中考数学专项复习：勾股定理（专项练习）（基础练）

专题3.2勾股定理（专项练习）（基础练）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

（22-23八年级下•四川广安•期末）

1.已知直角三角形的两直角边长分别为5和12,则此直角三角形斜边上的高长为（）

5,一1360

A.—B.6C.—D.—

2213

（22-23八年级下•海南省直辖县级单位•期中）

2.如图，在△4BC中，AC=2,ZB=45°,/C=30。，则8c的长度为（）

A.GB.2C.1+73D.3

（2024•江苏南通・中考真题）

3.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直

角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,

n（m>n）.若小正方形面积为5,（机+"『=21,则大正方形面积为（）

A.12B.13C.14D.15

（23-24八年级上•四川内江•期末）

4.如图：把长方形纸片N8CZ）折叠,使其对角线顶点。和8重合，若长4。=8,宽

C.10D.25

试卷第1页，共8页

（19-20八年级上•广东佛山•阶段练习）

5.如图，直线上有三个正方形4,b,c,若mb的面积分别为5和13,则。的面积为

A.4B.8C.12D.18

（23-24八年级下•黑龙江大庆•期中）

6.如图，一圆柱高8cm,底面半径为®cm,一只蚂蚁从点/爬到点8处吃食，爬行最短

路程是（）

A.6cmB.7cmC.10cmD.12cm

（22-23八年级上•浙江温州•期中）

7.著名画家毕加索的作品《女孩》中充满着几何图形，她手中所握的帆船模型就是我们熟

悉的三角形组合而成，如图，在中，AB=AD,AE±BD,若2c=10,8=6,贝I]

的值为（）

A.16B.24C.32D.60

（2024•浙江杭州•二模）

8.为抬高水平放置的长方体木箱N2CD的一侧（其中/8=2601）,在下方垫入扇形木块,

其中木块的横截面是圆心角为60。的扇形，假设扇形半径足够长，将木块推至如图所示位置，

/。=2用，则此时木箱B点距离地面高度为（）

试卷第2页，共8页

D

7"

60

A."mB.2mC.空2mD.鬲

3

（23-24八年级下•山东淄博•期末）

9.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行，甲南

行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点

出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步.乙一直向东走，甲先向南走10步，后

又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设甲走了x步,

则由题意下面所列方程正确的是（）

2

A.3x1I+102=(x-10)2B.+(10)2=102

2

c.7x||+102=(x-10)2D.+(x-10)2=102

（23-24八年级下•广东江门•期末）

10.2024年6月2日6时23分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持

下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区.组合体元件中有个展板的平面图如

图所示，在正方形中，E,尸分别是2C,上的点，DE,CR相交于点N是DF

的中点，若4F=1,CE=BF=2,则MV的长为（）

C.2D.V5

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（22-23八年级下•宁夏石嘴山•期末）

11.如图，在数轴上，以原点。为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点4则点

试卷第3页，共8页

（22-23八年级下•广西崇左•期中）

12.图中M代表的是所在的正方形的面积，则M的值是.

（22-23八年级下•山西大同•期末）

13.如图，ZUBC和AECD都是等腰直角三角形，CA=CB=3,CE=CD=3,△4BC的顶

点4在AECD的斜边DE上，则AE2+AD2的值为.

（23-24七年级上•黑龙江大庆•期末）

14.“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的

“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较

短直角边长为。，较长直角边长为从若=6,小正方形的面积为9,则大正方形的面积

（17-18八年级下•湖北黄冈・期末）

15.如图，某自动感应门的正上方/处装着一个感应器，离地43=2.5米，当人体进入感应

器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离

门1.2米的地方时（8C=1.2米），感应门自动打开，贝米.

试卷第4页，共8页

（2024•陕西西安•二模）

16.如图，有一截面为等腰三角形的古塔，塔基宽10m,塔共有4层，每层高3m,现要沿

塔面悬挂一巨幅广告，则广告的最大长度为（巨幅广告不能铺在地面上，也不能高

于塔顶）.

（23-24九年级上•四川成都・期末）

17.如图/MON=90。，在射线上取04=1,在射线05上取05=,连接N8,以

点A为圆心，04为半径画弧，交于点C,以B为圆心，8c为半径画弧，交OB于点、

18.如图所示，给定△ABC,将48绕点N旋转，使得点8与线段8c中点。重合，若

试卷第5页，共8页

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

⑵-24八年级下•河南郑州•期中）

19.如图，RtANBC中，ZC=90°,直线DE是边48的垂直平分线，连接BE.

⑴若NN=40。，求/CSE的度数；

（2）若/E=3,EC=1,求△/8C的面积.

（23-24八年级下•广东江门•期末）

20.如图Rtz\48C是一张直角三角形纸片示意图，ZC=90°.

（1）现将该纸片对折，使5c边落在边上，C的对应点为C',折痕为3。，请用尺规作图

作出5。及C',并连接。C'；（保留清晰作图痕迹，不必写作法与证明）

（2）在（1）的基础上，己知6cm,NC=8cm,请求出AD的长度.

（20-21八年级上•贵州六盘水•期中）

21.如图所示，已知某学校点/到直线河流3。的距离为600米，且与该河流上一个取水站

点D相距1000米，现要在河边新建一个取水站点C,使之与学校点A及取水站点D的距离

相等，则学校点A与取水站点C的距离是多少米？

⑵-24八年级上•江苏苏州•期中）

22.勾股定理是一个基本的几何定理，又称为勾股弦定理、勾股定律等，由中国人商高在周

朝时期最早提出，我国东汉数学家赵爽通过四个全等直角三角形构造图形,证明出勾股定理,

称为赵爽弦图，其中8〃=b,BC=c,CH=a.

试卷第6页，共8页

NdH

⑴请同学们根据赵爽弦图证明/+/=c2.

⑵若正方形ABC。的面积为100,正方形EFG8的面积为36,求a+b+c的值；

（23-24八年级上•陕西西安•阶段练习）

23.综合与实践

【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数

学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通

过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.如图1,在中，

AACB=90°,BC==b,AB=c,以Rt"BC的三边长向外作正方形的面积分别为

s1,s2,s3.

图1图2图3

【解决问题】试猜想％$2,$3之间存在的等量关系，直接写出结论.

【拓展探究】如图2,如果以Rt/XNBC的三边长凡6,C为直径向外作半圆，那么上面的结论

是否成立？请说明理由.

【推广应用】如图3,在中，ZACB=90°,三边分别为5,12,13,分别以它的三边

为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积.

（2023・江苏常州•模拟预测）

24.折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法.例如，在△ABC中，AB>AC（如图

1）,怎样证明呢？把NC沿的平分线4。翻折，因为所以点C落在

上的点。处（如图2）.于是，由=NAC'D>/B,可得

试卷第7页，共8页

【感知】（1）如图2,在A43C中，若N5=35。，ZC=70°,则/CO8=

【探究】（2）若将图2中/。是角平分线的条件改成是高线,其他条件不变（图3）,即

在ZUBC中，ZC=2ZS,AD1BC,请探索线段/C、BC、CD之间的等量关系，并说

明理由.

【拓展】（3）如图4,在用AABC中，NACB=90。BC=4,NC=5,点尸是BC边上的

一个动点（不与8、C重合），将△/PC沿/P翻折，点C的对应点是点。.若以B、C、C'

为顶点的三角形是直角三角形，直接写出AP的长度

AA/A8、A

」xZ\,

BCBDCBDCCA

图1图2图3图4

试卷第8页，共8页

1.D

【分析】本题考查勾股定理和三角形面积的计算，求出直角三角形的斜边长是解题的关

键.先根据勾股定理求得直角三角形斜边的长度，再根据等积法求出斜边上的高即可.

【详解】解：•••直角三角形的两直角边长分别为5和12,

・•・根据勾股定理求得斜边为：历运=13，

•••直角三角形的面积为：：x5xl2=30,

2

••.此直角三角形斜边上的高为：管=2，

故选：D.

2.C

【分析】本题考查了解直角三角形、30。角所对的直角边等于斜边的一半；解题的关键是熟

练掌握“30。角所对的直角边等于斜边的一半”.过A作4D15C于。，在RL/DC与

白△/D8中结合30。角所对的直角边等于斜边的一半及等腰直角三角形的性质求出C。、

8。即可.

【详解】解：过A作4D18c于D,

A

AD=-AC=],

2

CD=ylAC2-AD2=V22-I2=V3，

在中，48=45。，4D=1,

BD=4D=1,

BC=BD+CD=l+s/3.

故选：C.

3.B

【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本

题属于基础题型.由题意可知，中间小正方形的边长为加一〃，根据勾股定理以及题目给出

答案第1页，共15页

的已知数据即可求出大正方形的面积为/+/.

【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为伍一-，

.,.(/M-71)2=5,即加2+力2-2加"=5①，

=21,

m2+n2+2mn=21②，

①+②得2(疗+1)=26,

二大正方形的面积m2+n2=13,

故选：B.

4.C

【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理求得8尸的长是解决问题的关

键.

设5斤=无，根据题意可得/3=C0=4,BC=AD=8,由折叠的性质可得，

CF=C'F=BC-BF=S-x,ZC=ZC,=Z90°,BC'=CD=4,在Rt^BC,中，利用勾股定理可

列方程求出x的值，利用三角形面积公式即可得答案.

【详解•在长方形的长40=8,宽/8=4,

；.AB=CD=4,BC=AD=8,

•••把一张长方形纸片48。折叠起来，使其对角顶点。和8重合，设=

:.CF=C'F=BC-BF=8-x,ZC=ZC1=Z90°,BC=CD=4,

在RtABCF中，BF-=C'B2+C'F2,

x?=(8-x)2+42,

解得：x=5,即8/=5,

S^BEF=；aF,CD=gx5x4=l°，

故选：C.

5.B

【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到△/BC四△COE,从而得到c的面积=6的面

积一”的面积.

【详解】解：如图，

答案第2页，共15页

VAACB+ZECD=90°,NDEC+NECD=90°,

ZACB=ZDEC,

在ZUBC和ACDE中，

ZABC=ZCDE

<NACB=NDEC,

AC=CE

△NBC名△CDE（AAS）,

:.BC=DE,

■■AC2=AB2+BC2,AC2=AB2+DE2

■-b的面积=。的面积+c的面积，

•••c的面积=b的面积的面积=13-5=8.

故选：B.

【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答

此题的关键.

6.C

【分析】此题考查的是平面展开图（最短路径问题），解题的关键是根据题意画出展开图，

表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解.

此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答.

【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示：

在侧面展开图中，NC的长等于底面圆周长的一半，即:x2%x9=6（cm）,

271

BC=8cm,AC=6cm,

答案第3页，共15页

根据勾股定理得：/8=V6^=10(cm),

要爬行的最短路程是10cm.

故选：C.

7.D

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明

DE=BE,AD2=AE2+DE1，AC2=AE2+CE2,再结合平方差公式可得答案；

【详解】解："AB=AD,AE1BD,

：.DE=BE,AD2=AE2+DE2,AC2=AE2+CE2,

■■AC2-AD2=CE2-DE2

=(CE+DE)(CE-DE)

=(CE+BE)-CD

=BCCD

■.■BC=IO,CD=6,

■■AC2~AD2=10x6=60；

故选D

8.D

【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30。角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相

关的知识.由特殊角即目标距离构造直角三角形，利用含30。特殊角中边的比例关系设未知

数表示线段长度，利用勾股定理建立等量关系解之即可.

【详解】解：如图，过点8作BELON,

NBON=60°,

NOBE=180°-NBON-NBEO=30°,

设OE=x,则OB=lx,

在RLBEO中，BE2=OB2-OE2,BPBE=43x,

答案第4页，共15页

在RM/EB中，有AE?+BE?=4B?,即（2+J+3f=QQ',

解得：x=l（负值舍去），

■■-BE=>/3x=43,

二木箱B点距离地面高度为百m,

故选：D.

9.A

【分析】本题主要考查了列代数式、勾股定理等知识点，由题意得到甲走的路线与乙走的路

线组成直角三角形成为解题的关键.由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，

再根据题意可得/2=3x,/C=10、SC=x-10,然后根据勾股定理列出方程即可.

【详解】解：根据题意可得，如图：甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，

北

A

——A东

设甲走了x步，则斜向北偏东方向走了（X-10）步，乙向东走了步，

V

即：AB=3义一，AC=10,BC=x-10,

7

根据题意可得：AB2+AC2=BC2,即（3乂曰+102=（X70）2,

故选A.

10.B

【分析】先求出正方形/BCD的边长，再根据勾股定理求出。尸，然后说明△DCE之ACB厂,

即可得出DE1CF,最后根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案.

【详解】•.•Nb=l,BF=2,

正方形4BCD的边长为3.

在RtZXD/尸中，由勾股定理，W=^AD2+AF2=V10.

,:DC=BC,ZDCE=ZCBF=90°,CE=BF,

/\DCE之AC5F（SAS）,

答案第5页，共15页

・•・/CDE=ZBCF.

-ZCDE+ZCED=90°,

••・/BCF+/CED=90。,

••.DELCF.

•.W是。厂的中点，即MN为RtAOK饮的斜边。歹上的中线，

■■MN=-DF=—.

22

故选：B.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，勾

股定理等，勾股定理是求线段长的常用方法，要熟练掌握.

11.V2

【分析】本题主要考查了数轴上的点表示实数，熟练掌握勾股定理是解题的关键.根据勾股

定理求出02的长即可得到答案.

【详解】解：由题意得0/=08=赤7?"=行，

故点/对应的数是也.

故答案为：V2.

12.225

【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是解题

的关键.

由正方形的面积公式可知，M=AB2，再由勾股定理即可得解.

【详解】解：由正方形的面积公式可知，M=AB?,

根据勾股定理，=5C2-^C2=172-82=225,

:.M=225,

故答案为：225.

13.8

【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解.

【详解】解：连接8。，如图所示：

答案第6页，共15页

E

A

CB

因为△力3。和△£。)都是等腰直角三角形，CA=CB=3,CE=CD=3

ZACB=/ECD,ZE=ZADC=/CAB=/ABC=45°

•••ZACB=NECD=90°

:.ZACB-ACD=ZECD-ACD

即ZACE=/BCD

-：AC=BC,EC=DC

.△ACE会小BCD

AE=BD,NAEC=ZBDC=45°

?.NADB=ZADC+ZBDC=90°

i^AE2+AD2=BD2+AD2=AB2=AC2+BC2=2X^=^~

故答案为：—

【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用.掌握相关几何知识是

解题的关键.

14.21

【分析】本题考查了勾股定理的应用.根据题意可得每一个直角三角形的面积，然后根据大

正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积解答即可.

【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：b-a,

•.・ab=6,小正方形的面积为9,

911

■■•(/>-«)=9,每一个直角三角形的面积为：-ab=-x6^3,

19

•••大正方形的面积为：4x-ab+(b-a)-=12+9=21,

故答案为：21.

15.1.5

【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点。作DE2N2于点E,构造RM/DE,利用勾

股定理求得的长度即可.

答案第7页，共15页

【详解】解：如图，过点。作于点

,.5=2.5米，2£=0=1.6米，£D=2C=1.2米,

;AE=AB—BE=2.5—L6=0.9（米）.

在RtA/OE中，由勾股定理得到日。=JNE2+DE2=Jo.92+L22=1.5（米），

感应脸

故答案为：1.5.

16.13m

【分析】本题考查勾股定理的应用及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的

性质是解题关键.根据等腰三角形的性质得出8〃=；BC=5m,利用勾股定理即可得答

案.

【详解】解：如图，过点A作于"，

Hr

10m

•.•塔基宽10m,塔共四层，每层高3m,AB=AC,

AH=12mBH=—BC=5m,

,2

■■AB=yjAH2+BH2=yj\22+52=13m，

・•・广告的最大长度为13m.

故答案为：13m

【分析】本题考查作图-基本作图、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.由题意得，08=2,AC=OA=1,由勾股定理得/8=石，贝U

答案第8页，共15页

BC=BD=y/5-l,OD=OB-BD=3-5即可得出答案.

【详解】解：由题意得，08=2,ABM”=#，AC=OA=1,

BC=BD=y/5-l,

:.OD=OB-BD=2-1正-0=3-下,

,OD3-75

---------------.

OB2

故答案为：三也.

2

18.73:1

【分析】先根据已知和旋转的性质得出=8。=N8=CD,得出为等边三角形，得

出乙48。=NADB=ABAD=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出

ZDAC=ZC=30°,从而得出A/BC为直角三角形，利用勾股定理得出NC和CD的关系

【详解】解：•••将绕点/旋转，使得点2与线段3c中点。重合，

；.AB=AD=BD=CD,BC=2CD

.•.△48。为等边三角形，NDAC=NC

•••ZABD=ZADB=ZBAD=60°，BC=2AB

•••ZADB=ADAC+ZC

■■ZDAC=ZC=30°,

•••ABAC=90°,

■■AC=>JBC2-AB2=J(2叫2-CD。=6CD

••.AC:CD=51

故答案为：

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及勾股定

理，得出△ABC为直角三角形是解题的关键

19.(1)10°；

(2)472.

【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，

答案第9页，共15页

三角形的面积等知识点：

(1)根据直角三角形的性质求出//3C,根据线段垂直平分线的性质得出/E=求出

AEBA=40°,再求出答案即可；

(2)根据勾股定理求出BC,求出NC,再根据三角形的面积公式求出△N2C的面积即

可.

【详解】(1)解：•.•NC=90。,Z4=40°,

ZABC=90°-ZA=50°,

；DE是的垂直平分线，

AE=BE,

AEBA=/4=40°,

ZCBE=/ABC-ZEBA=50。-40。=10。；

(2)解：在RtZ\EC3中，ZC=90°,EC=1,BE=AE=3,

由勾股定理得：BCZBE=EC=心-段=26,

AE=3,EC=1,

AC=AE+EC=3+1=4,

:.^ABC的面积是gx5Cx^C=1x2V2x4=4V2.

20.⑴见解析

(2)AD=5cm

【分析】此题考查了尺规作图作角平分线，勾股定理的应用，正确掌握角平分线的作图方法

及勾股定理是解题的关键.

(1)作//2C的角平分线即可；

(2)根据勾股定理求出=10cm,得至lj/C'=48-8C'=4cm,设/D=xcm,则

CD=CD=(8-x)cm,根据勾股定理得NC”+C9=/方，列得42+(8-x『=/,求出x

的值，可得答案.

【详解】⑴解：如图,即为所求；

答案第10页，共15页

(2)解：由折叠得，NBC'D=NC=9Q°,NBC'=8C=6cm,CD=C'D,

•：ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,

•••AB=ylAC2+BC2=>/82+62=10(cm),

...NAC'D=90°,AC'=AB-BC'=10-6=4(cm),

设4D=xctn,则。'£>=。=(8-X)011,

■-AC'2+CD2=AD2,

•••42+(8-X)2=x2,

解得x=5,

•••AD=5cm.

21.学校点/与取水站点C的距离是625米

【分析】由题意可得，AB=600,AD=1000,CD=AC,NB=9Q°,设CD=NC=x米，根

据勾股定理求解即可.

【详解】解：由题意可得，AB=600,4)=1000,CD=AC,zB=9Q°,

由勾股定理得，BD=JAD?-/笈=go。米，

设CO=/C=x米，贝!]8C=800-x米，

由勾股定理得，AC2=AB2+BC2,即/=60()2+(800-X『，

解得：x=625,

即学校点/与取水站点C的距离是625米.

【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确利用勾股定理进行求

解.

22.⑴见详解

(2)a+6+c=10+2师

【分析】此题考查勾股定理的证明，解题的关键是面积公式的计算.

答案第11页，共15页

(1)根据面积公式证明勾股定理即可；

(2)根据面积公式和勾股定理解得即可.

【详解】(1)证明：,••大正方形的面积是c2,直角三角形的面积是:仍，

小正方形的面积为3-。)2,

122222

・・.。2=4x/Qb+(6-Q)=2ab+b-2ab+a=a+b

^a2+b2=c2；

(2)解：由正方形45cD的面积是100,得02=ioo,

解得：c=10,

由正方形斯GN的面积为36,得伍-a)2=36,

一个直角三角形面积为：ga6=[c2-伍-")2卜4=16,

解得：ab=32,

.•.(b+ay=(6-a)~+4〃6=36+4x32=164,

则6+a=2两'，

故a+6+c=10+2面.

23.【解决问题】H+S?=S3；【拓展探究】结论仍成立，理由见解析；【推广应用】30

【分析】本题主要考查勾股定理；

(1)先分别列式表示出H,5，S3,再运用勾股定理可得W+$2=邑；

(2)先分别列式表示出E,S],S、,再运用勾股定理可得W+邑=M；

(3)先分别求得三个半圆和Rt/X/BC的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于

大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大

半圆的面积进行计算即可.

【详解】[解决问题]解：在Rd48C中，44c8=90。，BC=a,AC=b,AB=c,由勾股

定理得：

a2+b2=c2,

222

由正方形面积公式可得：S1=a,S2=6,S3=c,

.•再+$2=$3；

答案第12页，共15页

故答案为4+邑=$3；

［拓展探究］解：成立，理由如下：

在RtZ\/BC中，由勾股定理得：a2+b2=c2,

根据圆的面积公式可得：

H=

［推广应用］解：如图,

“138