2024-2025学年沪教版八年级数学上册 二次根式 单元测试卷（解析版）

二次根式

班级姓名学号分数

考试范围：全章的内容；考试时间：90分钟；总分：100分

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

1.（23-24八年级上•上海杨浦・期中）的一个有理化因式是（）.

A.y/a-4bB.Ja+46C.&+D.y[a-2y/b.

【答案】A

【分析】根据有理化因式的定义即可解答；掌握两个根式相乘的积为有理数成为解题的关键.

【详解】解：:Ya-4bx4b=Q—4b,

7a-4b的一个有理化因式是Ja-4b.

故选A.

2.（23-24八年级上•上海松江•期中）若等式〃尹=（后『成立，则实数”的取值范围是（）

A.（z>0B.a>0C.a<QD.a<0

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解

题的关键.

【详解】解：•.•等式77=（夜『成立，

tz>0,

故选：B.

3.（23-24七年级下•上海浦东新•阶段练习）已知点仙，行）和点可-后6）关于x轴对称，则a+6的值是

（）

A.V2+V3B.V2-V3C.-V2-V3D.一夜+百

【答案】C

【分析】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标.根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐

标互为相反数，可得。、6的值，进而可得答案.

【详解】解一•点4,0）和点网-百,6）关于x轴对称,

a=—A/3，a=—y/2，

a+b=—y[2—y/3，

故选：C.

4.（23-24八年级上•上海徐汇•阶段练习）若77m=*，则x的取值范围是（）

A.x<0B.x>-4C.-4<x<0D.x<-4

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质.根据二次根式的被开方数是非负数,

二次根式的值是非负数，可得答案.

【详解】解：：A/X3+4x2=-XyJx+4；

•••x<0,x+4>0；

解得：-4<x<0；

故选：C.

5.（23-24七年级下•上海浦东新•期中）在引入无理数的时候，我们把两个边长都为1的正方形，剪拼成了

一个边长为力的正方形，类似的，若正方形/BCD的边长为2,/C长为。，则下列说法中正确的有（）

①“可以用数轴上的一个点来表示；

②3<a<4；

③a=2^2;

-a；

⑤。是有理数.

【答案】B

【分析】本题考查了无理数、实数与数轴、二次根式的性质、无理数的估算，根据题意得出/C=a=2后,

即可判断③；由2行为无理数，可以用数轴上的一个点来表示即可判断①⑤；估算出2<3即可判断

②，由二次根式的性质即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：；把两个边长都为1的正方形，剪拼成了一个边长为血的正方形,

•••边长为1的正方形的一条对角线的长为亚，

•••类似的，若正方形/BCD的边长为2,/C长为。，

:.AC=a=26,故③正确；

2行为无理数，可以用数轴上的一个点来表示，故①正确，⑤错误；

•••272=V8,V4<V8<V9,

.■.2<V8<3,即2<。<3,故②错误;

■：a=272>Q,«2用=2后，

-a>故④正确；

综上所述，正确的有①③④，共3个，

故选：B.

6.（2023九年级•北京・专题练习）如果加+加一行=o,那么代数式（竺4+1）+”的值是（）

mm

A.V2B.2V2C.V2+1D.V2+2

【答案】A

【分析】先进行分式化简，再把加2+根=正代入即可.

【详解】解：(口宇+1)m+1

mm3

2加+1+加2m+1

~m2-m3~

(m+1)2m3

=----------•-------

m2m+1

,-m2+m-y/2=0,

二原式=/，

故选：A.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.

二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）

7.（23-24八年级上•上海奉贤•期中）斤斤=

【答案】3

【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键.

由"=同即可作出求解.

【详解】解：必7=/3|=3,

故答案为：3.

8.（22-23九年级上•吉林长春・期末）若使代数式R有意义，贝口的取值范围是.

【答案】x<2

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式，根据被开方数大于等于零列出不等式即

可求解.

【详解】解：由题意得：2-xZO

解得：x<2

故答案为：x<2.

9.（23-24八年级上•上海徐汇•期中）2遥+30的有理化因式是.

【答案】2庭-3亚/-3夜+2"

【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含

有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答.

【详解】解：♦・・（26+3后）（2n-3夜）

=24—18

=6,

2逐+3收的有理化因式是2遥-38，

故答案为：2而-30.

10.（23-24八年级上•上海宝山•期中）若最简二次根式反两与后意是同类二次根式，贝匹=.

【答案】1

【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键.利用同类二

次根式的定义列出关于。的方程，解方程即可得出结论.

【详解】解：•.・最简二次根式屈。与7^金是同类二次根式，

**•2Q+5=8—q,

••ci—\f

故答案为：1

11.(23-24九年级上•河南新乡•阶段练习)如果〃+一6。+9=3成立,那么实数。的取值范围_______.

【答案】a43

a,a>0

【分析】根据二次根式的性质而〜。,。：。，即可求解.

-a,a<0

【详解】解：〃—6〃+9=3变形得，［(a-3)2=3—q,

-3<0,

•••tz<3,

故答案为：a<3.

【点睛】本题主要考查二次根式的性质，理解并掌握二次根式的性质是解题的关键.

12.(23-24七年级下•上海•阶段练习)计算：2V3+1V3-(V3)3=.

【答案】一叵/二6

22

【分析】此题主要考查了二次根式的运算，正确化简各数是解题关键.直接利用二次根式的性质化简，再

计算二次根式的加减得出答案.

【详解】解：2V3+1A/3-(V3)3

=2A/3+-V3-3V3

2

，技

2

故答案为：

13.(23-24八年级下•上海浦东新•阶段练习)如果代数式r与反的值相等，那么代数式—的值为_____.

2-x

【答案】1

【分析】本题二次根式的有意义的条件、求代数式的值，先根据代数式-X与历的值相等得出X=O,代入

计算即可得出答案，求出x=0是解此题的关键.

【详解】解：♦.•收有意义，

.•.3x20,43X>0,即XNO,

•.•代数式-x与岳的值相等，

-X>0,—X=-\/3x

解得：尤=0,

2+x2+0

---=-------=1,

2-x2-0

故答案为：1.

14.（23-24七年级下•上海•阶段练习）已知x+'=jm,那么苫-工=.

XX

【答案】+3

【分析】

直接利用完全平方公式得出—+与=11,进而得出x-工的值.

XX

此题主要考查了二次根式的化简求值以及完全平方公式的应用，正确应用完全平方公式是解题关键.

【详解】解：•.・x+L=W,

1

M7++2=13,

x

：.x2+-^=ll,

X

故答案为：±3.

15.（23-24八年级下•江西南昌•阶段练习）把（加-1），占中根号前的（加-1）移到根号内得到的结果

是.

【答案】

【分析】本题考查了二次根式的性质及二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简即可求解,

熟练掌握基础知识是解题的关键.

1

【详解】解：由题意得:>0,

l-m

得：1-w>0,

故答案为：m-

16.（2024•上海徐汇•三模）在实数范围内分解因式，x2/-3xy+l=.

【答案】

【分析】本题考查因式分解，二次根式的乘法，熟练掌握公式法进行因式分解是解决本题的关键.根据题

意，利用十字相乘因式分解.

【详解】解：x2y2-3xy+l

17.（23-24七年级下•上海徐汇•期中）如图，如果正方形8E尸G的面积为6,正方形/BCD的面积为正方形8EFG

的面积的2倍，则AGCE的面积是.

【答案】3拒-3/-3+3收

【分析】根据题意易得正方形/BCD的面积为12,则有BE=BG=a,BC=4ii=2C，然后可得

CE=2痘-瓜,进而问题可求解.

【详解】解：由题意得：正方形/BCD的面积为12,

.■.BE=BG=46,BC=Jn=2y/3,

:.CE=2△-瓜

SAGCE=；CE.BG=；x（2道-旬x6=3亚-3；

故答案为3拒-3.

【点睛】本题主要考查算术平方根的应用及实数的混合运算，熟练掌握正方形的面积公式及实数的运算是

解题的关键.

18.（22-23八年级上•上海虹口•阶段练习）已知。=J2。??'。?]则

x6一2V2021X5-x4+x3-2J2022/+2x-J2022的值为.

【答案]V2021

【分析】先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可.

1

【详解】解：…E由'

________J2022+J2021________

=72022+72021,

(J2022-J2021)(J2022+J2021)

•••x6-2J202L?-x4+x3-2J2022/+2x-J2022

=(J2022-J2021卜$-x4+x3-2y/2022/+2x-72022

=(J2022-V2021VV2022+J2021卜*-x4+x3-2V2022%2+2x-J2022

=x4-x4+x3-25/2022/+2x-J2022

=x，-2J2022—+2x-V2022

=x2(x-2J2022)+2x-72022

=X2(J2021-J2022)+2x-J2022

=x(j2021+j2022)(j2021-j2022)+2x-J2022

——x+2x-J2022

=x-12O22

=V2021

故答案为：V202T

【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是逐步把》=技正-屈i代入所求式子进行化简求

值.

三、解答题（本大题共7小题，共64分）

19.（23-24七年级下•上海•阶段练习）计算：+

【答案】3

【分析】此题主要考查了负整数指数幕的性质以及零指数幕的性质、二次根式的乘法、立方根的性质.先

根据负整数指数累的性质以及零指数累的性质、二次根式的乘法、立方根的性质化简，再合并，即可求解.

【详解】解：A/—64+V5xV20—f—j+（V2+1）

=-4+75x20-4+1

=-4+10-4+1

=3.

20.（23-24八年级上•上海青浦•期中）已知苫=3,/，

了=3+2行求"+xy+y2的值

【答案】35

【分析】本题考查了二次根式的化简求值和整式的混合运算，首先利用分母有理化求出x和y的值，然后求

出x+y=6,中=1,然后将/+孙+/利用完全平方公式变形为+然后代入求解即可.熟练掌

握完全平方公式是解题的关键.

〜.13+20,,cr-13-20、。A

【详解】•7-3_271一（3一2码（3+2码一'了一3+2五一（3+2后）（3一2码一'

x+y=3+2V2+3—2V2=6,xy=（3+2A/^）（3-2-72j=1,

..x2+xy+y?

=x2+2xy+y2-xy

=（尤+＞）2-孙

=62-1

=35.

21.(23-24七年级下•上海•期中)已知实数。满足|2006-a|+GW=a,求.-20062的值.

【答案】2007

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解法巧妙，先求出。的取值范围然后去掉绝对值号是解题的

关键，也是本题的突破口.根据被开方数大于等于0可以求出。22007,然后去掉绝对值号整理，再两边平

方整理即可得解.

【详解】解：根据题意得，a-2007>0,

解得a22007,

原式可化为：a-2006+Ja-2007=a,

即Ja-2007=2006,

两边平方得a-2007=20062，

•••a-20062=2007.

故答案为2007.

22.(23-24七年级下•山东临沂・期中)有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行

归类，下面是他们的探究过程.

(1)解题与归纳：

①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空.万=—；疔=—；后=—；—；

J(-3)2=-------;J(-6)2=-------；

②归纳：对于任意数。，有"=;

③小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空.(")2=—；(V9)2=—；(后)2=—；(V36)2=—；

(V49)2=;(VO)2=;

④归纳：对于任意非负数。，有(Gy=

(2)应用：根据他们归纳得出的结论，解答问题.

数6在数轴上的位置如图所示，化简：行-正-向分-(E)-

-1a0b1

【答案】(1)①2,5,6,0,3,6；②⑷；③4,9,25,36,49,0；@a

⑵a-3b

【分析】本题考查了数轴和二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质的正确和灵活运用；

(1)①根据要求直接计算即可；

②根据①的计算归纳即可；

③根据要求直接计算即可；

④根据③的计算归纳即可；

(2)先由数轴得，~0,b＞O,6＞。进而可得6-。＞0,。-分＜0,根据(1)的公式直接代入计算即可;

【详解】(1)①V?'=2；V?==6；A/O^=0；J(—3)2=|-3|=3；J(-6)2=I—6|=6,

故答案为：2,5,6,0,3,6；

②对于任意的数。，有77=同，

故答案为：

@(V4)2=4；(V9)2=9；(V25)2=25；(V36)2=36；(V49)2=49；(V0)2=0,

故答案为：4,9,25,36,49,0；

④对于任意非负数。，有(Os,

故答案为：a；

(2)由数轴得，Q〈0，6〉0，b＞a

:.b-a>0fa-b<0,

=问一。|_卜一4_伍_4)

——a—b+a—b—b

=a-3b

23.

验证

验证2

(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证.

(2)针对上述各式反映的规律，写出用〃("为任意的自然数，且〃》2)表示的等式，并给出证明.

1JX

【答案】验证见解析

5V24

1)二号H船+1，验证见解析

〃+2

【分析】本题主要考查了二次根式的性质.此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右

两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式.

(1)通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质必=研。20),把根号内的移到根号外;

验证：、1—1)

Vn〃+1n+2

+1)(〃+2)

1〃+1

〃+1n(n+2)

24.（23-24七年级下•上海嘉定•期中）阅读下列解题过程:

11x（丁-〃）非-8RJ7

一（6+〃）（6一"厂心『；

1一"）屈-亚一区后

太+逐一（直+同（逐一逐厂（网.6『7"■

请回答下列问题：

⑴观察上面的解题过程，请直接写出式子：I\=（"22）.

（2）利用上面所提供的解法，请化简：

11111

-----1--------1--------1--------1---1--------

V2+1V3+V2V4+V3V5+V4厢+付

（3）模仿上面所提供的解法，试一试化简：

111111

-----1------1-------1----------1----------1------

1+V5石+33+V13VT3+V17V17+V2TVH+5'

【答案】⑴J〃+l-6

⑵旧-1

（3）1

【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算：

（1）仿照题意进行分母有理化即可；

（2）根据（1）所求裂项，然后根据二次根式的加减计算法则求解即可;

,据此裂项求解即可.

（3）先分母有理化得到^_."+>"”3

【详解】（1）解：//,

7n+7n+l

[y[n+++1-y/n^

n+\-n

=y/n+l~4n，

故答案为：4n+l-yjn;

11111

(2)解:---------1-------------1--------1--------1-----1-------------

V2+1V3+V2V4+73V5+V4而+囱

=yj?.—1+V3—V2+A/4--\/3H-----Fy/10—V9

=710-1;

(3)解：/，J/，，

74n-3+y/4n+1

_-4.+1—-4〃一3

(—4〃-3+—4几+1)(—4〃+1-yj^n-3)

N4n+1--3

4〃+1—4〃+3

_j4v+l-j4v-3

=----------------，

4

]]]]]]

**1+V5V5+33+V13VB+V17Vn+V21V21+5

V5-13-V5V13-3V17-VBVH-V175-V21

=-----1------1-------1----------1----------1-------

444444

V5-13-V5V13-3V17-VBV21-V175-VH

=-----1-------1-------1----------1----------1-------

444444

5-1

一丁

=1.

25.(23-24八年级上•上海闵行•阶段练习)阅读材料：数学上有一种根号内又