2024-2025学年河北省石家庄市无极县某中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省石家庄市无极县文苑中学高二（上）开学

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知平面向量d=（2,-1）,K=（1,1）.C=（-5,1）,若位+k及〃乙则实数k的值为（）

11111

A.-TB.1C.2D.T

2.设复数z=1-爪是虚数单位），则/—z=（）

A.-1B.1-2iC.1+2iD.-1+2i

3.在平行四边形4BCD中，^ABD=90°,且AB=1,BD=<2，若将其沿BD折起使平面ABD1平面

BCD,则三棱锥a-BDC的外接球的表面积为（）

A.27rB.87rC.167rD.47r

4.如图，已知边长为2的正方体4BCD-&B1GD1，点E为线段CD1的中点，贝|B

直线4E与平面&BCD1所成角的正切值为（）箱

A号B.|…-

5.我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度（单位：km/h）如

下表：

上班时间182021262728303233353640

下班时间161719222527283030323637

则上、下班时间行驶时速的中位数分别为（）

A.28与28.5B.29与28.5C.28与27.5D.29与27.5

6.已知"个数X],%2，…叫的平均数为总方差为s2,则数3打,3冷，…3功的平均数和方差分别为（）

A.x,3s2B.3x,s2C.3%,3s2D.3x,9s2

7.正方形ACDE与等腰直角三角形4C8所在的平面互相垂直，且4C=BC=2,乙4c8=90。，F,G分别是

线段力E,BC的中点，贝ICD与GF所成的角的余弦值为（）

A-?R6

D--T

9

8.在△ABC中，。为4c的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则屁=（）

A.^AB+yACB.^AB-yACC.^AB+^ACD.fxB-7XC

36366336

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.设点M是AABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A.若前寿才豆福则点M是ATIBC的重心

B.若前=2话-前，则点M在边BC的延长线上

C.若。在△48C所在的平面内，角4、B、。所对的边分别是a,b,c,满足以下条件2。+2而+历=

。，则SAOBC=gSAABC

D.若奇=x荏+y而，且无+y=g,则AMBC的面积是△48C面积的2

10.如图，在正六边形28CDEF中，点。为其中心，则下列判断正确的是（）

A.AB=OCED

B初/而F/\/\c

C.\AD\=\BE\\/\/

D.AD^FCAB

11.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间

月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线统计图.根据该折线统计图，下列结论正确的是（）

月接待游客量/万人

八

45..................................................................................................................................................

，三h5空5

711111111111111」」11」」」」1111111111111」,

123456789101112123456789101112I23456789101112月份

2017年2018年2019年

A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致都在8月

C.2017年1月至12月月接待游客量逐月增加

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设向量五=（3,久），b=（y,9）,S.d//b,则町=.

13.在ATIBC中，内角a,B,C的对边分别是a,b,c,角C等于60。，若a=4,b=2,贝k的长为

14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的柳卯结构，它的外观是如图所示的十字

立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90。柳卯起来.若正四棱柱

的高为8,底面正方形的边长为2,现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为

(容器壁的厚度忽略不计，结果保留兀)

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知同=2,|山=3,(2a—b)-(a+3/))=—34.

(1)求江与3的夹角。；

(2)当x为何值时，向量+9的模长为，7?

16.(本小题12分)

已知复数z=3+bi(b£R'),且(1+3i)-z纯虚数.

(1)求复数z；

(2)若w=z•(2+i),求复数w的模|w|.

17.(本小题12分)

为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次

竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和

频数分布直方图，解答下列问题.

分组频数频率

50.5〜60.540.08

60.5〜70.50.16

70.5—80.5

80.5〜90.516

90.5〜100.5

合计501.00

(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内);

(2)补全频数分布直方图；

(3)若成绩在75.5〜85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人?

18.（本小题12分）

如图，在四棱锥P—4BCD中，PAl^ABCD,ABHCD,且CD=2,AB=1,BC=2/2,PA=1,AB1

BC,N为PD的中点

(1)求证：AN〃平面PBC.

(2)求平面PAD与平面P8C所成二面角的余弦值

(3)在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是祟，若存在求出翳的值，若

不存在说明理由.

19.(本小题12分)

已知△ABC的角A,B,C对边分别为a,b,c,且bcosA+acosB=c(3cosA-1).

(1)求cos/；

(2)若瓦？•前=-10,求△ABC的面积S的值.

参考答案

l.B

2.D

3.D

4.A

5.D

6.D

7.C

8.D

9.ACD

10.ABC

11.ABD

12.27

13.273

14.84兀

15.解：⑴因为|国=2,\b\=3,(2a-h)-(a+3fo)=-34.

所以(21—石)■(a+3b)=2a2+5a-b-3b2—34,a-b=-3,

所以cos。=°=—＜，又。E[0,7r],所以6=亭.

\a\\b\2i

(2)若向量xZ+3的模长为夕,

则(久五+6)2=/片+2乂3.°+//=4%2-6久+9=7,

解得x=1或a

16.解：(l)z=3+bi(beR),且(1+3i)•z=(1+3E)•(3+bi)=3-36+(9+b)i为纯虚数,

得即b=l,；.z=3+i；

(2)若w=z•(2+i)=(3+i)•(2+i)=5+5i,则|w|=V52+52=5AA2.

17.解：(1)频率分布表：

分组频数频率

50.5〜60.540.08

60.5〜70.580.16

70.5—80.5100.20

80.5〜90.5160.32

90.5〜100.5120.24

合计501.00

(2)频数分布直方图如下图所示:

⑶成绩在75.5〜80.5分的学生占70.5〜80.5分的学生的系

因为成绩在70.5〜80.5分的学生频率为0.20,

所以成绩在75.5〜80.5分的学生频率为0.10，

成绩在80.5〜85.5分的学生占80.5〜90.5分的学生的系

因为成绩在80.5〜90.5分的学生频率为0.32,

所以成绩在80.5〜85.5分的学生频率为0.16,

所以成绩在75.5〜85.5分的学生频率为0.26,

由于有900名学生参加了这次竞赛，

所以该校获得二等奖的学生约为0.26x900=234(人).

18.解：过力作力ElCD,垂足为E,则DE=1,以4为坐标原点，分别以所在直线为x,y,z轴建

立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),B(0,l,0),E(2V7,0,0),

D(272,-l,0),C(2/2,l,0),P(0,0,l),

N(JI,一另),则前=(，1,一另)，

(1)设平面PBC的一个法向量为元i=(x,y,z),

।7,

272%=0,取4=(°工1)

•*•AN•7Vy=——+—=0,

T->

AN1rij

又ANU平^PBC,

：.AN11平面PBC

(2)设平面PAD的一个