2025年高考数学一轮复习：重难专攻（七）-立体几何中的综合问题【含解析】

重难专攻(七)立体几何中的综合问题【原卷版】

翻折问题

【例1】图①是由矩形AOEB,RtAABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中A8=l,BE=BF=2,ZFBC

=60。.将其沿AB,BC折起使得BE与重合，连接。G,如图②.

(1)证明：图②中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC_L平面BCGE；

(2)求图②中的二面角B-CG-A的大小.

G训练

图①是直角梯形ABCD,AB//DC,ZADC=90°,AB=2,0c=3,AD=W,CE=2ED,以BE为折痕将△BCE

折起，使点C到达Ci的位置，且AG=遍，如图②.

图①图②

(1)求证：平面BGE_L平面A8ED；

(2)已知点尸为线段。G上一点，且尸G=2P£),求直线8尸与平面48cl所成角的正弦值.

探究问题

【例2】已知直三棱柱ABCAiSG中，侧面A412bB为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，D

为棱4S上的点，BFXAiBi.

(1)证明：BFLDE-,

(2)当BQ为何值时，面881cle与面。FE所成的二面角的正弦值最小？

E训练

在三棱柱A8C-4B1G中，四边形A415B是菱形，AB±AC,平面44出|8,平面ABC,平面45G与平面ABC

的交线为I.

A

（1）证明：AiB±BiC.

（2）已知NABBi=60。，AB=AC=2,/上是否存在点P,使AI与平面4B尸所成角为30。？若存在，求以尸的长

度；若不存在，请说明理由.

动态问题

考向7轨迹问题

【例3】（1）点尸为棱长是2代的正方体ABCDAWiGd的内切球。球面上的动点，点M为BiCi的中点，若

满足。则动点尸的轨迹的长度为（）

A.兀B.2兀

C.4兀D.2V5TT

（2）（多选）如图，已知正方体ABCDAiBiGd的棱长为4,M为。。的中点，N为A8CZ）所在平面内一动点，

则下列命题正确的是（）

A.若与平面ABC。所成的角为％则点N的轨迹为圆

B.若MN=4,则MN的中点尸的轨迹所围成图形的面积为2兀

C.若点N到直线221与到直线。。的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

D.若AN与A8所成的角为成则点N的轨迹为双曲线

考向2空间位置关系的判定

【例4】（多选）已知P,。分别是正方体ABCD-AiBiCbDi的棱221，CG上的动点（不与顶点重合）,则下列

结论正确的是（）

A.AB1PQ

B.平面8尸Q〃平面ADDiAr

C.四面体ABP。的体积为定值

D.AP〃平面CDDiCi

考向3最值（范围）问题

【例5】（1）已知点M是棱长为2的正方体ABCD-AiSCQ］的棱的中点，点尸在平面BCGS所在的平面

内.若平面D1PM分别与平面ABC。和平面BCGS所成的锐二面角相等，则点P与点Ci的最短距离是（）

2

V5V2

-一-

5B.D2

A.C1V6

一3

(2)在直三棱柱ABC-Ai81cl中，AB=AC=V3,BC=A4i=2,点P满足方=加方+(|一机)CQ，其中

mC[0,|]，则直线AP与平面2CG修所成角的最大值为()

A.-B.=

64

c.-D.-

312

E训练

1.在四棱锥P-ABCZ)中，四边形48cZ)是边长为2的菱形，ZDAB=60°,PA=PD,ZAPD=9Q°,平面平

面AB。，点。是APBC内(含边界)的一个动点，且满足OQLAC,则点。所形成的轨迹的长度是.

2.在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面ABC。，平面ABER弹子M,N分别在正方形对

角线AC,BP上移动，则MN长度的最小值是.

L如图，斜线段AB与平面a所成的角为%8为斜足.平面a上的动点P满足/""会则点P的轨迹为()

A.圆

B.椭圆

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

2.设动点尸在正方体ABCDAiBCbDi上(含内部)运动，且瓦？=入臣，当NAPC为锐角时，实数九的取值范围

为()

A.(-,1)B.(1,+8)

3

C.(0,i)D.(0,-)u(1,+8)

33

3.已知正四棱锥尸-ABC。的侧棱长为2,底面边长为巡，点E在射线尸。上，F,G分别是BC,PC的中点，则异

面直线AE与FG所成角的余弦值的最大值为()

4.(多选)在正三棱柱ABC-AiBiG中，AB=A4i=l,点尸满足前=入阮十日两，其中入e[0,1],pG[0,1],

则()

A.当正=1时，AABiP的周长为定值

B.当口=1时，三棱锥P-48C的体积为定值

C.当九=，寸，有且仅有一个点P,使得

D.当尸况寸，有且仅有一个点P,使得48,平面A5P

5.（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCDAiBCbDi中，M,N分别为BA，81cl的中点，点尸在正方体的表面

上运动，且满足MPLCN.下列说法中正确的是

A.点尸可以是棱881的中点

B.线段MP的最大值为:

C.点尸的轨迹是正方形

D.点P的轨迹长度为2+逐

6.（多选）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

7.已知动点P在棱长为1的正方体ABCDA向GA的表面上运动，且PA=r（0<r<V3）,记点尸的轨迹长度为了

（r）,则7（1）+/（V2）=.

8.在直四棱柱中，底面ABC。为正方形，441=248=2.点尸在侧面2。。181内，若AC平面

BDP,则点尸到CD的距离的最小值为.

9.如图，在四棱锥S-ABC。中，已知四边形4BCD为菱形，ZBAD=60°,ASA。为正三角形，平面SAO_L平面

ABCD.

（1）求平面SBC与平面A8C夹角的大小；

（2）在线段SC（端点S,C除外）上是否存在一点使得若存在，指出点M的位置；若不存在,

请说明理由.

10.如图①，在RtAABC中，AB±BC,AC=2AB=12,E,尸都在AC上，SLAE：EF'.FC=3：4：5,EB//FG,

将AAEB,ACFG分别沿EB,FG折起，使得点A,C在点P处重合，得到四棱锥P-EFGB,如图②.

图①图②

（1）证明：EFLPB；

(2)若加为尸2的中点，求平面与平面EFW夹角的余弦值.

11.已知一圆形纸片的圆心为。，直径A8=2,圆周上有C,。两点.如图，OC_LAB,/4。。=匕点P是扬上的

6

动点.沿将纸片折为直二面角，并连接P。，PD,PC,CD.

(1)当AB〃平面尸CD时，求尸。的长;

(2)当三棱锥P-CO。的体积最大时，求二面角O-PO-C的余弦值.

12.如图，在四棱锥E-A8CD中，平面A8CD_L平面ABE,AB//DC,AB1BC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=

V3,M为BE的中点.

(1)求证：CM〃平面AOE；

(2)求平面与平面8AC夹角的正弦值；

(3)在线段上是否存在一点M使直线与平面BEN所成角的正弦值为呼？若存在，求出AN的长；若不

存在，请说明理由.

重难专攻(七)立体几何中的综合问题【解析版】

翻折问题

【例1】图①是由矩形AOEB,RtAABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中A8=l,BE=BF=2,ZFBC

=60。.将其沿AB,BC折起使得BE与8尸重合，连接。G,如图②.

(1)证明：图②中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC,平面BCGE；

(2)求图②中的二面角B-CG-A的大小.

解：(1)证明：由已知得AO〃BE,CG//BE,所以4£>〃CG,

所以AD,CG确定一个平面，从而A,C,G,。四点共面.

由已知得ABLBC,SLBE^BC=B,

所以AB_L平面BCGE.

又因为A2U平面ABC,所以平面ABC_L平面BCGE.

(2)作EHLBC,垂足为H.

因为EHU平面BCGE,平面BCGE_L平面ABC,

平面BCGED平面ABC=BC,

所以EH_L平面ABC.

由已知，菱形BCGE的边长为2,Z£BC=60°,可求得BH=1,EH=^3.

以”为坐标原点，~HC,近的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H-孙z,

则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,V3),

CG=(1,0,V3),AC=(2,-1,0).

设平面ACGO的法向量为〃=(x,y,z),

gn=0,fx+V3z=0,

即

•n=0,\2x~y=0.

所以可取〃=(3,6,—V3).

又平面BCGE的法向量可取帆=(0,1,0),

所以cosV",m>=

In\\mI2

因此二面角B-CG-A的大小为30°.

0训练

图①是直角梯形ABC。，AB//DC,ZADC=90°,AB=2,0c=3,AD=遮,CE=2ED,以BE为折痕将△BCE

折起，使点C到达Ci的位置，且4。1=遍，如图②.

(1)求证：平面8GE_L平面ABEZ)；

(2)已知点尸为线段。G上一点，且PCi=2P。，求直线BP与平面A8G所成角的正弦值.

解：(1)证明：如图所示，连接AC与BE相交于点O,过点8作即LLEC交EC于点厅

由DC=3,CE^2ED,得£>E=1,CE=2.四边形ABFD为矩形，可得2F=A£>=遮，FC=1.

所以BC='叱+⑦:2,所以/BCF=60。，所以△BCE是等边三角形，所以OC=百,

由EC〃AB,EC=AB=2,OCLEB,可得OA=OC=g,OALEB.

所以。42+OC/=6=AC£,所以。4J_OCI.

XOBHOCi=O,OB,OGU平面BGE

所以OA_L平面BCiE.又OAU平面ABED,所以平面BG£_L平面ABED.

(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0),A(V3,0,0),B(0,1,0),D(y,-|,0),

Cl(0,0,V3),所以说=(-V3,1,0),宿=(-V3,0,V3),西=(一苧，|,V3),BD=(y,一

设平面A8Ci的法向量为〃=(x,y,z),所以(竺TV3x+y0,令尤=1，则>=百，z=l,所以"=

J

\.AC1-n——\3xr\3z=0,

(1,V3,1),

因为点尸为线段DG上一点，且PG=2P£>,所以加桔西，所以丽=丽+丽=前+]西=(y,-|,0)

+-(—如，三，V3)=(渔，-2,隹).

32233

设直线2尸与平面A2Q所成角为0,则sin9==单一=誓.

I।BP胃I-­InI2^x7535

所以直线BP与平面所成角的正弦值为噤.

探究问题

【例2】已知直三棱柱A2C-4SG中，侧面A41BB为正方形，AB=3C=2,E,尸分别为AC和CG的中点，D

为棱43上的点，BFXAjBi.

(1)证明：BFLDE-,

(2)当8。为何值时，面881cle与面OFE所成的二面角的正弦值最小？

解：(1)证明：因为E,斤分别是AC和CG的中点，且AB=8C=2,

所以Cb=l,BF=亚.

22

如图，连接AF,由8F_L4i5,AB//AiB[,#BF±AB,则AF=^BF+AB=3,所以AC=工AFZ-CF2=26.由

AB2+BC2=AC2,得BALBC,故以8为坐标原点，以AS,BC,BBi所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标

系B-xyz.

则8(0,0,0),E(1,1,0),F(0,2,1),BF=(0,2,1).

设310=w(0W%W2),则。(.m,0,2),

于是反=(l—m,1,-2).

所以所:•壶=0,所以B/tLDE

(2)易知面BB1GC的一个法向量为"i=(1,0,0).

设面。尸E的法向量为〃2=(x,y,z).

则怦电=。，

=0,

又屁=(1-m,1,-2),EF=(-1,1,1),

“(1—m)x+y-2z=0,.加

所以《令九=3,得y=m+l,z=2—m,

i—x+y+z=0,

于是，面。尸E的一个法向量为改=(3,m+1,2—m),

3

所以COSVMI,Q.

H*)涧

设面BBiCiC与面。FE所成的二面角为9,则sin9=11-cos2v叫，电〉，

故当m时，面B81GC与面。FE所成的二面角的正弦值最小，为即当时，面B81GC与面。FE所成

的二面角的正弦值最小.

0训练

在三棱柱ABC-AiBiG中，四边形AAIiB是菱形，AB1AC,平面44出山_1平面ABC,平面A/Ci与平面ABC

的交线为I.

(1)证明：AiB±BiC.

(2)已知NAB8i=60。，AB=AC=2,/上是否存在点P,使AiB与平面A8P所成角为30。？若存在，求生尸的长

度；若不存在，请说明理由.

解：(1)证明：因为四边形A41S8为菱形，所以ALB_LABI.

因为平面AAI2I2_L平面ABC,平面AAW/n平面ACu平面4BC,ACLAB,

所以AC_L平面44/18.

又A/U平面AAiSB,所以ACL41R

又因为ABinAC=A,

所以4B_L平面ABC.

又&CU平面ABiC,所以AiBLBiC.

(2)/上不存在点尸，使AiB与平面ABP所成角为30。.理由如下：

取AiS的中点。，连接AD

因为乙4881=60。，所以/441历=60。.

又441=481,

所以△4AS为等边三角形，

所以A£)_LAiBi.

因为所以A£)_LAR

又平面A4iB山，平面ABC,平面AAiSBA平面ABC=AB,A£>u平面44//,

所以AZ)_L平面ABC.

以A为原点，以荏，AC,诟的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系4盯z,

则A(0,0,0)B(2,0,0),C(0,2,0),Ai(-1,0,V3),Bi(1,0,V3)

则前=(0,2,0),荏=(2,0,0),彳瓦>=(1,0,V3).

因为AC〃AiG,ACC平面AiSG,

4Gu平面AiBiCi,

所以AC〃平面AiBCi,

又ACU平面A8C,平面AiBiGCl平面ABC=/,

所以AC〃/.

假设/上存在一点尸，使48与平面A8P所成角为30。.

设瓦（XER）,则瓦户=（0,2X,0）,

所以»=福（+瓦F=（1,2九，V3）.

设”=（尤，y,z）为平面的一个法向量，

n-%=°，即2%=0,

则

Tl-AP=0,x+2Ay+V3z=0.

令》=一百，贝Iz=23可取〃=(0,—V3,2X).

又砧=(3,0,-V3),

所以sin30。=Icos<„,硒〉I=g^=毋焉，

即3+4/=4入2,此方程无解，

因此/上不存在点尸，使A/与平面A5P所成角为30。.

动态问题

考向7轨迹问题

【例3】（1）点P为棱长是2曲的正方体ABCD-AiBiGA的内切球。球面上的动点，点M为8G的中点，若

满足。尸，则动点尸的轨迹的长度为（）

A.兀B.2兀

C.4兀D.2V5n

（2）（多选）如图，已知正方体ABCDAiBiGDi的棱长为4,〃为的中点，N为A8C。所在平面内一动点,

则下列命题正确的是（）

A.若与平面A8CD所成的角为%则点N的轨迹为圆

B.若MN=4,则MN的中点尸的轨迹所围成图形的面积为2兀

C.若点N到直线881与到直线0c的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

D.若AN与所成的角为热则点N的轨迹为双曲线

答案：(1)C(2)ACD

解析：(1)根据题意知，该正方体的内切球半径为厂=遮，如图.取8B1的中点N,连接CN,则CNLBM,；.CN

为。P在平面8cle8中的射影，.•.点尸的轨迹为过Q,C,N的平面与内切球的交线，：正方体ABCD-A1B1C01

的棱长为2通，.二。到过。，C,N的平面的距离为当=1,.•.截面圆的半径为2,.•.点P的轨迹的长度为27tx2=

V5

4兀.

(2)如图所示，对于A,根据正方体的性质可知，平面A5CD,所以NMND为MN与平面A8CZ)所成的

角，所以NAfND=E,所以。N=DW=2)r)i=L><4=2,所以点N的轨迹为以。为圆心，2为半径的圆，故A正

422

确；对于B,在R3MDN中，DN=JMN2~MD2=J42-22=2V3,取的中点E,连接PE,因为「为MN的

中点，所以PE〃DN,且PE=*N=W,因为。MLEO,所以尸E_LE。，即点尸在过点E且与。。垂直的平面

内，又尸E=W,所以点尸的轨迹为以值为半径的圆，其面积为花(旧)2=3兀，故B不正确；对于C,连接

NB,因为33,平面ABC。，所以BBiLNB,所以点N到直线8囱的距离为NB的长度，所以点N到点8的距离

等于点N到定直线CD的距离，又8不在直线C。上，所以点N的轨迹为以8为焦点，CD为准线的抛物线，故C

正确；对于D,以。为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(4,0,

0),B(4,4,0),Di(0,0,4),设N(x,y,0),则福=(0,4,0),甲=(x,y,-4),因为。iN

与AB所成的角为g所以1cos<荏，O>I=cos=所以「切।=；,整理得茎一1=i,所以点N的

334卜+y2+1621616

轨迹为双曲线，故D正确.

考向2空间位置关系的判定

【例4】(多选)已知P,。分别是正方体ABCD-AiSCiA的棱B81，CG上的动点(不与顶点重合),则下列

结论正确的是()

A.AB1PQ

B.平面8尸Q〃平面ADDiAi

C.四面体ABP。的体积为定值

D.AP〃平面CDDiCi

解析：ABD对于A,'：AB±BC,AB±BBi,BCCBBi=B,BC,BCCiB,,BCC\B1,

平面BCGBi,C.ABLPQ,故A正确；对于B,,平面AO£>i4〃平面BCCiB,平面8尸。与平面BCGS

重合，平面8尸。〃平面A£>£>14,故B正确；对于C,到平面3PQ的距离A2为定值，。到3尸的距离为定

值，2尸的长不是定值，...四面体A2P。的体积不为定值，故C错误；对于D,•.•平面AB214〃平面CDAG,

APU平面ABB14,〃平面CODiCi,故D正确.

'C

1

AB

考向3最值（范围）问题

【例5】（1）已知点M是棱长为2的正方体ABCD-AiBiCQi的棱的中点，点P在平面BCQS所在的平面

内.若平面。1PM分别与平面A3C。和平面BCCiS所成的锐二面角相等，则点尸与点G的最短距离是（）

A里

52

C.lD.y

（2）在直三棱柱ABC-AiBCi中，AB=AC=V3,BC=AAi=2,点尸满足而=%屈+G一机）CQ.其中

加e[0,|],则直线AP与平面BCCLBI所成角的最大值为（）

A：B：

64

C.-D.—

312

答案：（1）A（2）B

解析：（1）设尸在平面ABC。上的射影为尸，M在平面B6GC上的射影为4r（图略），平面GPM与平面

ABCD和平面BCCiB所成的锐二面角分别为a,P，贝！Icosa=2■丝丝，cos[3=红也鱼.因为cosa=cos0,所以

SDrPMSD±PM

SA。尸M=S^pMq,设P到CM距离为d,贝咛XbXd=]lX2,d=W，即点P到Ci的最短距离为雪.

（2）分别取BC,BCi中点。，Di,则。即。平面ABC,连接AD,因为A2=AC,所以

ADLBC,分别以ZM,DB,所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,由已知AD=&,

A（V2,0,0）,B（0,1,0）,C（0,-1,0）,Ci（0,-1,2）,则荏=（0,2,0）,宿=（0,0,

2）,因为前=根赤+（|-m）鬲=（0,2m,3—2〃力，AC=（一夜，-1,0）,AP=AC+CP=（一a，2m

-1,3-2m）,易知平面BCGS的一个法向量是〃=（1,0,0）,设直线AP与平面BCGS所成角为。，则

0G[0,-],sin0=Icos<n,AP>\=]7t竺]=[四=、®所以〃z=l时，（sin

2|n\\API222

J2+（2m—1）+（3—2m）J8（m-1）+4

0）max=V-即0的最大值是:.故选B.

24

y

«训练

1.在四棱锥尸XBC。中，四边形A3CD是边长为2的菱形，ZDAB=60°,PA=PD,ZAP£>=90°,平面尸4。_1平

面ABCD点。是APBC内（含边界）的一个动点，且满足DQLAC,则点。所形成的轨迹的长度是.

竺享.迪

解析：如图，连接2D,交AC于点。，因为四边形ABCO为菱形，所以AC,2D取PC上一点M,连接ATO,

MB,使得。M_LAC,又AC_LBO,BDCDM=D,所以AC_L平面则点。的轨迹是线段8M.以。为原点，

04所在直线为x轴，。2所在直线为y轴，过点0且垂直于平面A2CD的直线为z轴，建立空间直角坐标系.则。

（0,0,0）,A（V3,0,0）,B（0,1,0）,D（0,-1,0）,P（y,-|,1）,C（一百，0,0）,0A=

（V3,0,0）,前=（当，1），玩=（一手，-1），前=（0,-2,0）.设丽=加+两=无+疯

=（苧，1）+一（一手，-1）,0W入W1,则丽=（苧-争|+|X,1-X）OAVDM,

所以市•丽=0,解得入=%所以询=(o,|,|),JM=JD+UM=(0,-2,0)+(0,|,|)=(o,-p

I),所以I前I=J(l)2+(I)2=誓，即点。所形成的轨迹的长度为苧.

2.在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1,且平面ABC。，平面ABER弹子M,N分别在正方形对

角线AC,8尸上移动，则MN长度的最小值是.

”索•立

口木•3

解析：N是异面直线AC,8月上两点，的最小值即为两条异面直线间距离d：平面ABCOJ_平面

ABEF,ABLBC,平面ABCDCI平面ABEF=A2,平面ABEP,又AB_LBE,则以8为坐标原点可建立如图

所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1),：.AC=(-1,0,

1),(1,1,0),通=(-1,0,0),设异面直线AC,2尸的公垂向量〃=(x,y,z),贝1

(AC-n=~x+z=0,令x=l,则y=—1,z=l,.'.n=(1,—1,1),d=145"1=^=—,即A/N的最小值为

lBF-n=x+y=0,IniV33

1.如图，斜线段与平面a所成的角为%8为斜足.平面a上的动点尸满足则点尸的轨迹为()

6

A.圆

B.椭圆

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

解析：B建立如图所示的空间直角坐标系，设08=04=1,则5(0,1,0),A(0,0,1),P(x,y,0),

y+1

则诟=(0,1,—1),AP=(x,y,-1),所以cosV彳瓦AP>=——=—9即用+公=1,所以

V2-lx2+y2+l23

点尸的轨迹是椭圆.

2.设动点尸在正方体ABCZKAiBiCQi上（含内部）运动，且瓦?=入用，当NAPC为锐角时，实数九的取值范围

为（）

A.1)B.(1,+8)

C.(0,-)D.(0,-)U(1,+8

解析：C设AP=尤，D\P=t,正方体的棱长为1,则AC=&,在AAPC中，由余弦定理得COS/APC=>；：:2

22

==，若NAPC为锐角，则式丁>0,则/>1,在AADiB中，AD\=五,cosNA.由=’小一,=名,

x2x22XV2X+V二3，3

在AAQiP中，由余弦定理得/=2+产一2义/></><曰，于是2+於一2></乂/义曰>1,即#-4每+3>0,解得

/〉百或f〈F，由。出=百，故儿>1（舍去）或0<九<，

3.已知正四棱锥尸-ABCD的侧棱长为2,底面边长为几，点E在射线上，F,G分别是BC,PC的中点，则异

面直线AE与FG所成角的余弦值的最大值为（）

C再

解析：C如图，连接AC,BD交于O,连接尸。.因为居G分别是RC,PC的中点，所以尸G〃尸2,则AE与FG

所成的角即是AE与PB所成的角，设AE与P8所成的角为0.由题意知，OA,OB,。尸两两互相垂直，分别以

OA,OB,O尸所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则尸（0,0,1）,Z）（0,一百，0）,B（0,V3,

0）,A（V3,0,0）,由无=九而（九20）得E（0,-V3A.,1一九）（X.20）,所以族=（一百，—g,1-

X）,~PB=（0,V3,-1）,所以cos9=I丁I=—产出•.令/⑴=4：\+16N0）,则/（X）

\AE\-\PB\岛2_」「2M—4+2

=-3（2A+l）（2A-3）当0・九〈三时，f（X）>0,f（X）单调递增，当九>三时，f（X）<0,f（X）单调递减，所以

（2A2-A+2）22

当九=1时，/⑴取得最大值，此时cos9也取得最大值¥，故选C.

吠C

03

4.（多选）在正三棱柱ABC-4B1C1中，AB=AAi=l,点P满足丽=入近+（i两，其中[0,1],[0,1],

则（）

A.当入=1时，△AB/的周长为定值

B.当四=1时，三棱锥P-AbBC的体积为定值

C.当人用寸，有且仅有一个点尸，使得4尸，2尸

D.当产泄，有且仅有一个点P,使得42,平面仍尸

解析：BD丽=入近+曲瓦（OWJiWl,OWpWl）.对于选项A,当九=1时，点尸在棱CCi上运动，如图①所

不，此时△AB1P的周长为ABi+AP+P8i=&++(1—〃)=&+J1+/+J2—2〃+〃2,不是

定值，A错误；

图①

对于选项B,当日=1时，点P在棱BiCi上运动，如图②所示，则％!IBC=LPBC=£APBCX曰=*AMC=

为定值，故B正确；对于选项C,取2c的中点。，2。的中点。，连接。Di,AiB,则当为=

6212

22

涉，点尸在线段由上运动，假设4尸上2尸，则4尸+8尸=422,即(乎)+(1­)2+(|)+1=2,解得

=0或|1=1,所以点尸与点。或。重合时，AiPLBP,故C错误；对于选项D,易知四边形422的1为正方形，

所以设ABi与A出交于点K,连接PK,要使43,平面A6P,需AiB上KP,所以点尸只能是棱CG

的中点，故选项D正确.综上，选B、D.

图②

5.(多选)如图，在棱长为1的正方体A8CQ-481C1O1中，M,N分别为B£h，81cl的中点，点尸在正方体的表面

上运动，且满足MPLCN.下列说法中正确的是

A.点尸可以是棱821的中点

B.线段MP的最大值为:

C.点P的轨迹是正方形

D.点P的轨迹长度为2+遮

解析：BD在正方体4BCZX4向GA中，以。为坐标原点，D4所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，所在

直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，：该正方体的棱长为1,M,N分别为BDi,81cl的中点，

(0,0,1),B(1,1,0),M,A?G，1,1),C(0,1,0),：.CN=0,1),设尸(尤，

y,z),贝廊=(x-pz-|),•:MPLCN,|+z-j=0,即2x+4z-3=0,当x=l时，z=

当尤=0时，z=2,取E(l,0,i),F(1,1,-),G(0,1,-),H(0,0,-),连接EF,FG,GH,

444444

HE,则而=而=(0,1,0),EH=FG=(一1,0,|),；.四边形EBGH为矩形，又丽•丽=0,EH-CN=0,

EPEFLCN,EHLCN,又斯和即为平面所GH中的两条相交直线，；.CALL平面E尸G8,又前=(一|,也

7),MG=(一；，；，；)，为EG的中点，则平面£砥汨，为使MPLCN,必有点尸6平面瓦68,又点

P在正方体表面上运动，，点尸的轨迹为四边形瓦'GH,...点尸不可能是棱8修的中点，故选项A错误；入EF=

GH=1,EH=FG=^,：.EF丰EH,则点尸的轨迹是矩形不是正方形，且矩形EPGH的周长为2+2义曰=2+

V5,故选项C错误，选项D正确；二•点尸的轨迹为矩形EPGX,...当尸点在矩形的四个端点时，取得最大

值，且MP的最大值为1故B正确.

4

/：W

6.(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有

()

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

解析：ABD棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m,1m>0.99m,所以A符合题意；如图①，在棱长为1

m的正方体中，正四面体4-80cl的棱长为am,V2m>1.4m,所以B符合题意；因为棱长为1m的正方体上

任意两点间的最大距离为正方体的体对角线长6m2l.732m,而所以C不符合题意；如图②，

假设放入最大的圆柱的上、下底面圆心为尸，Q,设圆柱底面半径为rm,底面直径为dm,连接AQ,如图③，

在平面ABC。中，过。作QE_LAC,交AS于点E,贝UQE=rm,4。=鱼rm,尸。=四一2企厂=(V3-V2J)

m,当d=1.2时，P2=V3-V2X1.2«=1.732-1.414X1.2«=0.035m>0.01m,故D符合题意.故选A、B、D.

圾EB、

图③

7.已知动点P在棱长为1的正方体ABCDA向GA的表面上运动，且PA=r(0<r<V3),记点尸的轨迹长度为了

(r),则/'(1)+/(V2)=.

答案:3兀

解析：如图，当厂=1时，点P在正方体表面上的轨迹分别是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧，分别为

BD,玲，砸，则/(I)=3xix27i=—,当r=V^时，点P在正方体表面上的轨迹为在平面ABiCi。上以Ai

为圆心，1为半径的£6，在平面BiBCG上为以8为圆心，1为半径的瓦2,在平面DCC1Q1上为以。为圆心，1

为半径的㈤,则/(应)=3X；X2n=亨，所以/⑴+/(V2)=亨+岑=3兀

8.在直四棱柱ABCD-AIiGDi中，底面A8CC为正方形，A4i=2AB=2.点P在侧面BCGB内，若AiC_L平面

BDP,则点P到CD的距离的最小值为.

答案：孚

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，贝14(1,0,2),C(0,1,0),B(1,1,0),&C=(-1,1,-

2),设P(x,1,z),而=(x,0,z).由于4CJ_平面加尸，所以［竺竺—1+1+0-0,所以x+2z=

A-1C-DP=~x+1—2z=0,

1.由于沆•标=0,即。尸_LOC,P到CO的距离为IC尸I=(1—2z)+z2=5z2-4z+l,所以当

5xX|+1=*即P到CD的距离的最小值为日

9.如图，在四棱锥S-A8CD中，已知四边形ABC。为菱形，ZBAD=60°,△SAO为正三角形，平面SAZ)_L平面

ABCD.

(1)求平面SBC与平面A2C夹角的大小；

(2)在线段SC(端点S,C除外)上是否存在一点使得AMLBD?若存在，指出点M的位置；若不存在,

请说明理由.

解：(1)取A£＞中点O,连接SO,BO,

因为SA=S。，OA=OD,所以SO_LAD,

又因为平面&4。J_平面ABC。，平面SADD平面A8CD=A。，SOU平面SA，所以S。，平面ABC。，

因为0BU平面ABC。，所以S0_L08,

因为BA=BD,OA