2023-2024学年北京市九年级上学期期末数学模拟试卷（含详解）

北京市2023-2024学年九年级上学期

期末考试数学模拟卷

一、单选题

1.若方程5）=19两根为。和6,且则下列结论中正确的是（）

A.。是19的算术平方根B.b是19的平方根

c.a—5是19的算术平方根D.6+5是19的平方根

2.对于任何实数限抛物线y=-%2与抛物线y=—（X—丸下的相同点是（）

A.形状与开口方向相同B.对称轴相同

C.顶点相同D.都有最低点

3.下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

4.如图，已知是半圆。的直径，点C,。将A3分成相等的三段弧，点尸在AC上.若点。在A3上,

ZAPQ=a,对于下列三个结论判断正确的是（）

结论I：若点。在的中点处，则。=145°；

结论H：当点。在30上时，”的最小值为90°；

结论III:若4=115°,则点。在上.

A.I和iii都对B.I和II都不对c.II对m不对D.I不对III对

5.如图，在VA3C中，AB=AC,AE是/BAC的平分线，点D是线段AE上的一点（不包括端点），则下列结论

不正确的是（）

A

A.AEXBCB.ABED^ACEDC.BAD^CADD.AABD^ADBE

6.如图，C、。是以AB为直径的圆。上的两个动点（点C、。不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持

不变，M是弦CD的中点，过点C作CPLA5于点P.若CD=3,AB=5,PM=x,则x的最大值是（）

B.各C.2.5D.2出

7.如图是一个指针可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，随机转动指针，指针落在阴影区

8.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（）

A.3,5,7B.5,12,13C.1,1,72D,6,8,10

9.二次函数y=ax2+bx+c（aWO）的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）

A.4a+b=0B,a+b>0C.a回c=-l回5D.当-1WXW5时，y>0

二、填空题

10.某函数具有下列性质：①图像在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量X的增大而增大.则其函

数解析式可以为.

11.如果关于X的一元二次方程式—4x+3m=0有两个不相等的实数根，则根的取值范围是.

12.己知A(1,%),3(—2,%),4—后,%)在函数V=；X?的图像上，则%,%，%的大小关系是.

13.平面直角坐标系中，已知点A(-3,2),B(x,y),且AB〃尤轴，若点5到V轴的距离是到x轴距离的2倍，则

点B的坐标为.

14.某药品经过两次降价，每瓶零售价由58元降为43元.已知两次降价的百分率均为x则应列出方程

(列出方程即可，不要解方程)

15.如图，在NE4厂中，NfiAb=90°.以点A为圆心，”的长为半径作砂，点C为砂的中点，过点C作

。，■交诙于点。，再以点A为圆心，AD的长为半径作交AE于点及若AE=Ab=40，则图中

阴影部分的面积为.

16.质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表:

抽查的头盔数10020030050080010003000

合格的头盔数951892894797699602880

rn

合格头盔的频率一0.9500.9450.9630.9580.9610.9600.960

n

请估计该工厂生产5000个头盔，合格的头盔数有个.

17.如图所示，AB是。O的直径，弦CD，AB于H,ZA=30°,CD=26,则OO的半径是.

三、解答题

18.用适当的方法解下列方程:

(1)2/—5%+3=0

⑵/=2岳-2

19.问题：如图，是।。的直径，点C在。内，请仅用无刻度的直尺，作出VA3C中边上的高.

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程.

作法：如图,

①延长AC交（一0于点，延长3c交。。于点E；

②分别连接AE，BD并延长相交于点F；

③连接并延长交AB于点

所以线段“即为VA5C中边上的高.

（1）根据小芸的作法，补全图形；

（2）完成下面的证明.

证明：钻是；。的直径，点、D,E在；.。上，

:.ZADB=ZAEB^°.（）（填推理的依据）

:.AE±BE,BD±AD.

.-.AE,是A48C的两条高线.

AE,所在直线交于点F,

直线R?也是VA3C的高所在直线.

；.CH是VABC中边上的高.

20.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，DE//AC,CE//BD,DE、CE交于E.

（1）求证：四边形OCED是矩形；

（2）若菱形43。£）的边长43=2,ZBAD=120°,求矩形OCED的周长.

21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=^^+氏+0（。。0）与无轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,直

线丁=近+〃（左/0）经过8,C两点,已知A（l,0）,C（0,3）,MBC=5.

（2）分别求出直线和抛物线的解析式.

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B,C,尸三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.如图，公路脑V和公路PQ在点P处交汇，且NQ/W=30。，点A处有一所中学，AP=160m.假设汽车行

驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么汽车在公路上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？

请说明理由.如果受影响，己知汽车的速度为54km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？

23.随着中考时间越来越近，学生的压力也越来越大.某校为了解本校九年级学生的压力情况，设计了一份调查

问卷，对该校所有九年级的学生进行调查，并随机抽取部分调查结果，通过分析可将本校九年级学生的压力情况

归纳为A（非常大），B（比较大），C（正常），D（没有压力）四种类型.具体分析数据如下统计图：

（1）本次抽查的学生总人数为,在扇形统计图中，a='

（2）请把条形统计图补充完整.

（3）若感觉压力非常大的同学中有两名女同学，三名男同学,从中随机抽取两名同学进行心理疏导，求抽到的两

名同学恰好是一男一女的概率.

24.实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一.某同学作了2次实心球训练.第一次训练中实心球

行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，掷出时起点处高度为1.6m,

当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3.4m处.

(2)该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：y=-0.125(%-4)2+3.6,记第一

次实心球从起点到落地点的水平距离为4,第二次实心球从起点到落地点的水平距离为4，则4

d2.(填“=”或).

25.如图，A,D,E三点在同一直线上，N1=N2,/3=/4.

(1)求证：AB=AC；

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=。f+法_3与x轴交于两点A(-1,0)和3(3,0),与y轴交于点C,

抛物线上有一动点P,抛物线的对称轴交无轴于点E,连接EC,作直线3C.

(1)求抛物线的解析式；

S2

(2)若点P为直线3c上方抛物线上一动点时，连接P8,PC,当^^=金时，求点P坐标;

,△PBC3

(3)如果抛物线的对称轴上有一动点。，x轴上有一动点M是否存在四边形PQCN是矩形？若存在，在横线上

直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由.

27.图，AB=AC=AD,ZBDC=135°.

(1)如图1,求ZB4c的度数；

(2)如图2,连3C,过C作直线/LAC,P点在直线/上，连"，在线段"上截取AE=AB,连此交线段

AC于尸，求证：PA-PC=AF；

(3)在(2)的条件下，连CE,若BE=6,直接写出四边形A5CE的面积为.

28.【阅读思考】

在平面直角坐标系X0V中，点A8的坐标分别(a,0),(0,9且就片0,点尸是平面内一点，连接

AP,BP,OP.定义：在上述条件下，若△AOPsgOB,则称点尸是48的智慧点，记作尸(A*B).

【初步探究】

(1)如图1,48分别在x轴、y轴的正半轴上.

①若a=4,b=2,P(2,2),求证：点尸是48的智慧点；

②若P(A*3),用含a,b的式子表示点P的坐标.(直接写出答案)

【理解应用】

⑵若P(A*3),a=-2b(b>0),且LBP=5,求)的值.

【拓展迁移】

(3)若a=—1,Z?=l,点C(0,3),且△APfis/XBpe,求点尸的坐标.

北京市2023-2024学年九年级上学期

期末考试数学模拟卷

一、单选题

1.若方程5）=19的两根为。和6,S.a>b,则下列结论中正确的是（）

A.。是19的算术平方根B.b是19的平方根

c.a—5是19的算术平方根D.6+5是19的平方根

【答案】C

【分析】本题主要考查了根据求平方根的方法解方程，求一个数的算术平方根和平方根，先解方程得到

a=5+晒,b=5-M，再根据平方根和算术平方根的定义求解即可.

【详解】解：•••（％—5）2=19,

x-5=±M，

•••a=5+V19,b=5-M，

，a-5=M，b+5=10-M，

5是19的算术平方根，

.••四个选项中只有C选项说法正确，符合题意，

故选：C.

2.对于任何实数/I,抛物线>=-%2与抛物线y=—的相同点是（）

A.形状与开口方向相同B.对称轴相同

C.顶点相同D,都有最低点

【答案】A

【分析】根据抛物线的图象与性质即可解答；

【详解】解：对于任何实数限抛物线y=*与抛物线y=-（x-"）2的相同点是形状与开口方向相同，

抛物线y=一尤2的对称轴是y轴，顶点是原点，有最高点（0,0）；

抛物线y=-（X-始2的对称轴是直线x=/2,顶点是（〃，0）,有最高点（h,0）；

故选：A

【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，属于基础题目，熟练掌握抛物线的图象与性质是关键.

3.下列交通标志图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

【答案】B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形

的定义.

4.如图，已知48是半圆。的直径，点C,。将A3分成相等的三段弧，点尸在AC上.若点。在A3上,

ZAPQ^a,对于下列三个结论判断正确的是（）

结论I：若点。在的中点处，则a=145。；

结论H：当点。在30上时，a的最小值为90°；

结论III：若a=115°,则点。在上.

A.I和III都对B.I和II都不对C.II对III不对D.I不对III对

【答案】A

【分析】根据圆内接四边形的定义可判断结论I;圆周角定理可判断结论II；根据/人尸。=115。找到所对应的弧以

及弧所对应的圆心角找到NAOQ的度数即可确定。所在位置.

【详解】解：连接

:点。在C。的中点处,

则ACQ的度数为90°,

ZABQ=45°,

:四边形ABQP是圆内接四边形，

/.a=ZAPQ=l?,Qo-ZABQ=135°,故结论I成立;

连接BQ,PB,

当P、8重合时，

ZAPQ=ZAPB=90°,

/.”的最小值为90°；故结论II成立；

：ZAPQ=U5°,

：.NAPQ所对应优弧ABQ，

..•根据圆周角定理易知优弧所对圆心角为230。,

则劣弧AP。所对应圆心角乙4。。=130。，

VC。为A3的三等分点,

ZAOD=12.0°

故。应位于£）5上，故结论III成立；

故选：A.

【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，注意区分优弧和劣弧在圆上对应不同的圆周角以及圆心角是解题

关键.

5.如图，在VA3C中，AB=AC,AE是/BAC的平分线，点D是线段AE上的一点（不包括端点），则下列结论

不正确的是（）

A

A.AEXBCB.ABED^ACEDC.BAZ泾CADD.AABD^ADBE

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质三线合一和全等三角形的判定，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以

解答本题.

【详解】解：；在^ABC中，AB=AC,AE是/BAC的平分线，

.,.AEXBC,故选项A不符合题意；

BE=CE,ZDEB=ZDEC=90°,ZBAD=ZCAD

DE=DE

在ABED和ACED中，＜ZDEB=ZDEC

BE=CE

ABED部八CED,故选项B不符合题意；

AB=AC

△BAD和ACAD中，＜ZBAD=ZCAD

AD=AD

BAD^CAD,故选项C不符合题意

题目中所含条件无法证明AABD^ADBE,故选项D符合题意

故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

6.如图，C、。是以AB为直径的圆。上的两个动点（点C、。不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持

不变，M是弦的中点，过点C作CPLA5于点P.若CD=3,AB=5,PM=x,则x的最大值是（）

A.3B.45C.2.5D.273

【答案】C

【分析】如图：延长CP交。。于N,连接ON,易证尸DN,所以当DN为直径时，的值最大.

2

【详解】解：如图：延长。交（。于N,连接。N.

AB±CN,

:.CP=PN,

CM=DM,

:.PM=-DN,

2

二当ON为直径时，尸M■的值最大，最大值为之.

2

故选：C.

【点睛】本题考查是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造三角形中位线解决问题.

7.如图是一个指针可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，随机转动指针，指针落在阴影区

)

111

A.-B.-C.一D.-

6236

【答案】B

【分析】根据题意结合概率公式计算即可.

【详解】•••正六边形被分成相等的6份，阴影部分占3份,

31

/.指针落在阴影区域内的概率是一=一.

62

故选B.

【点睛】本题考查简单的概率计算.熟记概率公式是解答本题的关键.

8.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.3,5,7B.5,12,13C.1,1,收D.6,8,10

【答案】A

【详解】A、32+52/72,不能作为直角三角形的三边长，本选项符合题意；

B、52+122=132；C、12+12=（V2）2;D、62+82=102,均能作为直角三角形的三边长，不符题意,

故选A.

9.二次函数y=ax?+bx+c（aWO）的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）

A.4a+b=0B,a+b>0C.a团团5D.当-1WXW5时，y>0

【答案】D

【详解】A-.•抛物线对称轴为直线x=2,匚=2,即b=-4a,贝U4a+b=0,选项错误；

2a

B.：抛物线过点开口向下，.•e<（）,则a+b=-5a>0,选项错误；

C.：抛物线过点（-1,0）,；.a—b+c=O,则5a=-c,即a：c=-l：5,选项错误；

D.当-lWxg5时，y>0,错误，应该是当TWx/5时，y>0,选项正确.

故选D.

【点睛】二次函数图像与系数的关系：（1）二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a>0时，抛物线开口向上；

当a<0时，抛物线开口向下；

（2）抛物线的对称轴为直线x=-B.

2a

二、填空题

10.某函数具有下列性质：①图像在二、四象限内；②在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.则其函

数解析式可以为.

【答案】y=--（答案不唯一）

X

【分析】本题考查了反比例函数的性质.根据题意作答即可.

【详解】根据题意可得此函数可以是反比例函数，并且左<0,

2

所以函数解析式可以为：y=—-，

x

故答案为y=-2（答案不唯一）

X

11.如果关于X的一元二次方程%2—4%+3根=0有两个不相等的实数根，则M的取值范围是.

4

【答案】m<-

3

【分析】根据题意一元二次方程有两不相等实根，则有V=〃-4ac=16-12机>0,然后解得机的取值范围.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程好―4%+3相=0有两个不相等的实数根，

V=Z?2—4«c=16—12m>0，

4

TTl<—j

3

4

故答案为：m<—

3

【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求解参数的取值范围.一元二次方程依2+云+。=09工0)有两个不

相等的实数根，贝UA=〃—4〃°>0;有两个相等的实数根，则A=〃—44=0；没有实数根，则△=〃—4QCV0.

12.己知A(l,%),3(—2,y2),C(-V2,%)在函数y=的图像上，则%,%，%的大小关系是.

【答案】

1,

【分析】根据二次函数解析式可得二次函数y=的图象开口向上，对称轴为y轴，则当了<0时，y随x的增

大而减小，且当x=l时和x=—1时的函数值相等，由此求解即可.

【详解】解：：二次函数解析式为y=-V

4

1,

.♦.二次函数y=—的图象开口向上，对称轴为y轴，

4

，当％<0时，y随x的增大而减小，且当尤=1时和x=—1时的函数值相等，

%<%<%•

故答案为：%<%<%•

【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，二次函数的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像

的性质.

13.平面直角坐标系中，已知点A(-3,2),B(x,y),且AB〃x轴，若点3到V轴的距离是到x轴距离的2倍，则

点B的坐标为.

【答案】(4,2)或(-4,2)

【分析】根据AB平行x轴，两点的纵坐标相同，得出产2,再根据点3到丁轴的距离是到x轴距离的2倍，得出

忖=2'=4即可.

【详解】解：：点4—3,2),B(x,y),且A8〃x轴，

；.y=2,

•.•点B到y轴的距离是到X轴距离的2倍,

|=2y=4,

x=±4,

：.B（-4,2）或（4,2）.

故答案为（-4,2）或（4,2）.

【点睛】本题考查两点组成线段与坐标轴的位置关系，点到两轴的距离，掌握两点组成线段与坐标轴的位置关

系，与x轴平行，两点纵坐标相同，与y轴平行，两点的横坐标相同，点到两轴的距离，到x轴的距离为|y|,至Uy轴

的距离是因是解题关键.

14.某药品经过两次降价，每瓶零售价由58元降为43元.已知两次降价的百分率均为尤则应列出方程

（列出方程即可，不要解方程）

【答案】58（1-域=43

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分

率）.

【详解】解：由题意得，58（1-%）2=43,

故答案为：58（l-x）2=43.

15.如图，在々X尸中，NBAF=90°.以点A为圆心，AF的长为半径作砂，点C为防的中点，过点。作

。£），川交斯于点。，再以点A为圆心，AD的长为半径作交AE于点3.若AE=AE=4j5，则图中

阴影部分的面积为.

【答案】8

【分析】连接AC,根据题意，S阴影=S扇形ACE+SAACO—S扇形ABD,由扇形面积公式，只要求出扇形ACE和扇形A8O的

圆心角和A。、O的长即可，而点。为砂的中点，再结合题目中的数据即可求出答案.

【详解】解：如图，连接AC,•.•点C是跖的中点，ZEAF=90°,AZC4Z）=45°.

•••CD±AF,AC=AE=4应，

AD=AC-cos45°=4.

45x»x(4A/2)21//90x^x42)。。

S阴影二S扇形ACE+SaACZ)-S扇形ABD二----------二-x4x4--------------=4乃+8-4乃=8・

360--2+360

【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数和扇形面积的计算，熟知扇形面积公式、连接

AC得出S阴影=S扇形ACF+SAAC。一S扇形ABD是解题的关键.

16.质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表:

抽查的头盔数10020030050080010003000

合格的头盔数951892894797699602880

VY1

合格头盔的频率一0.9500.9450.9630.9580.9610.9600.960

n

请估计该工厂生产5000个头盔，合格的头盔数有个.

【答案】4800

【分析】用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可.

【详解】解：估计该工厂生产5000个头盔，合格的头盔数有5000x0.96=4800（个）.

故答案为：4800.

【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在概率附近左右摆动，并且随实验

次数的增加摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值

就是这个事件的概率，正确理解频率估计概率是解决本题的关键.

17.如图所示，AB是。。的直径，弦CDLAB于H,NA=30°,CD=26,则。。的半径是.

【分析】连接BC,由圆周角定理和垂径定理得出NAC3=90°,CH=DH=-CD=^3,由直角三角形的性质

2

得出AC=2CH=26,AC=6BC=26,AB=2BC,得出3C=2,AB=4,求出。4=2即可.

【详解】解：连接BC,如图所示：

：AB是。。的直径，弦于H,

ZACB=90°,CH=DH=gcD=』

ZA=30°,

AC=2CH=243，

在MAABC中，ZA=30°,

:.AC=0BC=2&AB=2BC-

BC^2,AB=4,

OA=2,

即。。的半径是2；

故答案为2

【点睛】考查的是垂径定理、圆周角定理、含30。角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定

理和垂径定理是解题的关键.

三、解答题

18.用适当的方法解下列方程:

（1）2X2-5X+3=0

（2）X2=2A/2X-2

3

【答案】(1)x=—,x=1；

l22

(2)x1=x2=-\/2.

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键.

(1)利用因式分解法解方程即可；

(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可.

【小问1详解】

解：V2X2-5X+3=0.

.•.(2x-3)(x-1)=0,

2x—3=0或x—1=0,

3

解得药=5,x2=i；

【小问2详解】

解：原方程整理得2缶+2=0，

•••（X-V2）2=0，

解得%[=x2=5/2.

19.问题：如图，是O的直径，点C在（。内，请仅用无刻度的直尺，作出VA3C中边上的高.

小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程.

作法：如图，

①延长4。交（。于点。，延长3C交。。于点E；

②分别连接AE，5D并延长相交于点F；

③连接FC并延长交AB于点H.

所以线段“即为VA3C中边上的高.

（1）根据小芸的作法，补全图形；

（2）完成下面的证明.

证明：是：。的直径，点。，E在。上，

：.ZADB=ZAEB=°.（）（填推理的依据）

:.AEYBE,BD±AD.

..AE,是AABC的两条高线.

AE，班）所在直线交于点尸，

二直线PC也是VA5C的高所在直线.

是VA5C中边上的高.

【答案】（1）见解析（2）90,直径所对的圆周角是直角，BD

【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可；

（2）根据圆周角定理可知NAD6=NAE3=90°,进而可得AE，8。是VA5C的两条高线，再根据三角形的

三条高线所在直线交于一点即可证明.

【小问1详解】

解：补全后图形如下所示:

【小问2详解】

证明：是。O的直径，点。，E在。上，

:.ZADB=ZAEB=9Q°.（直径所对的圆周角是直角）

:.AE±BE,BD±AD.

.-.AE,3D是VA3C的两条高线.

AE，3D所在直线交于点尸，

直线也是VABC的高所在直线.

.♦.CH是VA3C中A3边上的高.

故答案为：90,直径所对的圆周角是直角，BD.

【点睛】本题考查圆周角定理以及三角形高线的特点，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，以及三角形

的三条高线所在直线交于一点.

20.如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，DE//AC,CE//BD,DE、CE交于E.

（1）求证：四边形OCED是矩形；

（2）若菱形43。£）的边长/13=2,ZBAD=120°,求矩形OCED的周长.

【答案】（1）见解析（2）矩形OCED的周长为2（6+1）

【分析】（1）易证四边形OCED为平行四边形，菱形对角线互相垂直，根据有一个内角为90。的平行四边形可以证

明四边形为矩形；

（2）解直角三角形求出OD、OC即可解决问题；

【小问1详解】

证明：CE//BD,

/.四边形OCED是平行四边形，

：。是菱形ABCD的对角线的交点,

ZCOD=90°,

，四边形OCEO是矩形；

【小问2详解】

在菱形ABCD中，

由ABAD=120°可知ZABC=60°，

/.AABC是等边三角形，

AB=AC=2，

OC=1,DO—BO=V22—I2=A/3，

/.矩形OCED的周长=2（73+1）.

【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，矩形的判定，菱形各边长相等的性质，本题中求得OC,OD

的值是解题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=依2+反+。（。00）与无轴相交于A,B两点，与y轴相交于点C,直

线丁=米+”（左wO）经过3,C两点，已知A（l,o）,C（0,3）,且BC=5.

（2）分别求出直线和抛物线的解析式.

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B,C,尸三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出

点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（4,0）

,、3c3215c

(2)y——x+3,y——x-----x+3

444

（3）存在,

【分析】（1）由OC=3,BC=5,可由勾股定理求08,进而得点8坐标;

(2)用待定系数法即可求解函数解析式；

(3)设点尸坐标为■，机］,分三类讨论：①当/PC8=90。时；②当/。5。=90。时；③当/6PC=90。时，分

别建立勾股定理方程求解点P坐标即可.

【小问1详解】

解：：点C(0,3),即0C=3.

,/BC=5,

在RtBOC中，根据勾股定理得OB=7BC2-OC2=4，

即点8坐标为(4,0).

【小问2详解】

把6(4,0)、。(0,3)分别代入丁=依+"中，

「(3

4k+n=0k=~~

得《。，解得＜4.

〃二3。

i［n=3

3

・•・直线5C解析式为y=——x+3；

4

把4(1,0)、5(4,0)、C(0,3)分别代入)=改2+"+0得

3

Cl——

a+Z?+c=04

<16〃+4b+c=0,解得<b=~—

4

c=3

c=3

315

・•・抛物线的解析式是y=：%?2—x+3.

■44

【小问3详解】

在抛物线的对称轴上存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下:

315

V抛物线的解析式是y=—必--x+3,

-44

抛物线对称轴为直线x=-*h=:5.

2a2

设点P坐标为［I',.

①当NPCB=90°时，有BP?=BC?+PC?.

VBP2=|^4-1^|+m，PC2=+(m-3)2-BC2=25-

=图+(机-3)2+25,

19

解得:m=—

3

519

故点々

②当NPBC=90°时，有PC2=PB2+BC2.

"：PC2=+(m—3)2,PB2=(^4-1^|+m2,BC2=25，

・•,[gj+(m—3)2=(4—g[+m+25,

解得：rn——2,

故点E—2];

③当NBPC=90°时，有BC~=BP2+PC~.

■：PC2=+(771—3)2,P82=[4_|]+m2,BC?=25,

•••25=[4—g]+m2+^+(m-3)2.

解得：叫=3+心3-276

但3+2娓'"53-2⑹

••32’2-*4□~~2J

z7

5195T或[

综上所述，使得，为直角三角形的点尸的坐标为或或

BCP2'T□2J

【点睛】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度

不大.第（3）问特别注意分类讨论思想的运用.做到不重不漏.

22.如图，公路脑V和公路P。在点尸处交汇，且/Q/W=30。，点A处有一所中学，AP=160m.假设汽车行

驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么汽车在公路上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？

请说明理由.如果受影响，已知汽车的速度为54km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？

Q

【答案】学校会受到噪声影响；理由见解析；学校受影响的时间为8秒

【分析】过点A作AB，PN于点3,则可得A6=80m,从而可判断学校会受到影响；设从点E开始学校学到

影响，点F结束，则易得从而BE=BF,由勾股定理可求得破的长，从而得跖的长，由路程、速

度与时间的关系即可求得学校受影响的时间.

【详解】解：如图，过点A作ABLPN于点8,

/.AB=^AP=12Q（m）,

80m<120m,

学校会受到噪音的影响；

设从点E开始学校学到影响，点/结束，则AE=AF=100m,

,/AB=AB,

ARtABE2RtABF,

:•BE=BF,

由勾股定理得：BE=ylAE--AB~=A/1002-802=60（m），

EF=2BF=120m,

:汽车的速度为18m/s,

受影响的时间为：180+15=8（s）

【点睛】本题是直角三角形性质的应用，考查了含30度角直角三角形的性质，直角三角形全等的判定与性质，勾

股定理的应用等知识，把实际问题转化为数学问题是本题的关键与难点.

23.随着中考的时间越来越近，学生的压力也越来越大.某校为了解本校九年级学生的压力情况，设计了一份调查

问卷，对该校所有九年级的学生进行调查，并随机抽取部分调查结果，通过分析可将本校九年级学生的压力情况

归纳为A（非常大），B（比较大），C（正常），D（没有压力）四种类型.具体分析数据如下统计图：

人数

(1)本次抽查的学生总人数为,在扇形统计图中，«=

(2)请把条形统计图补充完整.

(3)若感觉压力非常大的同学中有两名女同学，三名男同学，从中随机抽取两名同学进行心理疏导，求抽到的两

名同学恰好是一男一女的概率.

【答案】⑴50；108

3

(2)见解析(3)-

【分析】(1)根据样本容量=频数+所占百分数，求得样本容量后，根据扇形统计图的意义解答即可.

(2)利用频数之和等于样本容量计算即可.

(3)利用画树状图计算即可.

【小问1详解】

本次抽样调查的样本容量是一色=50,

20%

故答案为：50.

参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为。=360°x—=108°；

50

故答案为：108.

【小问2详解】

设三个女生分别为4,32,员，两个男生分别为81，»2,画树状图如下:

开始

123

恰好取到一男和一女的概率是一=

205

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题

的关键.

24.实心球是北京市初中体育学业水平现场考试选考项目之一.某同学作了2次实心球训练.第一次训练中实心球

行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间函数关系如图所示，掷出时起点处高度为1.6m,

当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3.4m处.

(2)该同学第二次训练实心球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系：y=-0.125(%-4)2+3.6,记第一

次实心球从起点到落地点的水平距离为4,第二次实心球从起点到落地点的水平距离为乙，则4

d2.(填"=”或).

19

【答案】(1)y=——3)+3.4

(2)<

【分析】(1)由图可知c=L6,顶点坐标为(3,3.4),设二次函数表达式为y=a(x—3)2+3.4,由此即可求解；

(2)令(1)中抛物线的解析式>=0,且％>0,解方程，得出4=市+3,令第二次训练的函数解析式>=0,

且x>0,解方程，得出4=J^*+4,即可求解.

【小问1详解】

解：根据题意设丁关于x的函数表达式为y=«(x-3)2+3.4,

把(0,L6)代入解析式得，1.6=a(0-3)2+3.4,

解得，a=——

19

y关于X的函数表达式为y=--(x-3)+3.4.

小问2详解】

根据题意，令y=0,且无＞0,

1,

/.0=--(x-3)+3.4,

解得，F=JF7+3,x,=—\/17+3(舍去)，

0=-0.1250-4)2+3.6

解得，石=J28.8+4,%=_j28.8+4(舍去)，

••-4=717+3,t/2=728^8+4

***di<d2♦,

故答案为：<.

【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用及待定系数法确定解析式，掌握二次函数的性质及求解是解题的关

键.

25.如图，A,D，E三点在同一直线上，Zl=Z2，/3=/4.

（1）求证：AB=AC-,

（2）求证：AEYBC.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据已知中的条件两角夹边可判定△AQC04AQB,由全等三角形的性质可得AB=AC；

（2）由AB=AC和Nl=/2可得AE_L8c.

【详解】解：（1）证明：23=24,

:.ZADB=ZADC,

在A4DB和AADC中，

21=Z2

<AD=AD,

ZADB=ZADC

:./^ADC=AADB(ASA),

AB=AC；

(2)证明：在/ABC中，AB=AC,N1=N2,

.-.AE±BC.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握这些性质和

判定是解决问题的关键.

26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=奴2+法-3与X轴交于两点A(-1,0)和3(3,0),与y轴交于点C,

抛物线上有一动点P,抛物线的对称轴交无轴于点E,连接EC,作直线3c.

(1)求抛物线的解析式；

S2

(2)若点P为直线3C上方抛物线上一动点时，连接当黄^=鼻时，求点P坐标；

,△PBCJ

(3)如果抛物线的对称轴上有一动点。，无轴上有一动点N,是否存在四边形PQCN是矩形？若存在