,

：.圆的半径。4=OB=AE—OE=3,

BE=BC=OB-OE=2,

在中.

AB=2OA=6,BC=2

AC=y]AB2-BC2=A/62-22=4收

即AC的长为40.

26.（2024・四川眉山・中考真题）如图，跖是。。的直径，点A在。。上，点C在M的延长线上,

ZEAC=ZABC,AC＞平分/'BAE交。。于点。，连结DE.

⑴求证：C4是。。的切线；

(2)当AC=8,CE=4时，求OE的长.

【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判

定是解题的关键.

（1）连接Q4,根据圆周角定理得到NR4F=90。，根据等腰三角形的性质得到NABC=440,求得

ZOAC=90°,根据切线的判定定理得到结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到5C=16,求得BE=BC-CE=12,连接50,根据角平分线

的定义得到440=44。，求得BD=DE，得到&）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

解：（1）证明：连接。1,

~O~i―"/\EC...砥是的直径,

「.NR4H=90。，

:.ZBAO+ZOAE=90°,

\OA=OB,

ZABC=ZBAO,

•.­ZEAC=ZABC,

.\ZCAE=ZBAO,

ZCAE+ZOAE=90°,

ZOAC=90°f

,「Q4是O。的半径，

.•.C4是O。的切线；

(2)vZEAC=ZABC,ZC=ZC,

:.AABC^AEAC,

ACCE

.8_4

••—j

BC8

:.BC=16,

:.BE=BC-CE=12,

连接AD,

•「AD平分284后，

\?BAD?EAD,

BD=DE，

BD—DE，

■.•跖是G＞。的直径,

:.ZBDE=90°,

DE^BD=—BE=6y/2.

27.（2024•江苏扬州•中考真题）如图，已知/PA。及AP边上一点C.

（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点。，使得/COQ=2/C4Q；（保留作图痕迹，不写作法）

⑵在（1）的条件下，以点。为圆心，以Q4为半径的圆交射线A。于点3,用无刻度直尺和圆规在射线CP

上求作点使点拉到点C的距离与点拉到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）

3

⑶在（1）、（2）的条件下，若sinA=1，CM=12,求&W的长.

【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；

（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；

（3）根据作图可得MW1AQ，CM=WM=12,A8是直径，结合锐角三角函数的定义可得AM的值，根

据勾股定理可求出AC的值，在直角ABGW中运用勾股定理即可求解.

解：（1）如图所示，

P

：.ZCOQ^IZCAQ.

点。即为所求

（2）如图所示，

P

M.

连接8C,以点3为圆心，以3c为半径画弧交AQ于点片，以点片为圆心，以任意长为半径画弧交A。于

点C1,DX,分别以点G，2为圆心，以大于为半径画弧，交于点1,连接4耳并延长交A尸于点

；A3是直径，

ZACB=90°,即8C_LAP,

根据作图可得4G=BR,q片=RK，

MBt±AQ,即NMB出=90。，”用是点M到A。的距离，

,/BC=BB,,

...RMBCMmWABB[M(HL),

/.CM=BjM,

点Af即为所求点的位置;

(3)如图所示,

A

根据作图可得，ZCOQ=2ZCAQ,MC^MW=12,MW1AQ,连接3C,

WM3

••在Rt中，sinA------——,

AM5

5WM5x12

AM==20,

33

AC=AM-CM=20-12=8,

A8是直径,

ZACB=90°,

sinA上3

AB5

设5C=3x,贝l]AB=5x,

/.在Rt^ABC中,（5x）2=（3%）2+82,

解得，x=2（负值舍去），

BC=3兀=6,

在小ABQW中，BM=4CM-+BC1=A/122+62=6A/5-

28.（2024・河南・中考真题）如图1,塑像A3在底座3c上，点。是人眼所在的位置.当点B高于人的水

平视线OE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经

过A,8两点的圆与水平视线相切时（如图2）,在切点尸处感觉看到的塑像最大，此时—AP8为最大

视角.

⑴请仅就图2的情形证明ZAPB>ZADB.

⑵经测量，最大视角NAPB为30。，在点尸处看塑像顶部点A的仰角Z4PE为60。，点P到塑像的水平距

离PH为6m.求塑像A3的高（结果精确到Q1m.参考数据：石=1.73）.

【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：

（1）连接根据圆周角定理得出=根据三角形外角的性质得出然后

等量代换即可得证；

（2）在RJAHP中，利用正切的定义求出在RtZXBHP中，利用正切的定义求出3”,即可求解.

则/4A4B=NAP8.

,/ZAMB>ZADB,

ZAPB>ZADB.

（2）在RtAAHP中，ZAPH=60°,PH=6.

AH

VtanZAPH=——，

PH

AH=PH-tan60°=6x^3=673.

ZAPB=3O°,

：.NBPH=ZAPH-ZAPB=60°-30°=30°.

BH

在RtABHP中,tanZBPH=——，

PH

•*.BH=PH-tan30°=6x3=25

3

AB=AH-34=66-26=46”4x1.73u6.9（m）.

答：塑像AB的高约为6.9m.

29.（2024•江西・中考真题）如图，A3是半圆O的直径，点。是弦AC延长线上一点，连接班）,BC,

ZD=ZABC=6O°.

(1)求证：3。是半圆。的切线；

(2)当3c=3时，求AC的长.

【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计

算公式是解题的关键.

(1)根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得NC4B=30。，即可得？ABD90?,进而可证得结

论；

(2)连接OC,证明△O8C为等边三角形，求得ZAOC=120。，利用弧长公式即可解答.

解：(1)证明：；A3是半圆。的直径,

ZACB=90°,

■.■ZD=ZABC=60°,

ZCAB=90°-ZABC=30°,

:.ZABD=1800-ZCAB-ZD=90°,

是半圆。的切线;

(2)如图，连接OC,

:.ZCOB=60°,OC=CB=3,

ZAOC=1800-ZCOB=120°,

,120ccc

I.=----x2%x3=24.

AC360

30.（2024.广东深圳•中考真题）如图，在△ABD中，AB=BD,O。为的外接圆，仍为。。的切线,

AC为。。的直径，连接。。并延长交BE于点E.

⑴求证：DELBE；

(2)若AB=5G，BE=5,求O。的半径.

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质:

（1）连接6。并延长，交AD于点“，连接易证8。垂直平分AD,圆周角定理，切线的性质，推

出四边形瓦〃汨为矩形，即可得证；

（2）由（1）可知。〃=6石=5,勾股定理求出出/的长，设。。的半径为乙在RtZXAOH中，利用勾股

定理进行求解即可.

解：（1）证明：连接6。并延长，交AD于点H,连接

D

•：AB=BD,OA=OD,

•**垂直平分AD,

/.BHJ.AD,AH=DH,

'：跖为＜3。的切线，

/.HBLBE,

：AC为。。的直径，

ZADC=90°,

.••四边形3/TOE为矩形，

DELBE；

(2)由(1)知四边形3HDE为矩形，BHJ.AD,AH=DH,

：.AH=DH=BE=5,

•*-BH=4AB1-AH2=575，

设。。的半径为r,贝1J：OA=OB=r,OH=BH-OB=5^5-r,

在RtA4C归中，由勾股定理，得：r2=（5）2+（575-r）2,

解得：r=3A/5;

即：0。的半径为36.

31.（2024・四川广元・中考真题）如图，在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,。。经过A、C两点，交AB

于点。，CO的延长线交AB于点片DE〃CF交BC于点E.

⑴求证：为。。的切线;

（2）若AC=4,tanZCFD=2,求8的半径.

【分析】（1）连接OD,根据等腰三角形的性质可得NC8=2NC4B=90。，再根据DE〃C/，可得

AEDO=180O-ACOD=90°,问题得证;

（2）过点C作于点M根据等腰直角三角形的性质有CH=48=20,结合tan/CED=2,可

得器=2,即吁口利用勾股定理可得"加在RfW中，根据tanNCd器=2,设半

径为"即有右=2,问题得解.

解：（1）证明：连接OD.

c

AC=BC,ZACB=90°,

/.AAC8为等腰直角三角形,

ZCAB=45°,

Z.NCOD=2NCAB=90°,

•/DE//CF,

：.2cOD+NEDO=180°,

ZEDO=180°-ZCOD=90°,

DE为。。的切线.

(2)过点C作CHLAB于点H,

•••△AC5为等腰直角三角形，AC=4,

AB=4A/2,

•*-CH=AH=2五,

VtanZCFD=2,

:.里=2,

FH

FH=^，

'：CF-=CH-+FH-,

•*-CF=A/W.

在Rt△产OD中，VtanZCFD=—=2,

OF

设半径为r，•••赤二;=2,

.2回

32.(2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题)如图，在AABC中，以A3为直径的。。交3c于点O,QEJ_AC,

垂足为E.。。的两条弦FB,如相交于点£/D4E=/B阳.

⑴求证：DE1是。。的切线；

(2)若NC=30。,CD=26，求扇形OND的面积.

【分析】(1)连接OD,利用等边对等角，圆周角定理等可得出N34=NZM£,由垂直的定义得出

ZADE+ZDAE=9Q°,等量代换得出NADE+NOAA=90。，即然后根据切线的判定即可得证；

(2)先利用含30。的直角三角形的性质求出DE=石，同时求出N£E>C=60。，进而求出NBO£>=30。，利

用等边对等角，三角形外角的性质等可求出NAOD=60。，ZBOD=120°,证明△AO£>是等边三角形，得

出AD=OD,NOZM=60。，进而求出NADE=30。，在RtAADE中，利用余弦定义可求出AD=2,最后

利用扇形面积公式求解即可.

解：(1)证明：连接OD,

,/OD=OA,

：.ZODA=ZOAD,

又ZDAB=ZBFD,ZDAE=ZBFD,

：.AODA=ZDAE,

'：DEJ.AC,

：.ZADE+ZDAE=90°,

ZADE+ZODA=90°,即O£>1,

又OD是O。的半径；

DE是。。的切线；

(2)VZC=30°,C£>=273,DEJ.AC,

：.DE=-CD=y[3,ZCDE=60°,

2

又OD_LDE,

：.NBDO=180O-ZODE-"DE=30°,

OB=OD,

：.Z.OBD=ZODB=30°,

AZAOD=60°,NBOD=120。

又OD=OA,

••△AOZ）是等边三角形，

AAD=ODfZODA=60°,

NAD石=30。，

在Rt/xADE中，AD=———==2,

cosZADEcos30°

扇形OBD的面积为⑶万/.

3603

33.（2024・江苏扬州•中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊

情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论.

如图，已知"C,CA=CB,。。是AABC的外接圆，点。在。0上（AD>BD）,连接AD、BD.CD.

图1图2备用图1备用图2

【特殊化感知】

（1）如图1,若NACB=60。，点。在AO延长线上，则AD-班）与8的数量关系为；

【一般化探究】

（2）如图2,若NACB=60。，点C、。在AB同侧，判断与CD的数量关系并说明理由；

【拓展性延伸】

（3）若NACB=。，直接写出AD、BD、8满足的数量关系.（用含a的式子表示）

【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则N。皿=60。，进而由四边形ACDB是圆内接四边形,

设AD,3c交于点E,则BE=CE,设5。=1,则8=30=1,分别求得AD,3D,即可求解；

（2）在AD上截取。尸=BD,证明△井BGACDWAAS）,根据全等三角形的性质即得出结论；

（3）分两种情况讨论，①当。在上时，在AD上截取DE=3E>,证明AC4BSA£）£B,VABEKCBD,

得出叱产,作CFSAB于点八得出43=28。©!!?,进而即可得出结论；②当。在人台上时，

CD£>C2

延长3。至G,使得DG=ZM,连接AG,证明ACABSA/MG,ACAD^BAG,同①可得A3=2AC-sin—,

2

即可求解.

解：(1)：C4=CB,ZACB=60°,

AABC是等边三角形，则NC4B=60。

。。是AABC的外接圆，

•*.AD是NBAC的角平分线，则ZDAB=30°

AD