2025年高考数学复习之复数

2025年高考数学复习热搜题速递之复数(2024年7月)

--.选择题(共10小题)

1.设z=+2工贝！J|z|=()

1

A.0B.-C.1D.V2

2

2.右。为头数，且,一3+工则。=()

l+i

A.-4B.-3C.3D.4

3.下列各式的运算结果为纯虚数的是()

A.i(1+z)2B.z2(1-z)C.(1+z)2D.i(1+z)

4.设z=l+2i’则因()

A.2B.V3C.V2D.1

5.己知z=(ZTI+3)+(m-1)z.在复平面内对应的点在第四象限，则实数相的取值范围是()

A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+°°)D.(-8,-3)

6.设(1+z)x=l+yi,其中x,y是实数，则|x+yi|=()

A.1B.V2C.V3D.2

若z=4+3i,则言=()

7.

4343

A.1B.-1C.一+TD.----i

5555

8.若复数z满足(3-40z=|4+3i|,则z的虚部为()

44

A.-4B.VC.4D.-

5

9.若复数(1-z)(〃+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数〃的取值范围是()

A.(-1)B.(--1)C.(1,+8)D.(-L+°°)

10.设(1+2/)(a+i)的实部与虚部相等,其中。为实数，则a等于()

A.-3B.-2C.2D.3

二.填空题(共5小题)

11.设复数Zl,Z2满足|zi|=|z2|=2,Zl+Z2=遮+工则|zi-Z2|=_____—

.，是虚数单位，则用的值为一

12

a—i

13.已知尤R,,•为虚数单位,若如为实数,则〃的值为——

14.，是虚数单位，复数

l+2l

15.i是虚数单位，若复数(l-2z)Q+i)是纯虚数，则实数a的值为.

三.解答题(共5小题)

16.已知复数z满足|z|=a,z2的虚部为2.

(1)求复数z；

(2)设z、2、Z-Z?在复平面上的对应点分别为A、B、C,求△ABC的面积.

17.已矢口复数z=3+沅3左R),且(l+3i)・z为纯虚数.

(1)求复数z及2;

(2)若3=］工，求复数3的模3|.

18.已知z为复数，z+2i和3均为实数，其中i是虚数单位.

2—1

(I)求复数Z；

(II)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

19.已知复数zi=l-2i,z2=3+4i,i为虚数单位.

(1)若复数zi+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；

⑵若z=2求z的共软复数斤.

z2

20.已知z是复数，z+2i与M均为实数.

(1)求复数z；

(2)复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

2025年高考数学复习热搜题速递之复数(2024年7月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.设z=]+j+2i,则|z|=()

1L

A.0B.-C.1D.V2

2

【考点】复数的模；复数的运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】C

【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模.

【解答】解：z=号+2i=二!+2=-i+2i=i,

则|z|=l.

故选：C.

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力.

2+ai

2.若a为实数，且一-=3+i,则a=()

l+i

A.-4B.-3C.3D.4

【考点】虚数单位i、复数.

【专题】数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】D

【分析】根据复数相等的条件进行求解即可.

2+ai

【解答】解：由--=3+i,得2+山=(1+z)(3+力=2+4/,

l+i

则〃=4,

故选：D.

【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础.

3.下列各式的运算结果为纯虚数的是()

A.i(1+z)2B.r(1-z)C.(1+z)2D.i(1+z)

【考点】纯虚数；复数的运算；虚数单位i、复数.

【专题】转化思想；数系的扩充和复数.

【答案】C

【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论.

【解答】解：A.i(1+z)2=?2Z=-2,是实数.

B.r(1-/)=-1+z,不是纯虚数.

C.(1+z)2=2i为纯虚数.

D.i(1+z)=i-1不是纯虚数.

故选：C.

【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.设2=白去，贝!J|z|=()

A.2B.V3C.V2D.1

【考点】复数的模.

【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数.

【答案】C

【分析】直接利用复数商的模等于模的商求解.

【解答】解：由2=得，得团=1卷=品!i==&

故选：C.

【点评】本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题.

5.已知z=(机+3)+(w-1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数机的取值范围是()

A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+8)D.(-8,-3)

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数.

【答案】A

【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可.

【解答】解：z=(777+3)+Un-1)i在复平面内对应的点在第四象限，

可得：［m+3＞°,解得-3＜租＜1.

1m—1VO

故选：A.

【点评】本题考查复数的几何意义，考查计算能力.

6.设(1+z)x=l+yi,其中x,y是实数，则|x+yi|=()

A.1B.V2C.V3D.2

【考点】复数的模.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】B

【分析】根据复数相等求出x,y的值，结合复数的模长公式进行计算即可.

【解答】解：：。+力x=l+yi,

.,.x+xi—1+yi,

即［［；，解得二;，BPM=|1+/1=V2,

故选：B,

【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出尤,y的值是解决本题的关键.

Z

7.右z=4+3i,则77=()

4343

A.1B.-1C.一十一，D.---i

5555

【考点】共物复数；复数的运算.

【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数.

【答案】D

【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可.

z4-3i4-3i43

【解答】解：z=4+3i,则77=...=~T-~~~~i-

|z||4A+3oi|555

故选：D.

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力.

8.若复数z满足（3-4力z=|4+3i|,则z的虚部为（）

44

A.-4B.一言C.4D.-

55

【考点】复数的除法运算.

【专题】数系的扩充和复数.

【答案】D

【分析】由题意可得2=号察=息，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为|>由此

3-3—4155

可得Z的虚部.

【解答】解：•••复数Z满足（3-4i）z=|4+3i|,；.Z=中卵=昌=5（%旬=,+

4

故Z的虚部等于E，

故选：D.

【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题.

9.若复数(1-0(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()

A.(-8,1)B.(-°°,-1)C.(1,+8)D.(-1,+8)

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】转化思想；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】B

【分析】复数(1-/)(a+力=a+l+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限，可得解得

(1-a>0

a范围.

【解答】解：复数(1-z)(4+力=4+1+(15)i在复平面内对应的点在第二象限，

fa+1<0月…一

•!,斛得-1.

11-a>0

则实数。的取值范围是(-8,-1).

故选：B.

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基

础题.

10.设(1+2力(〃+力的实部与虚部相等，其中〃为实数，则〃等于()

A.-3B.-2C.2D.3

【考点】复数的乘法及乘方运算.

【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数.

【答案】A

【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可.

【解答】解：(1+2，)(a+i)=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等，

可得：〃-2=2〃+1,

解得a=-3.

故选：A.

【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力.

二.填空题(共5小题)

11.设复数zi,Z2满足Izi|=|z2|=2,Z1+Z2=V3+Z,则|ZLZ2|=_2A/3_.

【考点】复数的模.

【专题】计算题；转化思想；分析法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用复数模的计算公式和复数的运算性质，求解即可.

【解答】解：复数zi,Z2满足卬=阂=2,Z1+Z2=百+i,所以|ZI+Z2|=2,

,,IZ1+z2|2=CZ1+Z2).Z]+Z2—4,

8+z1药+Z7Z2=4.得Zi为+z^z2=—4.

|zi-z2『=8-(+z[z2)=12.

又|Z1-Z2|>O,故|Z1-Z2|=2k.

故答案为：2g.

【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式是解题的关键.

12.i是虚数单位，则||，|的值为_反_.

【考点】复数的运算；复数的模.

【专题】计算题；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算.

【解答】解：由题意，可知：

5-i(57)(1)5-61+产_

1+i(l+i)(l—i)1-建

••.|芸|=|2-3z|=J22+(—3)2=V13.

故答案为：V13.

【点评】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算.本题属基础题.

CL—1

13.已知a€R,i为虚数单位，若一：为实数，则。的值为-2.

2+1-----------

【考点】复数的除法运算.

【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】运用复数的除法法则，结合共轨复数，化简匕，再由复数为实数的条件：虚部为0,解方程

2+1

即可得到所求值.

【解答】解：a&R,i为虚数单位，

ci—i(ci—f)(2—f)2a—1—(2+a)i2Q-12+a

2+i(2+i)(2—i)4+1—5—5

CL—l

由「为实数，

可得—牛=0,

解得a=-2.

故答案为：-2.

【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共辗复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0,考查

运算能力，属于基础题.

14.i是虚数单位，复数丝4=4-z.

1+21-------------

【考点】复数的运算.

【专题】计算题；对应思想；定义法；数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据复数的运算法则计算即可.

6+7i(6+7i)(l-2i)6+14+7i-12i20-5i

【解答】解:

l+2i(l+2i)(l-2i)-55

故答案为：4-i

【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题.

15.i是虚数单位，若复数(1-20(«+z)是纯虚数，则实数。的值为-2.

【考点】纯虚数；虚数单位i、复数.

【专题】数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于0且虚部不等于0求得。的值.

【解答】解：由(1_2z)(a+i)—(a+2)+(1-2a)i为纯虚数，

得椁+广工，解得：a=-2.

11—2aW0

故答案为：-2.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题.

三.解答题(共5小题)

16.已知复数z满足|z|=&,z?的虚部为2.

(1)求复数z；

(2)设z、z-z?在复平面上的对应点分别为A、B、C,求△ABC的面积.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模.

【专题】综合题；对应思想；转化法；数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)设2="4(a,6CR),由已知列关于a,b的方程组，求解可得复数z；

(2)分类求得A、B、C的坐标，再由三角形面积公式求解.

【解答】解：(1)设z=a+bi(a,Z?£R),

由已知可得：朦｝厂佟即｛::呼=2，

解得｛、；或忆二

.,.z=l+i或z=-1-i；

(2)当z=l+z.时，Z2=2Z,Z-z2=l-i,

：.A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

i

故△ABC的面积S=2x2X1=1；

当z=T-i时,Z2=2Z,Z-Z2=-1-3z,

AA(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),

故△ABC的面积S=2x2义1=1.

.♦.△ABC的面积为1.

【点评】本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积

的求法，考查运算能力，属于中档题.

17.已知复数z=3+bi(Z?CR),且(l+3i)・z为纯虚数.

(1)求复数z及2；

(2)若3=1工，求复数3的模|3|.

【考点】共施复数；复数的运算；虚数单位i、复数.

【专题】转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)把z=3+bi(66R)代入(l+3/)-z,利用复数代数形式的乘除运算化简结合已知条件即可

求出复数z及2；

(2)利用复数代数形式的乘除运算化简3=1工，再由复数求模公式计算得答案.

【解答】解：(1)Vz=3+W(Z?eR),

，(1+3力・z=(1+31X3+瓦)=(3-36)+(9+6)i

又：(l+3i)・z是纯虚数,

...3-36=0,且9+bWO,

.*.z=3+z,z=3—i；

s、3+i(3+i)(2-07-i71.

⑵^=2+7=(2+0(2-0=~=5-5{

7-i71.

=-=5-5Z

，31=J(j)2+(-1)2=V2.

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是中档题.

18.已知z为复数，z+2i和三均为实数，其中i是虚数单位.

2—1

(I)求复数Z;

(II)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数。的取值范围.

【考点】复数的混合运算.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(/)设出复数的代数形式，整理出z+2z•和三，根据两个都是实数虚部都等于0,得到复数的

2—1

代数形式.

(〃)根据上一问做出的复数的结果，代入复数(z+出)2,利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标

准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0,解不等式组，得到结果.

【解答】解：(I)设复数z=a+bi(a,6CR),

由题意，z+2，=q+/?i+万=〃+(Z?+2)zGR,

.,./?+2=0,BPb=-2.

z(a+bi)(2+i)2a-b2b+a

又有二—5—+-------i£R,

55

2b+a=0,即a=-26=4.；.z=4-2i.

(II)由(I)可知z=4-2i,

,/(z+flz)2=(4-2i+ai)2=[4+(a-2)z]2=16-(a-2)2+8(A-2)i

对应的点在复平面的第一象限，

C16-(a-2)2>0

l8(a-2)>0

解得a的取值范围为2<a<6.

【点评】本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对

应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题.

19.已知复数zi=l-2i,z2=3+4i,i为虚数单位.

(1)若复数Z1+4Z2在复平面上对应的点在第四象限，求实数。的取值范围;

⑵若z=fl,求Z的共匏复数2.

z2

【考点】共辗复数；复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【答案】⑴实数。的取值范围是(J1);

(2)Z=­E+三乙

【分析】(1)根据题意化简Z1+Q22,由该复数在复平面上对应的点在第四象限列方程组求出。的取值范

围；

(2)化