2024-2025学年高中数学选择性必修第一册 第一章过关检测（A卷）

第一章过关检测(A卷)

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知直线/在平面a外,若直线I的方向向量为a,平面a的法向量为n,则下列

选项能使l//a的是()

A.a=(l,0,l),n=(-2,0,0)

B.a=(l,3,5),n=(l,0,l)

C.a=(0,2,l),n=(-l,0,-l)

D.a=(l,-l,3),n=(0,3,l)

答案:D

解析:若则a-n=0,故选D.

2.在三棱锥A-BCD中，若△BCD为正三角形，且E为其中心，则同+-|丽-

而等于()

A.ABB.2BD

C.OD.2DE

答案:C

解析:连接DE并延长，交3c于点网图略),则由题意可知下为3c的中

点、,DE,DF,故漏+-BC--~DE-AD^AB+~BF+-ED+~DA^AB+~BF+

3222

ED+Ol=0.

3.已知向量a=(l,l,0),b=(-l,0,-2),且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是()

1

A.lB.-

5

37

C.-D.-

55

答案:D

解析:因为a=(l,l,0),b=(-l,0,-2),所以上a+b=(hl,匕-2),2a-b=(3,2,2).

又左a+b与2a-b互相垂直，所以(左a+b>(2a-b)=0,即3左-3+2左-4=0,解得左=(

4.已知空间中三点4(0』,0),3(1,2,0),C(-l,3,1),则下列结论正确的是()

A.南与尼是共线向量

B.与荏方向相同的单位向量是(1,1,0)

C.同与阮夹角的余弦值是经

D.平面ABC的一个法向量是(1,-1,3)

答案:D

解析:对于A因为40,1,0),8(1,2,0),C(-l,3,1),所以荏=(1,1,0),前=(-1,2,1),假设存

在iWR,使得荏=丸照，则(1,1,0)=〃-1,2,1)=(乩2口)，显然7不存在，故而与正不

是共线向量，故A错误；

对于B,因为荏=(1,1,0),所以与荏方向相同的单位向量为凄=看,■0),故B错误;

\AD\NN

对于C,因为通=(1,1,0),前=(-2,1,1),

所以cos<MBC>=fg=鬲冷=£故C错误；

对于D,设n=(x,y,z)是平面ABC的法向量，则｛：H：:‘即以IU'z=0,

令x=l,则y=-l,z=3,故n=(l,-l,3)为平面ABC的一个法向量，故D正确，故选D.

5.如图，在三棱锥A-3CD中,AB=AC=AD=2,NB4D=90°,NR4c=60。，则同•而

等于()

A

e4^D

c

A.-2B.2

C.-2V3D.2V3

答案:A

解析:由题意可知，同•而=AB-(AD-AC)=AB-AD-AB-ZC=|AB||^4D|cos

90°-\AB\\AC\•cos60°=-2.

6.已知两个平行平面a/分别经过原点0和点A(2,l,l),且平面a的一个法向量为

n=(-l,0,l),则这两个平行平面之间的距离为()

A-lB.苧

C.V3D.3V2

答案:B

解析油题意可知,两个平行平面a步之间的距离即为点A到平面a的距离.因为

近=(2,1,1),平面a的一个法向量n=(-l,0,1),所以点A到平面a的距离为誓=

|九|

:即两个平行平面之间的距离为冬

7.在矩形ABCD中,平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所

成的角为()

A.30°B.45°C.60°D.1200

答案:A

解析:如图，以A为原点,ABARAP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直

角坐标系，

则P(0,0,l),C(l,V2,0),&PC=(l,V2,-l),

平面ABCD的一个法向量为n=(O,O,l),

所以cos<PCii>=^f71

;\PC\\n\2

设PC与平面A3CD所成的角为仇则sin6=|cos<PC,n>|甘，故6=30°.

8.在长方体ABCD-ALBCLDI中,E是331的中点，瓦了=7瓦瓦，且ER〃平面ACDi,

则实数7的值为()

11

A.-B.-

54

C.-D.-

32

答案:B

解析:以。为原点,分别以D4,DC,DDi的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空

间直角坐标系(如图所示).

设DA=a,DC=b,DDi=c,A(afi,0),C(0,b,0),Di(0,0,c),E(^a,b,^,Bi(a,b,c),

所以AC=(-a,0,0),2£)i=(-。,0,。),_8101=(-。,-80),因为所以BiF=(Jzz,-

私0),所以"(1J)a,(lJ)",c),所以方=(-如,-私设平面ACDi的法向量为

n=-CLX+bv=0

,'当x=bc时,y=ac,z=a8贝In=(bc,ac,ab),

-n--ax+cz—0,

因为ER〃平面eACZh,所以而_Ln,即EF-n=JabcJabc+亭=0,解得2=亍,故选B.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项

符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在棱长为1的正方体ABCD-AIiCiDi中，下列结论正确的是()

A.AB=-C1D1B.瓦瓦是共面向量

C.砺・B]Di=0D.AC^-AD=2

答案:ABC

解析:由图形知，因为荏=-而，而=?7瓦，所以荏=-m7,故A正确;因为中7=

通+瓦瓦,由共面向量充要条件知函，瓦瓦,砧7是共面向量，故B正确;因为A41

，平面ALBICLDI,所以AA」3LDI,所以跖•百瓦=0,故C正确;石•而=(通+

AD+京)•而=|而『=1,故D错■误.故选ABC.

10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,如下四个结论正确的是

()

A.AC±BD

B.AACD为等边三角形

C.AB与平面BCD所成的角为60°

D.AB与CD所成的角为60°

答案:ABD

解析:如图，取3。的中点。，以O为原点,。。,。4,。。所在直线分别为》轴、y轴、

z轴，建立空间直角坐标系.

不妨设正方形ABCD的边长为/，则D(l,0,0),3(-l,0,0),C(0,0,l),A(0,l,0),所以

m=(0,-1,1),丽=(2,0,0),所以就•丽=0,即ACL3。,故A中结论正确.

因为|尼|=/,I而\=V2,\AD|=V2,

所以△ACD为等边三角形，故B中结论正确.

设A3与平面BCD所成的角为仇

因为刀为平面BCD的一个法向量，

所以sin0=\cos<AB,OA>\=^-,

所以。=45°，即A3与平面BCD所成的角为45°,故C中结论错误.

因为cos<AB,CD>=，c£=.l

\AB\\CD\2'

所以<同，而>=120°,

所以A3与CD所成的角为60°,故D中结论正确.

11.正方体A3CD-A向GD1的棱长为2,E,F,G分别为BC,CCi,BBi的中点，则()

A.直线DiD与直线AF垂直

B.直线AiG与平面AEF平行

C.平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为日

D.点C与点G到平面AEF的距离相等

答案:BC

解析:以。为原点,D4,DC,DDi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐

标系(图略)，则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,2,0)尸(0,2,1),Di(0,0,2)5Al(2,0,2),G(2,2,1),

对于选项人,西=(0,0,2),标=(-2,2,1),因为西-荏=2加,所以直线DiD与直线

AR不垂直，故A不正确；

对于选项B,荏=(-1,2,0),丽=(-1,0,1),设平面AER的法向量为n=(x,y,z),则

n•族=0,n・而=0,即卜":2'：°，取尸2,则y=l,z=2,于是n=(2,l,2)是平面AEF的

一个法向量.

41二(0,2,-1),因为n•中=2-2=0,即1，又A1GU平面AER所以直线A1G与

平面/平行，故B正确；

对于选项C,由已知得,u=(0,0,1)是平面ABC。的一个法向量，因为cos<n,u>=/所

以平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为|,故C正确；

对于选项D,而=(1,0,0),点C到平面AER的距离为等=三,需=(-1,0,-1),点G到

平面AER的距离为学=±,故D不正确.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.如图，在四面体OABC中，函=a,OB=b,而=c,D为3C的中点乃为AD的中点,

用a,b,c表示0瓦贝UDE=.

答案右

244

解析:'：D为3c的中点,E为AD的中点，

：.0E=-0A+-~0D^-0A+-OB+-~0C=-a+-b+-c.

22244244

13.如图，在正方体ABCD-AiBCDi中,M,N分别为CD,CCi的中点，则异面直线

与DN所成的角的大小为.

答案：90。

解析:如图，以。为原点,D4,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间

直角坐标系.

不妨设正方体的棱长为1,则D(O,O,O),MO,1,1),M(O,|,O)41(1,0,1),

->1----»1

・的=(0,1,卅&=(1，51),

：.DN-MAi=0--+-=Q,

122

.•.丽1MA1,

与DN所成角的大小为90°.

14.如图，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，若331=7^钻=2/,则点C到直线ABi的距

离为.

安

解析:取AC的中点。，建立空间直角坐标系，如图所示.

则A(0,-l,0),51(73,0,272)^(0,1,0),

所以初=(V3,1,2V2),C2=(0,-2,0).

直线AB的一个单位方向向量s=G，f,峪

所以点C到直线ABi的距离4/=J|CA|2-|CA-S|2=J(-2)2(,j=等.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(15分)如图所示,在平行六面体A3CD-A1BC1D1中,E,R分别在BiB和DiD上,

且BE=-BB^DF=-DDi.

44

(1)证明A,瓦G尸四点共面;

(2)若EF=xAB+y力。+2/41，求％+y+z的值.

⑴证明:连接ACi(图略),在平行六面体ABCD-AiBiCiDi中,BE=LBBI,DF=MDDI,

44

------->----->----->------->----->----->-1------->o------->/----->-1------->\/----->

•力=AB+AD+AA-y=AB+AD+—力力1+—AA^=yAB+—BB1)+(力。+

^DD^^=AB+BE+AD+DFAE+AF,

：.AC1,标,族共面，且A为公共点,A,E,Ci尸四点共面.

(2)解:'：AF^AD+DF^AD+|西=AD+?再，

----->----->----->----->1------->----->1------->

力E=+BE=力B+-BB1=AB+-AA19

.*•EF—AF-AE=^AD+—+124al)=-4B+AD+—AA1.

EF=xAB+yAD+zAA1,

.*.x=-l,y=l,z=|,x+y+z=|.

16.(15分)已知边长为4的正三角形ABC中,E,R分别为3c和AC的中点,P4=2,

且平面ABC,设Q是CE的中点.

⑴求证:AE〃平面PFQ-

⑵求AE到平面PFQ的距离.

⑴证明:如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系.

因为AP=2AB=BC=AC=4,5LE,F分别是3GAe的中点,。是CE的中点,

所以A(0,0,0),3(26,2,0),C(0,4,0)产(0,2,0),E(g,3,0),Q(乎，,0)/(0,0,2).

因为而=(今|,0),荏=(8,3,0),

所以荏=2所,所以荏||而，

又AE与FQ无交点，所以AE〃歹。

又FQu平面PRQ,AEC平面PFQ,

所以AE〃平面PFQ.

(2)解:连接A。因为AE〃平面PFQ,所以点A到平面PFQ的距离就是AE到平面

PFQ的距离.设平面PFQ的法向量为11=(%>/),所以11，丙,11，所,即

n-PF=O,n-FQ=O.又丙=(0,2,-2),所以n•而=2y-2z=0,即y=z.

又而=(今右0),所以n.而=*+》=0,即x=-V3y.

令y=l,贝Ux=-K,z=l,所以平面PFQ的一■个法向量为n=(-V3,l,l).

又训=(-3二,0),所以所求距离4=四=—.

22\n\5

17.(15分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB〃DC,ND43

=90°,24,底面A3CD,且PA=AD=DC=\^B=2,M是PB的中点.

⑴求证:平面PAD,平面PCD;

⑵求AC与PB的夹角的余弦值；

(3)求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值.

⑴证明:如图，以A为原点,ADAB5Ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间

直角坐标系，

则A(0,0,0)1(0,2,0),C(l,1,0),£>(1,0,0),P(0,0,1),

,?AP=(0,0,1),^40=(1,0,0),反=(0,1,0),

.,.族•虎=0,而•反=0,...4尸，。。,4。，。。.又4尸八4。=4,，。。，平面PAD.

又DCu平面PCD,：.平面PAD，平面PCD.

(2)解:•.•亚=(1,1,0),丽=(0,2,-1),

/.\AC|=V2,|PB|=V5,AC-~PB=2,

cos<AC,-PB>=；竺篇——.

\AC\\PB\5

：.AC与PB的夹角的余弦值为解.

(3)解:设平面AMC的法向量为ni=(x,y,z),

----->------»1

VT1C=(1,1,0)4M=(0,1,|),

.加武=0「+、=0，

''[n^AM=0,(7+*0.

令x=l恻y=-l,z=2.

.•.ni=(1,-1,2)为平面AMC的一个法向量.

同理,n2=(l,1,2)为平面3MC的一个法向量.

W1W2

设平面AMC与平面BMC的夹角为仇则cos0=|cos<ni,n2>|=I1,1=

%帆13

故平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值为(

18.(16分)如图，在四棱锥P-ABCD中

⑵若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为日,求平面PAC与平面PCD的夹角

的余弦值.

解:•平面P43,平面A3CD,平面P43n平面A3CD=A3,A3，P4,P4u平面PAB,

...PA，平面ABCD

又AB±AD,：.AB,AD,AP两两互相垂直.

以A为原点,A3ARAP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示.

不妨设3C=45Ap=丸(丸＞0),则A(0,0,0),D(0,2,0),E(2,l,0),C(2,4,0),P(0,0,A).

⑴证明:•尼=(2,4,0),9=(0,0,2),丽=(2,-1,0),...反•ZC=4-4+0=0,5E-AP=0.

：.DE±AC,DE±AP.

又ACHAP=A,：.DEL平面PAC.

又DEu平面PED,...平面PED,平面PAC.

(2)由(1)知，平面PAC的一个法向量为屁=(2,-1,0),或=(2,1,J).

设直线PE与平面PAC所成的角为a

则singeos〈两方>|=|高』|=今

解得A=±2.

•二>0,；"=2,即尸(0,0,2).

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n-DC=0,nDP=0.

•.玩=(2,2,0),而=(0,一2,2),

.(2x+2y-0,.cy--x,

*l-2y+2z=O/H