2025年高考数学一轮复习：函数的概念及其表示（十六大题型）（讲义）（解析版）

第01讲函数的概念及其表示

目录

01考情透视•目标导航...........................................................................2

02知识导图•思维引航...........................................................................3

03考点突破•题型探究...........................................................................4

知识点1：函数的概念...........................................................................4

知识点2：函数的三要素.........................................................................4

知识点3：函数的表示法.........................................................................5

知识点4：分段函数.............................................................................5

解题方法总结...................................................................................6

题型一：函数的概念.............................................................................7

题型二：同一函数的判断........................................................................9

题型三：给出函数解析式求解定义域.............................................................12

题型四：抽象函数定义域.......................................................................13

题型五：函数定义域的综合应用.................................................................15

题型六：待定系数法求解析式...................................................................17

题型七：换元法求解析式.......................................................................19

题型八：方程组消元法求解析式.................................................................21

题型九：赋值法求解析式.......................................................................23

题型十：求值域的7个基本方法.................................................................26

题型十一：数形结合求值域.....................................................................32

题型十二：值域与求参问题.....................................................................36

题型十三：判别式法求值域.....................................................................39

题型十四：三角换元法求值域...................................................................42

题型十五：分段函数求值、求参数问题...........................................................44

题型十六：分段函数与方程、不等式.............................................................46

04真题练习•命题洞见..........................................................................47

05课本典例•高考素材..........................................................................48

06易错分析•答题模板..........................................................................50

易错点：错求抽象函数的定义面.................................................................50

答题模板：求抽象函数的定义域.................................................................50

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

(1)了解函数的含义，会

求简单函数的定义域和值域.2023年北京卷第15题，5

高考对函数的概念及其表示的考查相对

(2)在实际情景中，会根分

稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化

据不同的需要选择恰当的方法2022年浙江卷第14题，5

不大.高考对本节的考查不会有大的变化，

(如图象法、列表法、解析法)分

仍将以分段函数、定义域、值域及最值为

表示函数.2021年浙江卷第12题，5

主，综合考查不等式与函数的性质.

(3)了解简单的分段函分

数，并会简单的应用.

复习目标:

1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素

2、会求常见函数的定义域和值域

3、掌握求函数解析式的方法

匐2

〃二知识导图•思维引航\\

一般地，给定非空数集4民按照某个对应法则/,使得/中任意元素H

函数的概念）都有B中唯一确定的了与之对应，那么从集合4到集合E的这个对应,

-----------/\叫做从集合4到集合E的一个函数.

函数的三要素：定义域、对应关系、值域

如果两介函数的定义域相同，并且对应关系完全

一致，则这两个函数为同一个函数

函数的概念及其表示

函期猴

k列表法）

蜘若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几

万欣因敬个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数

者占突曲・题理探密

知识固本

知识点1:函数的概念

(1)■般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f,使得A中任意元素「都有月中唯

确定的y与之对应，那么从集合A到集合6的这个对应，叫做从集合A到集合6的一个函数.记作:

xfy=/(x),XGA.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合｛用="*),xeA｝叫做值域，记为C.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

【诊断自测】下列图象中，y不是尤的函数的是()

【解析】任作一条垂直于x轴的直线x=a,移动直线，

根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，

结合选项可知D不满足要求，因此D中图象不表示函数关系.

故选：D.

知识点2：函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数.

【诊断自测】下列四组函数：①〃x)=x,g(x)="；②/(x)=x,g(x)=(^)3；③

=2x+l,g(r)=产一2/+1；④/(x)=l,g(x)=x°；其中表示同一函数的是()

A.②④B.②③C.①③D.③④

【答案】B

【解析】①〃x)=x,g(x)=G=|x|,两个函数对应法则不一样，不是同一函数；

②〃x)=x,g(x)=(网3=x,两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；

@/(x)=x2-2x+l,g(r)=r2-2f+l,两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；

@/(x)=l(xGR),g(x)=x°(x^O),两个函数定义域不一样，不是同一函数.

故选：B.

知识点3：函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

1_?

【诊断自测】己知函数则〃力=()

A.厂:〒一1(无力°)B.((尤力1)

(1)(1)

44

C.7一kT(x#°)D.7~花一1仁1)

(1)(1)

【答案】B

【解析】令1=1一%,贝!Jx=lT,由于xwO,贝ij/wl,

可得

(J)」

所以“司二厂三-1(x^1)

(1)

故选：B.

知识点4：分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分

段函数.

【诊断自测】（2024•吉林•模拟预测）已知〃x）=«若"。）=1,则实数。的值为（）

——,x>1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

【答案】B

fl1

【解析】当a<1时，f（«）=2-=l,则a-1=0,解得：a=l（舍去）；

当。21时，f（a）=^~=1,则=2,解得：a=4.

故选：B.

解题方法总结

1、基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幕或负指数次幕的底数不为零；

（5）三角函数中的正切y=tanx的定义域是且+；

（6）已知了⑺的定义域求解/[g（x）]的定义域，或已知/[g（初的定义域求“尤）的定义域，遵循

两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则J下，括号内式子的范围相同；

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

2、基本初等函数的值域

（1）>=履+6（左W0）的值域是R.

（2）y=4+fov+c（"0）的值域是：当a>0时，值域为人｝；当a<0时，值域为

4ac-b2

{y\y^

4a

k

(3)y=[(Z*O)的值域是{y|ywO}.

(4)y="(a>0且的值域是(0,+oo).

(5)y=log。x(a>0且aw1)的值域是R.

题型洞察

题型一：函数的概念

【典例1-13下列对应是从集合A到集合B的函数的是（）

A.A=N,5=N,/=JB.A=N,5=N,/:xfy=±五

C.A=N,B=Q,f:x^y=D.A=R,5={y|y>0},/:xfy=|乂

【答案】A

【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x,集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；

对于B选项，尤=4时，y=±2,有两个y与之对应，不是函数；

对于C选项，当尤=1时，>不存在，不是函数；

对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.

故选：A

【典例1-2】已知/（x）是定义在有限实数集A上的函数，且le4,若函数/（x）的图象绕原点逆时针

旋转30后与原图象重合，则/。）的值不可能是（）

A.0B.且C.3D.73

32

【答案】C

7T

【解析】由题意得到，问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转;个单位后与下一个点会

重合，

我们可以通过代入和赋值的方法，

当〃1）=相,¥，0时，此时得到的圆心角为三,右0,然而此时x=0或者X=1时，都有2个y与之对应，

而我们知道函数的定义就是要求一个尤只能对应一个y,

因此只有当x=3时旋转y,此时满足一个x只会对应一个儿

26

故选.：C.

【方法技巧】

利用函数概念判断：（1）A,B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个

元素与之对应，即“多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素.

【变式1-1]（2024•高三•上海虹口•期中）若函数y=/（x）的图像绕原点逆时针旋转!■后与原图像

重合，则在以下各项中，y=/（x）的定义域不可能是（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

C.[-7t,it]D.R

【答案】B

【解析】对于函数y=图象上任一点（。力）逆时针旋转3可得（-瓦。），

即（-瓦。）也在函数>=〃彳）图象上，

所以（4,。）,（-仇4）,（-4,-方）0-4）均在函数丫=/（力图象上，都在定义域内，

从而结合函数定义有/（0）=0,当时，有/'（a）wa"（a）w—a"（a）NO

若定义域为{TQ1},则/⑴"（-1）不存在满足题意的对应值，故B错误；

故选：B.

【变式1-2]将函数y=gsinx+dxe的图象绕着原点沿逆时针方向旋转d角得到曲线「，已知

曲线「始终保持为函数图象，则tan。的最大值为（）

123

A.4B.-C.1D.-

232

【答案】B

113

【解析】由题设y'=]cosx+l,在原点处的切线斜率左=沟1=耳8$0+1=5，

3n3

所以切线方程为y=QX,设切线倾斜角为&e[0,2，贝Utana=；,

当y=；sinx+x绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，

TTTT

则6+aV；,故。v]一a,显然，为锐角，

（jr、CCSry19o

所以tandWtan彳-a==一=——=-,故tan9的最大值为1

<2）smatan6Z33

故选：B

【变式1-3]存在定义域为R的函数/（x）,满足对任意xeR,使得下列等式成立的是（）

A.尤2）=丁B/（cosx）=x

C./（x2+x）=|x|D./（N）=f+1

【答案】D

3

【解析】对于A,因为V=。(。＞0)有两个不相等的根而和-所以当X=6时，〃4)=/；

_3

当X=_«,/(〃)=_二，与函数的定义不符，故A不成立；

对于B,令x=0,则f(cosO)=/(l)=。，令X=2兀，则/(cos27i)=/(l)=27T,与函数定义不符，故B不

成立；

对于C,令x=0,则〃0)=0,令产-1,则〃0)=卜[=1,与函数定义不符，故C不成立；

对于D,/(|x|)=x2+l=|x|2+l,VxeR,唯一确定，符合函数定义.故D成立，

故选：D.

题型二：同一函数的判断

【典例2-1】下列各组函数相等的是()

A.f(x)=x2,g(x)=(«『B.f(x)=x-l,g(x)=?-l

C.〃x)=l,g(x)=x°/(x)=W，g(无)=，：]；

【答案】D

【解析】对于A中，函数“耳=f的定义域为R,83=(«了的定义域为[0,+8),

所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；

对于B中，函数/(x)=xT的定义域为R,g(x)=；-l的定义域为｛xlxwO｝,

所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；

对于C中，函数/("=1的定义域为R,与g(无)=》°=1的定义域为团门。｝,

所以定义域不同，所以不是相同的函数，故C错误；

对于D中，函数〃元)=国=[**一与g(x)=[x,"一°门的定义域均为R，

可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数，故D正确；

故选：D.

【典例2-2](多选题)下列各项不能表示同一个函数的是()

„2,—

A./(%)=----与g(x)=x+lB.=与g(x)=xT

X-1

C)('户严^与g(x)=JP'D-〃x)=l与g(x)=xj

yi—rv1—XA

【答案】ABD

【解析】对于A:7(x)定义域为(力,1)口(1,包)，g(x)定义域为R,A不能表示同一个函数,A选项正确;

对于B:/(x)=N-l与g(x)=x-1解析式不同，B不能表示同一个函数，B选项正确；

对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；

对于D:7(x)定义域为R,g(x)定义域为(F,O)"O,y),D不能表示同一个函数，D选项正确；

故选:ABD.

【方法技巧】

当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数.

【变式2-1](多选题)下列各组函数表示的是不同函数的是()

A.f(x)=/右与g(x)=x-W玄

B./(尤)=N与g(x)=G'

C./(x)=x+l^g(x)=x+x°

D.f(x)=«.Jx+1与g(x)=5+x

【答案】ACD

【解析】A.F(x)=的定义域为｛x|xWO｝,且/(x)=缶，g(尤)=的定义域为

｛x|x40｝,解析式不同，所以不是同一函数，故错误；

B./(x)=W的定义域为R,8(幻=47=国定义域为口，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；

C.〃x)=x+l的定义域为R,g(x)=x+x°的定义域为声1中。｝,所以不是同一函数，故错误；

fx>0f—,-----、

D.,由《尤+]>0得xNO,所以/(x)=«•而I的定(义域为｛xlx'O｝,由炉+尤20,得无20或xV—1,

所以函数的定义域为｛x|x»0或xWT｝，所以不是同一函数，故错误；

故选：ACD

【变式2-2]以下四组函数中，表示同一个函数的是()

A./⑺—与8⑺二万

B./(X)=J1+X-y/1-X与g(x)=71-X2

C.y=x°^y=l

D./(x)=Jx+1-sjx-l与g(x)=7x2-1

【答案】B

【解析】从定义域，对应关系，值域是否相同，逐项判断即可.

对于A：/a)的值域为R,8(6的值域为[0,+8),所以A错误；

对于B：〃元)的定义域需满足b—x]。，即为[-1』，

g(x)的定义域满足1一，NO,即为『1』，且&=9，

所以“X)和g(x)是同一个函数，B正确；

对于C：丫=*°的定义域为(-^,0)1；(0,y),y=l的定义域为R,所以C错误；

/\fx+1>0「、

对于D：“X)的定义域满足彳_]>0,即为[1,+8),

g(x)的定义域需满足炉-120,即为所以D错误，

故选：B

【变式2-3](多选题)(2024•高三•浙江金华•期末)已知函数g(x)=/(e)/7(x)=e/叫

A.若〃x)=0,贝l]g(x)=/z(x)=。

B.若则g(x)=/z(x)

C.对于g(x)=/z(x),若/(x)=x",则(z=l

D.对于g(x)=/z(x),若/(x)=log“x(a>0,aHl),贝lja=e

【答案】CD

/w

【解析】对A：若/⑺=0,则g(x)"(e，"0,/z(x)=e=e°=l,故A错误；

对B：若/(x)=|x|,则83=/(1)=卜]=1,h(x)=e/(x)=e|x|,

g(x)x/z(x),故B错误；

对C：若〃x)=x",则g(x)=/(e，)=(e")"=e"。h(x)=^,

又g(x)=/z(x)，故ea*=e'‘，故ax=x",即lnar+lnx=tzlnx,

即(a—l)lnx=lna恒成立，故tz=l,故C正确；

对D：f(x)=logfl>0,o1),贝！Jg(x)=/(ex)=k>g“e'=;dogae,

/z(x)=e/W=e108»\又g(x)=/z(x),故xlog”=恒成立，

即===eMa=(elnx)lna=x'na,故lnx+ln]—!—]=—!—Jnx,

'7(InaJIna

即----1|-lnx=ln|--[恒成立，故」一=1,即〃=匕，故D正确.

[Ina)\\na)ln〃

故选：CD.

题型三：给出函数解析式求解定义域

【典例3-1]（2024•北京通州•二模）已知函数〃x）=£+lg（x_2）的定义域为

【答案】{布>2}

【解析】根据题意可得[，上：八,解得x>2

1%—2〉0

故定义域为{小>2}.

故答案为：[x\x>2]

【典例3-2】已知等腰三角形的周长为40cm,底边长y（cm）是腰长x（由）的函数，则函数的定义域为（

A.（10,20）B.（0,10）C.(5,10)D.[5,10)

【答案】A

【解析】由题设有y=40-2x,

40-2%>0

由得10<x<20,故选A.

元+x>40—2%

【方法技巧】

对求函数定义域问题的思路是：

（1）先列出使式子/（X）有意义的不等式或不等式组；

（2）解不等式组；

（3）将解集写成集合或区间的形式.

【变式3-1】函数/（x）=ln（x+l）+7T7的定义域是.

【答案】（-1』

/、fx+1>0

【解析】由"X）的解析式可得1_x>0

解得—IvxVl；

所以其定义域为（-U].

故答案为：（-1』

【变式3-2]（2024•北京怀柔•模拟预测）函数/（犬）=坨上三的定义域是

【答案】(一8,-g),(0,+8)

【解析】函数y(x)=lg—1_i_7上r有意义,则一1-co-r>0«x(2x+l)>0,解得x<-=1或x>0,

xx2

所以函数/(司=坨产的定义域是(-00,-g)(0,+oo).

故答案为：(-0,-二)11(0,+8)

2

【变式3-31(2024•北京平谷•模拟预测)函数“无)=W+ln(l-x)的定义域是

【答案】(­，-2).(-2,1)

【解析】函数仆)=」+ln(i)有意义的条件是尸？二：,解得了<1且…，

x+2II—x〉U

所以函数/(X)定义域为(-2)5-2,1).

故答案为：(F,-2)U(-2,1).

题型四：抽象函数定义域

【典例4-1】已知函数，=/点五+1］的定义域是［2,4］,则函数g(x)=言/(的x)定义域为(

A.（2,3）B.（2,3]

C.（2,3）（3,6]D.（2,3）（3,4]

【答案】A

卜+1］的定义域是［2,4］

【解析】因为函数y=/，所以2<x44,

所以24；尤+143,所以函数“X)的定义域为［2,3］,

2<x<3

所以要使函数才(、)=舟看有意义，则有

x—2>0,解得2<x<3,

x—2w1

所以函数g(x)=|的定义域为(2,3).

In(%—ZI

故选：A.

2

【典例4-2］已知/⑴的定义域为工引，则g。)=/产=)的定义域为()

2x-3

1口3受

A.B.

2,4

3535

C.D.

2?32?3

【答案】A

【解析】因为“X）定义域为［1,3］,所以/（3X-2）的定义域为1<3X-2W3,解得IVxg,

335

由分母不为0,得2x-3#0,即=,所以函数定义域为：

21扑253,

故选：A.

【方法技巧】

1、抽象函数的定义域求法：（1）若/（尤）的定义域为（。，与，求/Ig（x）］中q<g（x）<6的解x的范围，

即为〃g（x）］的定义域.（2）已知〃g（x）］的定义域，求/（X）的定义域，则用换元法求解.

2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先

求出各个函数的定义域，再取交集.

【变式4-1］（2024•高三•河北邢台•期末）若函数/（3尤-2）的定义域为［-2,3］,则函数f（2x+3）的

定义域为.

【答案】一:，2

【解析】因为-24x43,所以—8<3x—2V7,所以/⑺的定义域为［-8,7］,

要使/（2尤+3）有意义，需满足—8V2X+3W7,解得一甘4苫42,

所以函数/（2x+3）的定义域为《,2.

故答案为：-与2.

【变式4-2】己知函数的定义域为（1,2）,求〃2x+l）的定义域.

【答案】［。，|］

【解析】•••/（f）的定义域为（1,2）,即l<x<2,

1<x2<4,

故需l<2x+l<4,

0<x<一.

2

・・・/（2x+l）的定义域为

故答案为：］。,£|

【变式4-3］⑴已知函数/（x+2）的定义域为［1,3］,则函数/卜）的定义域为.

（2）已知函数/（x+1）的定义域为［3,8］,则函数的定义域为—.

【答案】[3,5][-3,-2].[2,3]

【解析】(1)令M=X+2,贝l]/(x+2)=/(w),

因为函数/(x+2)的定义域为[1,3],所以"=x+2e[3,5],

所以函数“X)的定义域为[3,5].

(2)令"=x+l,丫=/，贝=/(〃)，/(x2)=/(v).

因为函数〃x+1)的定义域为[3,8],所以M=x+le[4,9],

所以函数/⑺的定义域为[4,9],

所以v=d€[4,9],所以xe[—3,—2]u[2,3],

所以函数/(d)的定义域为[—3,-2][2,3].

故答案为：[3,5]；[-3,—2]」2,3]

题型五：函数定义域的综合应用

y1

【典例5-1】已知函数/(')=康』的定义域为R,则实数0的取值范围为(

A.jtz|O<«<^-

B.{4々40,或〃>1}

C.{a|O«avl}D.„<0,或〃21}

【答案】C

【解析】由函数—-7的定义域为R,得WxeR,加-2OX+1W0恒成立.

ax-2ax+\

当a=0时，1。0恒成立；

当时，A=4Q2—4Q<0，解得。<a<l.

综上所述，实数a的取值范围为｛4。

故选：C.

「，、2?+1+a

【典例5-2]若函数/5)=77^―^的定义域为R，则实数。的取值范围是()

InI2+a\

A.(-2,+oo)B.(-1,+co)C.(-2,-1)D.(-2,-l)u(-l,+oo)

【答案】B

【解析】因为+a>2+a，/⑴的定义域为R，

所以首先满足2+a>。恒成立，；.a>-2,

再者满足ln(2，+i+a)w0n2/+1+a^1,变形得到2加r1-a,2?+1e［2,+oo).-.l-a<2

a>—1,最终得至Ua>—1.

故选：B.

【方法技巧】

对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.

Y+1

【变式5-1]（2024•高三•上海嘉定•期中）已知函数=；的定义域为R，则实数。的

ax--2ax+l

取值范围是.

【答案】0<«<1

_r+1

【解析】函数析x）=一;的定义域为R,

ax,—2：ox+l

得\/xeR,ax2-2ax+1。恒成立，

当a=0时，1H0恒成立；

当"0时，A=4a2-4a<0,得

综上，实数。的取值范围是OWa<L

故答案为：0〈。<1

【变式5-2]若函数〃无）=，加+4依+3的定义域为R,则实数。的取值范围为一.

【答案】。，：3

【解析】由题意得，加+4依+320在R上恒成立，

当。=0时，3>0,成立；

fa>0fa>03

当“0时，A”，即“2,°-，解得

[△40-4ax3<04

-3'

综上所述，0,-.

_4_

「31

故答案为：。].

g,+«）卜寸，函数/（x）=卜1,和g(x)=logF2x2-(2a+3)x+2］有意义，贝I］实

【变式5-3】当xe2

V2ax-lnx

数。的取值范围是.

【答案】£

（）

【解析】由题意知，当彳七1习时，不等式组型[2a一x-l（n2xa>+03,）x+2>。成立.

对于2ov-lnx>0,整理得2〃>^令/1(%)=里^,贝1=~~等，

xxx

当工£(!，e时，0(x)单调递增;x£(e,+oo)时，"(x)<0,力⑺单调递减，所以力(%)耐=力⑻=L

12」e

则2*,解得小；

对于2/-(2a+3)x+2>0,整理得^^<了+工由于G(x)=x+-在上的最小值为G⑴=2,所

2x

以?<2’解得

综上可得:<*.

故答案为:3・

题型六：待定系数法求解析式

【典例6-1】一次函数在R上单调递增，且/(/(%-1))=4%+5,则/(X)=—.

【答案】2x+3

【解析】设/(耳=丘+乩则/(X—1)=区一左+6,

/(7(九—1))=左(西一女+人)+人=左2%—左2+如+〃=4%+5,

k2-4

则/心.又/(%)在R上单调递增，即左>0,

一K十Ku।t/—D

所以左=2,6=3,贝lj/(x)=2:v+3.

故答案为：2x+3

【典例6-2】已知二次函数"X)满足"0)=0,“X—l)=〃x)+3x-5,则不等式/(x)>0的解集

为一

【答案】[o,£|.

【解析】由二次函数"X)满足"0)=0,

设“X)的表达式为/(X)=/+乐("0,a,b为常数),

贝！J/(%—1)=tz(x—1)2+Z?(x-1)=ax2+[b-2a)x-st-a—b；

y(x)+3x-5=av2+(Z?+3)%-5,

3

a=—

b—2a=b+37

根据〃X-1)=/(X)+3X-5,得解得

a—b=-5

b=-

[2

37

所以/(司=-]/+]_¥,

377

4/(x)=--x2+-x>0,贝IJ3尤2一7尤<0,解得。<x<“

所以〃x)的解集为[。，功.

故答案为：

【方法技巧】

当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.

【变式6-1】已知函数“X)是一次函数，5.[/(%)]2-3/(x)=4x2-10.x+4,则/⑺的解析式为

【答案】f(x)=-2x+4或，(尤)=21

【解析】设=0),

则[/(x)]2-3/(x)=(kx+b)1—3(kx+b)=k2x2+(2kb—3k)x+b2-3b=4x2-10x+4,

k2=4

贝lj{2劭-3左=-10,解得左=一2,6=4,或左=2,b=-l,

H-3b=4

故=-2x+4或f(x)=2x-L

故答案为：/«=-2^+4s£f(x)=2x-l.

【变式6-2]已知二次函数“x)=/+Zzx+c(aH0),其图象过点(1,-1),且满足

/(x+2)=/(x)+4^+4,则/(%)的解析式为—.

【答案】/(X)=X2-2

【解析】根据题意可矢口a+b+c=—l,

又O(X+2)2+b^x+i)+c=ax1+6x+c+4x+4恒相等，

化简得至ll(4。+人)了+4。+2/?+。=(〃+4)%+。+4，恒相等，

4〃+。=人+4

所以<4o+2Z?+c=c+4,故。=1,b=0,c=—2,

a+b+c=-1

所以〃力的解析式为了⑴=炉-2.

故答案为：/(%)=％2_2.

题型七：换元法求解析式

【典例7-1】已知兀^+!)=/+3,则函数兀0=.

XX

【答案】x2-2(|x|>2)

【解析】配凑法./0+，)=》2+3=(/+2+二)-2=(x+，)2—2,所以/(x)=x2—2(|X|N2).

尤厂x~x

【典例7-2】己知，(6+1)=尤+2«,则/⑺=()

A./(x)=x2B.=x?-1(x21)

C./(x)=x2-l(x>0)D./(J;)=X2+1(X>1)

【答案】B

【解析】令«+l=r,rz1,贝！］石=r-l,x=(z—1)~,

所以/(r)=(f_if+2(f—1)=-一1(f21),

所以〃x)的解析式为：/(x)=x2-l(x>l)

故选：B.

【方法技巧】

当已知表达式为/(g(x))时，可考虑配凑法或换元法.

【变式7-1】设〃尤)是定义在R+上的函数，且VaeR,/(x)=a有唯一解或无解，且对任意xeR+,

均有〃“〃耳+鼻=；,请写出一个符合条件的〃x)=_.

【答案】-白1或3;(答案不唯一)

2x4x

【解析】当/(》)=一上(》>0)时，

所以+3)一］x(_g尤);

或者,当“》)=丁(芯>0)时，

所以木为十㈢】

13

故答案为：〃x）=一=或〃尤）=言（答案不唯一）.

【变式7-2］若〃尤）是定义域为（0,+8）上的单调函数，且对任意实数xe（0,+8）都有

f=：+1，其中e是自然对数的底数，则/（ln3）=（）

4

A.4B.-

3

C.e+2D.—

3

【答案】B

【解析】•••/（%）是定义域为（。,+8）上的单调函数，且//（X）=1+1,

在（0,+co）上存在唯一一个实数/使得了⑺=』+1,

e

于是/（力-2=%.

令x=t,得—1-1—;=t,BP—tH—bl=--.

eeee

且r=i是方程-+Li=1的解，

ee

iii4

所以“x）=/+l，故7（ln3）=而+1=耳+1=屋

故选:B.

【变式7-3］（2024•高三•江