2025年高考数学一轮复习：函数与基本初等函数（测试）（解析版）

第二章函数与基本初等函数（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.函数〃元）=3,一2国的一个单调递减区间为（）

A.（-/,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（l,+oo）

【答案】C

【解析】令/=/一2|乂，贝仃=3"

由复合函数的单调性可知：

f（尤）的单调递减区间为函数r=f-2冈的单调递减区间，

又函数f（—x）=（—%）--2/X=r（x）,

即函数"X）为偶函数，

结合图象，如图所示，

可知函数/=犬-2忖的单调递减区间为和（0,1）,

即的单调递减区间为（-叫-1）和（0,1）.

故选：C.

2.二维码与我们的生活息息相关，我们使用的二维码主要是21x21大小的特殊的几何图形，即441个点.

根据。和1的二进制编码规则，一共有24*种不同的码，假设我们I万年用掉3x1015个二维码，那么所有二

维码大约可以用（）（参考数据：lg2«0.301,lg3«0.477）

A.10切万年B.10.万年C.10四万年D.10.万年

【答案】A

【解析】•"万年用掉3xlOM个二维码,

大约能用品万年,

,441,441

15

设x=-15,贝！J=lg_K=坨2却一(lg3+lgio)=4411g2-lg3-15«441x0.301-0.477-15«117,

JX1U3X1U

BPx«io117W.

故选：A.

无2_i_1%<[

3.已知函数〃尤）=存在最小值，则实数。的取值范围是（）

A.（-8,1]B.（-00,1）C.[1,+co）D.（1,+℃）

【答案】A

【解析】当xWl时，/（%）=%2+1,

所以〃x）在（-/⑼上单调递减，在（。』上单调递增，则/（力.=/（0）=1,

当尤>1时，〃x）=2=a,所以〃x）在（L”）上单调递增，无最小值，

根据题意，〃x）存在最小值，

所以2—。21,即aVL

故选：A.

4.对函数〃x）=x+庐，作》=/加）的代换，则不改变函数值域的代换是（）

A./z(r)=sinf,te0,gB./z(/)=sinZ,G[0,7i]

7171D.h(t)=^sint,te[0,2K]

C./?(r)=sinr,te

~292

【答案】C

【解析】因为函数〃尤）=尤+7^的定义域为{X|-1WXW1},且不是周期函数,

当犬=〃（。时，其：-l</7（r）<l,

对于A项，当/©[。弓]时，0<sinr<l,BP0<h（t）<1,这与-14力⑺41不符合，故A项不成立;

对于B项，当fe[O,旭时，0<sin?<l,BpO</z（r）<l,这与-1W〃⑺<1不符合，故B项不成立；

兀TC

对于C项，当re时，—IVsintVl,即一1三为⑺W1,故C成立；

对于D项，当fe[0,2兀]时，—"sinfVl,即⑺4：,这与—14%。）41不符合，故D项不成立;

故选：C.

5.已知函数f（x）=（e*+eT卜inx-2在[-2,2]上的最大值和最小值分别为M,N,则V+N=（）

A.-4B.0C.2D.4

【答案】A

【解析】令g(x)=〃x)+2=(ex+e-，卜inx,定义域为R,

因为在［-2,2］上的最大值和最小值分别为“，N,

所以g(%)在［-2,2］上的最大值和最小值分别为M+2,N+2,

因为g(—尤)=(尸+e*卜in(-x)=—(b+e*卜血=—g⑺，

所以g(x)为奇函数，g(x)的图象关于原点对称，

所以g(x)的最大值和最小值互为相反数，即Af+2+N+2=0,

所以M+N=T,

故选：A.

6.直线x=4与函数/(*)=1嗝尤(”1)，8(")=1叫”分别交于4,3两点，且|仙=3,则函数

2

Mx)=〃x)+g(x)的解析式为()

A.h^x)=-log2xB.h{^x)=-log4x

C./z(A：)=log2XD./?(x)=log4x

【答案】B

【解析】由题意可知，定义域为(0,+8),

函数”X)在定义域内单调递增，函数g(x)在定义域内单调递减,

贝，阴=log“4-logj4=log“4+2,

2

所以10gli4+2=3,

解得a=4,

所以=log4x+logy=log4x-log2%=log4x-210g4=-log4x

2

故选：B.

3

叫已2尤-3+4x,%2—,

3

7.已知函数/(x)=，3的图象关于直线1对称,贝U叫+利+g=(

2e3-2x+mx+叫,x<—

22

A.8B.10C.12D.14

【答案】B

2x

m1e+4x+6,>0,

【解析】依题意,g(无)=/2x°为偶函数,

2e-+m2x+^m2+m3,x<

3

2x

当x<0时，g[—x)=mleT—4x+6,g(尤)=2}"+相/十万相？+%

3

由g(-x)=g(x)可知叫=2,祖2=-4,-^=6,

解得町=2,m2=-4,^=12,所以叫+/+?=10.

故选：B

:"V?g(x)=x-3,方程f(g(x))=-3-g(x)有两个不同的根，分别是%,%,则

8.已知函数/(%)=

lnx,x>0,

玉+/=()

A.0B.3C.6D.9

【答案】B

【解析】由题意得：g(x)=x-3为R上的增函数,且g⑶=0,

当xV3时，g(x)V0,/(g(元))=ex、-3

当x>3时，g(x)>0,/(g(x))=ln(x-3),

方程/(g(尤))=-3-g(元)=-尤有两个不同的根等价于函数y=〃g(x))与y=T的图象有两个交点,

作出函数/(g(x))与尸-X的图象如下图所示:

由图可知〉=-3与y=ln(%—3)图象关于y=彳-3对称,

则A,8两点关于y=x-3对称，中点C在y=x-3图象上,

y=-x,3_3

由尸A3'解得：°2，-2

3

所以石+犬2=2X/=3.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

xa

9.函数/(x)=(aeR)的大致图象可能是()

【解析】由题意知1-5意o,则xw±l,当xe(0,l)时，l-|x|>0,尤">0，f(x)>0,

a

当xe(l,+co)时，l-|x|<0,x>0,/(x)<0,

所以的大致图象不可能为C,

而当a为其他值时，A,B,D均有可能出现，

不妨设a=；,定义域为[0,1)。,")，此时A选项符合要求；

当a=l时，定义域为{x|xw±l},且/(-x)=[J

I，1-1-XI1-IXI

X

故函数^为奇函数，所以B选项符合要求，

1一|九I

当a=2时，定义域为{x|xw±l},同==

r2

故函数/(x)=7^为偶函数，所以D选项符合要求.

l-|x|

故选：ABD

10.己知定义在R上的函数/⑺满足f(l+x)+/(l-x)=O,且/(%)不是常函数，则下列说法中正确的有(

A.若2为"X)的周期，则/⑺为奇函数

B.若/⑴为奇函数，则2为八元)的周期

C.若4为/(%)的周期，则/(盼为偶函数

D.若〃无)为偶函数，则4为“幻的周期

【答案】ABD

【解析】对于A：若2是了⑺的周期，则/(尤+2)=/(x),

由/(l+x)+/(l-尤)=0,p]-^/(2+x)=/(1+x+l)=-/(1-x-l)=-/(-%),

所以/(-尤)=-/(尤)，所以/CO为奇函数；故A正确；

对于B：若Ax)为奇函数，贝l]/(-x)=-/(x),

由/(l+x)+/(l-无)=0,/(2+x)=/(I+x+1)=-/(I-%-1)=-/(-%)=/(%),所以2是/(出)的周期，故

B正确；

若4是/（无）的周期，设/（x）=sin；Tx,贝I]/（1一力+/（1+尤）=sin（7i+7tx）+sin（7r-7tx）=。，

该函数的最小周期为2兀，故4兀为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确；

对于D：若Ax）为偶函数，则f（-x）=/（尤），

由"1一x)=f(x-l),可得Id)=-/(x+1),所以〃x)=-f(x+2),

所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以4是/⑺的周期，故D正确.

故选：ABD.

4x—x2尤>0

„二'其中⑹=〃c)=2，且a<b<c,则()

{3-1,x<0,

A./[/(-2)]=-32B.函数g（x）=〃x）-〃2）有2个零点

4+log31,4

C.a+b+ceD.abc^(^-41og35,0)

【答案】ACD

【解析】/[f（-2）]=/（8）=-32,故A正确;

作出函数〃x）的图象如图所示,

观察可知，0<4<4,而/（九）«0,4）,

故y=〃x），>=/（%）有3个交点，

即函数g（x）有3个零点，故B错误；

由对称性，b+c=4,而aw（log3；,0）

故a+b+ce(4+log3g,4］,故C正确；

b,c是方程x?-4x+/i=0的根，故6c=九，

令3-"-1=彳，则a=-k»g3(l+4),

故"0=-21083。+4),而y=X,y=log3(l+%)均为正数且在(0,4)上单调递增，

故必ce(~41og35,0),故D正确，

故选：ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若函数/(x)=ln(e2，-a)r(xwR)为偶函数，则。=.

【答案】-1

【解析】因为Ax)为偶函数，所以/(r)=/(x),即ln(ei*-a)+x=ln

即ln(l—ae?")—x=ln(e2'—a)—x,即1—ae"=6?，—a,所以a=—1,

故答案为：-1

13.已知函数〃x)=|lgx|,若/S)=/(b)(awb),则当2J3)取得最小值时，/=_____.

b

【答案】log?3

【解析】由/(。)=/修)得-lga=lg：=lgb,即而=1,令z=2J3〃，

贝!Unz=a.In2+b」n3N2jaJn2->ln3=2>/ln21n3

当且仅当a」n2=6-ln3,即:二曾句用?？时，Inz取得最小值，此时z也取得最小值.

bm2

故答案为：log?3.

14.已知奇函数〃x)的定义域为R,f(x+3)=-/(-%),且"2)=0,则“X)在［0,6］上的零点个数的最

小值为.

【答案】9

【解析】由小+3)=-/(-力，可得“X)的图象关于点［|,0)对称，

又〃x)是奇函数，所以〃X+3)=-"T)=/(X),

则〃x)的周期为3,所以〃0)=〃3)=〃6)=0,

〃5)=〃2)=0"(4)="1)=〃—2)=—〃2)=。，

而/(1.5)=/(-1.5)=-/(1.5),则/(1.5)="4.5)=0.

故〃x)在［0,6］上的零点个数的最小值为9.

故答案为：9.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

已知函数〃尤）=|尤2-无一?+|尤一2|.

⑴画出函数“X)的图象；

⑵求关于x的不等式外“(卜+4的解集.

【解析】(1)由％2_%_2=0,解得尤=2或%=—1,

当％22时，f(x)=X2-x-2+x-2=x2-4,

当一1v尤v2时，f(x)=-x2+x+2-x+2=4-x2,

22

当xW—1时，f(x)=x-x-2-x+2=x-2xf

x2-4,x>2

所以/(%)=<4-X2,-1<X<2,(5分)

-2%,x«-1

画出函数的图象如图所示.

（2）法一：当x22时，原不等式转化为尤2—44x+1,得24xW叶丹；

2

当—1〈无<2时，原不等式转化为4-X2VX+1,得士巫WX<2；（9分）

2

当xW-l时，原不等式转化为炉一2%4-尤-1，无解.

法二：当4-d=x+l时，解得±河,

1+

数形结合可知，当/(x)W|x+l|时，~^<X<11^L(12分)

-1+JnI+\/2?

即原不等式的解集为一.(13分)

16.(15分)

已知二次函数/(X)的最小值为-4,且关于X的不等式f(x)<0的解集为{X|-3<X<1,^GR}

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若函数g(无)与/⑺的图象关于y轴对称，且当尤>0时，g(X»的图象恒在直线丫=履-4的上方，求

实数％的取值范围.

【解析】(1)因为/⑺是二次函数，且关于x的不等式/(x)<0的解集为{x|-3Wx<l,xeR},

所以fM=a(x+3)(x-1),<7>0,

所以当％=—1时，/(x)向n=/(—1)=—4。=—4,所以〃=1,

故函数f(x)的解析式为/(x)=(x+3)(x-1)=X2+2X-3.(6分)

(2)因为函数g(x)与/⑺的图象关于y轴对称，

所以g(x)=/(-x)=x2-2x-3,

当尤>0时，g(x)的图象恒在直线,=丘-4的上方，

所以g(x)>依-4,在(0,+e)上恒成立，

即无？-2x—3>fcc-4,所以左〈尤+1一2,(9分)

X

令力(％)=%+,-2(%>0),贝IJ左<"(%)min，

因为/i(x)=x+』—222」%,一2=0(当且仅当x=L即％=1时，等号成立)，

X\XX

所以实数上的取值范围是(-8，。).(15分)

17.(15分)

正安县是中国白茶之乡.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100℃的水泡制，

待茶水温度降至60℃时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置

时间，每隔Imin测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：

时间/min012345

水温/℃1009182.978.3772.5367.27

设茶水温度从ioo℃经过皿M后温度变为现给出以1F三种函数模型：

①y=cx+b(c<0,x20)；

②y=ca*+Z?(c>0,0<a<l,xNO)；

③y=loga(尤+c)(a>l,c>0,x20).

（1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式;

⑵根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0。1）；

（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据:

lg3=0.477,lg5=0.699)

【解析】（1）由表格数据知:函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合,

ca0+b=100c+b=100a=0.9

选模型②，则S+b=91即＜ca+b=91,可得<b=l。,

ca2+b=82.9ca2+/?=82.9c=90

所以y=90x0.9'+10且xNO.（5分）

则x=量…4

(2)令y=90x0.9"+10=60,mhi

所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为5.54min.（12分）

（3）由0.9Z（0,l],即ye（10,100],所以进行实验时的室温约为10℃.（15分）

18.（17分）

已知函数y=O（x）的图象关于点尸（。力）成中心对称图形的充要条件是丫=双。+元）-6是奇函数，给定函

数/（元）=x一_

x+1

⑴求函数“X）图象的对称中心；

（2）判断了（X）在区间（0,+◎上的单调性（只写出结论即可）；

（3）已知函数g（x）的图象关于点（1,1）对称，且当xe[0,1]时，g（x）=f-7温+根.若对任意再e[0,2],总

存在々e[l,5],使得g（%）=f（X2），求实数m的取值范围.

【解析】(1)设函数4%)的图象的对称中心为33，贝！)/(〃+%)+/(〃—x)—2〃=o,

即(%+Q)---------F(—X+a)-----------2/7=0,

x+a+1—x+a+1

整理得(Q-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(Q+1),

,[a—b=O

可得八/i、2j1、_八，解得a=b=-L

底+1)—6(a+l)=0

所以“X)的对称中心为(-LT).(4分)

(2)函数/(尤)=尤-一、在(0,+8)上单调递增；

X+1

证明如下：

任取再，入2£(。,+8)且芯＜无2,

则/(芯)一/(占)=尤1-一色7—^^=(占一尤2)口+;_J-----］,

玉+1x2+1(3+l)(x2+1)

因为X］,%€(0,+8)且不<%2,可得%-尤2<。且1+；T—二T—17>°，

(X］+1)(%2+1)

所以/(%)-/(%)<0，即/(&)</(马)，

所以函数y(x)=x-一］在(0,+⑹上单调递增.(8分)

X+1

(3)由对任意芯e意,2］,总存在々w［1,5］,使得g(%)=/(%)，

可得函数g(x)的值域为值域的子集，

由(2)知“X)在［1,5］上单调递增，故“X)的值域为［-2,4］,

所以原问题转化为g(%)在［0,2］上的值域Ac［-2,4］,(9分)

m

当一40时，即根V0时，g(x)在。1］单调递增，

2

又由g⑴=1,即函数g(%)=/一枢x+也的图象恒过对称中心(1,1),

可知g(X)在(1,2］上亦单调递增,故g(可在［0,2］上单调递增，

又因为g(0)=m,g(2)=2-g(0)=2-zn,故A=［/,2-前，

因为即,2-司三［一2,4］,所以加2—2,2-m<4,解得一2W0,

当0<晟<1时，即0(机<2时，g(x)在(0与单调递减，在gl)单调递增,

(11分)

因为g(x)过对称中心(1,1),故g(x)在(1，2-§递增，在(2-5,2］单调递减，

故此时A=min|g(2),gWj,maxL(0),gf2-^l,

欲使A=[-2,4],

g⑵=2-g(0)=2-〃，2-2g(0)=m<4

只需＜mm2且＜尤-加+2W4'(13分)

＜?(»)=--—+m＞-2g(2-r)=2-

解不等式，可得2-2道4mW4,又因为0＜加＜2,此时0＜相＜2；

当时，即机22时，g(%)在[0』]递减，在(L2]上亦递减，

由对称性知g(%)在[。，2]上递减，所以A=[2-加,列],

f2—m2—2

因为[2-w]a[-2,4],所以〈,解得2W机W4,

[m＜4

综上可得：实数机的取值范围是-2,4].(17分)

19.(17分)

设〃次多项式月+%»+即+/(%NO),若其满足甘,(cosx)=cos依，则称这些多

项式Pn⑺为切比雪夫多项式.例如：由cos6=cos。可得切比雪夫多项式4。)=x,由cos26=2cos?6-1可

得切比雪夫多项式2