2025年高考文科数学一轮复习：立体几何-单元检测（八）【含答案】

单元检测（八）立体几何

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.设a,/是两个不同的平面，则a，/的充要条件是（）

A.平面a内任意一条直线与平面£垂直

B.平面a,夕都垂直于同一条直线

C.平面a,乃都垂直于同一平面

D.平面a内存在一条直线与平面£垂直

2.经过一个圆柱体上底面圆的一条直径作两个平面分别与下底面圆相切，则圆柱体在

这两个平面以下的部分就构成一个正劈锥体（如图），现将此几何体水平放置，从如图所示的

方向观察该几何体（正视方向所在的直线平行于所作两个平面的交线），则其正视图、侧视图、

俯视图的形状分别为（）

A.梯形、长方形、圆

B.三角形、长方形、圆

C.梯形、梯形、圆

D.三角形、梯形、圆

3.设/、“2、w表示不同的直线，a、或、y表示不同的平面，给出下列四个命题:

①若m〃/,且则/J_a；

②若aJ_£,m//a,〃_!_£,则，w_L〃；

③若/〃a,且相〃a,则/〃wz；

④若机_L〃，n//P，则a_L£.

则正确的命题个数为（）

A.4B.3C.2D.1

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（）

俯视图

A.2y/2B.3C.忻D.2小

5.在正方体ABCO-AiBCQi中，下列说法中正确的是（）

D,

G

A.AC与BiC是相交直线且垂直

B.AC与小。是异面直线且垂直

C.BDi与BC是相交直线且垂直

6.如图，正方体428—42〈1。中，点£,歹分别是AB,AQi的中点，。为正方形

AI1CD1的中心,则（）

A.直线ERAO是异面直线

B.直线EF,8B1是相交直线

C.直线EP与8G所成的角为30。_

D.直线EF,881所成角的余弦值为当

7.如图①，已知是直角梯形，AB//PC,AB1BC,。在线段PC上，AD±PC.

如图②，将沿AQ折起，使平面也。，平面ABC。，连接尸8,PC,设尸8的中点为

N.对于图②，下列选项错误的是（）

A.平面BW_L平面PBC

B.8C_L平面PZJC

C.PD±AC

D.PB=2AN

8.在矩形A8CZ）中，BC=4,M为BC的中点，将和△ZJCM分别沿AM,DM

翻折，使点B与点C重合于点P,若乙4尸。=150。，则三棱锥M-PAD的外接球的表面积

为（）

A.12兀B.34兀C.68兀D.126兀

9.刘徽《九章算术注》记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖

腌，阳马居二，鳖席居一，不易之率也”.意思是：把一长方体沿对角面一分为二，这相同

的两块叫做堑堵，沿堑堵的一顶点与其相对的棱剖开成两块，大的叫阳马，小的叫鳖腌，两

者体积之比为定值2：1,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图，则其外接球

的体积为（）

1

主视图左视图

俯视图

A.4nB.3it

C.y[3nD.卓n

10.已知直三棱柱ABC—4SG中，ZABC=120°,AB=2,BC=CG=1,则异面直

线ABi与BCi所成的角的正弦值为（）

A.坐B.华

C.华D.9

11.如图，在四边形ABCZ）中，AB=BC=2,NABC=90。，DA=DC=,,现沿对角

线AC折起，使得平面D4CL平面ABC,此时点A,B,C,。在同一个球面上，则该球的

体积是（）

A，2兀B.3兀

27

C,~2TiD.1271

12.在三棱锥产一ABC中，平面尸BC_L平面A3C,ZACB=90°,BC=PC=2.^AC=

PB,则三棱锥尸一ABC体积的最大值为（）

A隹B量

i\.•3u•9

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13.如图，正八面体的棱长为2,则该正八面体的体积为.

14.如图，四棱台AiSGDi—ABCD的底面是正方形，Z）Oi_L底面ABC。，DDi=AB=

2AiBi,则直线ADi与BQ所成角的余弦值为.

15.三棱锥P—ABC中，B4_L底面A8C,9=3,在底面ABC中，AB=2,ZC=60°,

则三棱锥P-ABC的外接球的体积等于.

16.将正方形A8C。沿对角线8。折成直二面角，给出下列四个结论：①AB,C。所成

的角为60。；②△AZ5C为等边三角形；③ACL3。；④与平面BCD所成角60。.其中真命

题是.（请将你认为是真命题的序号都填上）

三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）

如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面ABC。为正方形，且B4,底面ABCD

（1）求证：平面融C_L平面P8。；

（2）若E为棱BC的中点，在棱出上求一点「使8歹〃平面PZJE

18.（本小题满分12分）

如图，四边形A8EE为正方形，AD//BC,AD±DC,AD=2DC=2BC,

⑴求证：点。不在平面CEP内：

（2）若平面ABC。1.平面ABEF,且AD=2,求点D到平面CEF的距离.

19.(本小题满分12分)

______JT

如图，圆台。1。的上底面半径为1,下底面半径为2,/OBBi=^,441,231为圆台

的母线，平面A410。，平面M为281的中点，尸为AM上的任意一点.

(1)证明：BBi±OP；

(2)当点P为线段AM的中点时，求三棱锥Bi-OPB的体积.

20.(本小题满分12分)

7T

如图，已知三棱柱ABC—AbBCi的所有棱长均为2,ZB,BA=3.

⑴证明:平面ABCi；

⑵若平面平面ABC,M为4G的中点，求四棱锥BLACGM的体积.

21.(本小题满分12分)

图①是矩形ABC。，AB=2,BC=1,M为CD的中点，将△AM。沿AM翻折，得到四

棱锥。一ABCM,如图②.

(1)若点N为的中点，求证：CN〃平面D4M；

(2)若AD±BM,求点A到平面BCD的距离.

22.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥尸一A3C。中，底面ABCD为正方形，必，底面ABC。，PA=AB,E为

线段尸8的中点，F为线段BC上的动点.

(1)平面AE尸与平面PBC是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.

(2)若A8=3,尸为线段BC的三等分点，求多面体的体积.

参考答案与解析

1.答案：D

解析：若a_L夕，则平面a内存在直线与平面P不垂直，选项A不正确；若平面a,B

都垂直于同一条直线，则平面a与£平行，选项B不正确；若平面a,£都垂直于同一平面，

则平面a,£可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面a内存在一条直线与平面£垂

直，则根据面面垂直的判定定理，可知若则由面面垂直的性质定理知，平面

a内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面£,故选项D正确.

2.

正视方向

答案：B

解析：由题意知，正劈锥体的模型如图所示，按照题图的视角观察，其正视图的形状为

三角形，侧视图的形状为长方形，俯视图的形状为圆.

3.答案：D

解析：①根据“垂直于同一平面的两条直线互相平行”知，若m〃l,且加，a,则/La

正确；故①正确，

②若a_L£,m//a,则机J_w错误，当机〃w时，也满足前面条件；故②错误，

③若/〃a,且机〃a,贝1/〃机不一定正确，有可能相交，也有可能异面；故③错误，

④若"z_L”,n//P，则a_LQ不一定成立，有可能平行.故④错误，

故正确的个数为1.

4.答案：B

解析：在棱长为2的正方体中，根据三视图，截取四棱锥尸一ABC。如图所示.

根据三视图可得，AB=\,PD=2,AD=2.

根据立体图形可知，最长边为尸区

连接在RtaADB中，根据勾股定理得

DB2=AD2+AB2=22+12=5,

在RtAPDB中，根据勾股定理得PB2=PD2+DB2=4+5=9,

所以尸8=3.

故该几何体的最长棱的长度为3.

5.答案：D

解析：

连接ABi,则△ABiC为等边三角形，则AC与SC是相交直线且所成角为60。，故A错

误；

因为4£>〃BiC,所以AC与4。是异面直线且所成角为60。，故B错误；

连接CA,因为BCJ_平面。AG,所以BCUCA,所以应与8C所成角为锐角，

故C错误；

连接BQ1,因为AC_LB。，AC±DDi,且8。门。。1=。，所以ACJ_平面8£)。囱，

则AC_LB£)i,则AC与BDi是异面直线且垂直，故D正确.

6.答案：C

解析：易知四边形AEOF为平行四边形，所以直线EF,AO相交，直线EF,BBi是异

面直线，直线EF,281所成角的余弦值为坐，选项C正确.

7.答案：A

解析：由A8〃PC,AB±BC,ADI.PC,

得AO〃BC.

'：AD±PD,AD±DC,PDCDC=D,；.4£>_1平面尸。C.

AAD//BC,；.BC_L平面尸DC,；.B正确.

:平面平面ABC。，平面力。。平面48Cr>=A。，PD±AD,ABLAD,：.PD±

平面ABC。，平面出。.：ACu平面ABCD,：.PD±AC,；.C正确.

由AB_L平面E4D,得A2_L%,...△B43是直角三角形.又PB的中点为N,：.PB=2AN,

AD正确.

8.答案：C

解析：由题意可知，MPLPA,MPLPD.

且B4npD=P,B4u平面P4D,POu平面E4。，所以MP_L平面RID

设△AZ)尸的外接圆的半径为「，则由正弦定理可得.艺pc=2丫,

sinNAPD

4

即而1而="、所以〃=4.

设三棱锥M—的外接球的半径为R,贝!!(2R)2=尸河2+⑵)2,

即(2R)2=4+64=68,所以炉=17,

所以外接球的表面积为4兀7?2=68兀

9.答案：D

p

解析：根据几何体的三视图知，该“阳马”是底面对角线长为也的正方形，一条长为

1的侧棱与底面垂直的四棱锥，将该四棱锥补成长方体，长方体的外接球与四棱锥的外接球

相同，球直径等于长方体的对角线长，即2R=7(陋)2+1=小，R丹,

球体积为V=17tT?3=7i.

答案:C

解析：如图，将题中的直三棱柱补形成一个直四棱柱ABC。一AiSCiOi,连接AA,易

知所以是直线与8Q所成的角或者其补角.连接囱。，在△AQd

中，&修=、22+12=小,AOI=^12+12=陋,BiD1=^/22+12-2X2X1XCOS60°二小,

ADi+BiDj=5=ABi,ADllBiDl,sinZB}AD[=^^=华.因此，异面直线ABi

与8cl所成的角的正弦值为华，故选C.

11.答案：A

解析：如图，取AC的中点E,连接QE,BE,

因为AO=CD,所以。E_LAC,

因为平面ZMC_L平面ABC,平面D4CC1平面ABC^AC,OEu平面DAC,

所以OE_L平面ABC,

因为NABC=90。，所以棱锥外接球的球心O在直线OE上，

因为A8=8C=2,ZABC=90°,DA=DC=y/6,

所以BE=AE=CE=JAC=W,DE=yjAD2-AE2=2,

设OE=x,则00=2—x,OB=yjBEP+OE2=迎+2,

所以2—x=、f+2,解得x=T,

13

所以外接球的半径为r=2-x=2-1=|,

外接球的体积为V=^y-=yx(|)3=y.

12.答案：D

解析：如图，取尸3中点M,连接CM.

•.・平面尸8CJ_平面ABC,平面P8CC平面ABC=BC,ACu平面ABC,ACLBC,：.AC±

平面PBC.

设点A到平面PBC的距离h—AC—lx.

,:PC=BC=2,PB^Ix(0<x<2),M为PB的中点,

：.CM±PB,4T,

SAPBC~2X2xXy/4—W=r\/4—x2.

i____2x2>\/4—x2

VA-PBC=^X(x^—x2)X2x=-------

设片也一X2(0<Z<2),则/=4一户.

2t(4一产)Sf-2/3

=(0</<2).

VA-PBC3

,8,一2户8—6Z2

对y=»0</<2求导，何g，

••・函数在1o,明上单调递增，在然，2)

上单调递减.

当，=平时，(M—PBC)max=若小.

13.答案：平

解析：正八面体可看成由上、下两个相同的正四棱锥组成的，由棱长为2,可得每个正

四棱锥的斜高为、22—1=小，高为产工=^2,则该正八面体的体积为2义2；—X2

8啦

―3'

14•分安.■3

解析：设的中点为E,连接即1,则易知BE//CiDi,BE=GP,四边形EBCD

是平行四边形，•••8G〃EDi,，NADiE为直线AA与BCi所成的角.：四边形ABC。是正

方形，.•.8A_LAD,底面A8CZ),又A£)nQd=D,平面AAi。。，

：.BA±ADi,△AEDi是直角三角形.设O£>i=A8=248i=2a,贝!I他川心+宙=

N(2a)2+(2a)1=2吸a,EDi—yjAD^+AE2—yj(2-\/2a)2+cz2—3a,.'.cosNADiE

ADi2^2

=EA=3,

达建安43后

15.口木：54兀

解析：设G为△ABC外接圆圆心，。为三棱锥尸一ABC外接球球心，

则OG_L平面ABC,作OMLPA,垂足为M

由正弦定理可知△ABC外接圆直径:

AB24^j

2r=2AG=

sinZBCA.兀—3

sin3

:以！.平面ABC,OG_L平面ABC,J.AP//OG

又0M_LB4,AGLPA,：.OM//AG

四边形0MAG为矩形，；.OG^AM

设OG=x,OP=OA=R

卜+'=/?2卜=1

在Rt^OMP和RtZ\0G4中，由勾股定理可得:，，，解得：《,一

I-会[“曙

三棱锥P—A8C外接球体积：V=|n7?3=43^29兀

16.答案：①②③

解析：在①中：：将正方形ABCO沿对角线8。折成直二面角，得到四面体A—BCD,

设AB=BC=C£)=A£)=2,

取3。中点。，AC中点E,BC中点尸，连结A。，CO,OF,OE,EF,

贝1OA=OC=g,且。A_LOC,：.OE=^AC=1,

由三角形中位线定理得。尸=；CD=1,AB^l,且。尸〃CD,EF//AB,

：.ZEFO^AB,CD所成的角，

：.0F=EF=0E=l,.♦.△EPO是等边三角形，ZEFO^60°,

.".AB,CO所成的角为60。，故①正确；

在②中：VOA=OC=V2,且。A_LOC,：.AC=yj2+2=2,

：.AC=CD=AD=2,

.♦.△ADC为等边三角形，故②正确；

在③中：'：AB=BC=CD=AD,。是中点，

：.A0±BD,CO±BD,又AOnCO=O,.•.3。_1面40。，

VACcWAOC,：.AC±BD,故③正确；

在④中：：4一8。一C是直二面角，AO1BD,

平面BDC,：.ZABO是AB与平面BCD所成角，

'."AO^BO,：,ZAB(9=45°,

.二AB与平面BCD所成角为45。，故④错误.

17.解析：(1)证明：因为出_L底面ABC。，BDc.^ABCD,所以B4_L8D；又底面

ABC。为正方形，所以8Z)_LAC,ACDPA=A,所以8O_L平面出C,又8£)u平面尸80,所

以平面B4C_L平面得证.

(2)如图所示，取出的中点。，PD的中点H,连接8。、QH.HE,

所以会有Q8〃A。，AD,又2E〃A£),BE=3AD,

所以QH〃BE且QH=BE,

所以四边形BQHE为平行四边形，

所以BQ〃EH,BQQ面PDE,EHu面PDE,

所以2。〃平面POE,

所以。点，即为我们要找的尸点.

18.解析：

(1)证明：(反证法)假设点。在平面CEB内.

设C,D,E,尸四点确定的平面为a.因为四边形为正方形，所以EF〃AB.因为平

面ABC。与平面A8EF不重合，所以E/过平面ABCD,又ABu平面ABCZ),所以EF〃平面

A8CD因为EFu平面a,平面aCl平面48CD=C£),所以E尸〃CD；所以4B〃CDAB,CD

为直角梯形ABC。的两腰，不可能平行，故假设不成立.点D不在平面CEP内.

(2)取A。中点H,连接HEHC,由AO=2BC,所以AH=8C,且A//〃BC,所以

AHCB为平行四边形，：.HC//AB且HC=AB,

'：AB//EF,且AB=EF,/.C,H,E,尸共面，

SACHD=3X1X1=2'型=/，FH=y[3,CH=^2,CF=y)FA2+CA2=市，

222

FH+CH-CF1

所以cosZCHF=

2FHCHy[6'

:.SACHF=WFH-CHsinZ.CHF=~^.由VD-CHF=VF-CH。得;IISACHF—^E\-SACHDF

故D到平面CEF的距离是邛

解析：（1）证明：取OB中点N,连接NS,OBi,OM,

因为圆台。1。的下底面半径为2,上底面半径为1,ON=NB=1,

IT

所以B1NL03,又因为NOBS=§,所以△OBI为正三角形，

于是213=20=021=2.

因为M为囱8中点，所以SB_LOM,

因为平面AAQiO_L平面8B1。。，OrO±OA,

所以AO_L平面22101。，平面B6010,

所以OALBBi,

又因为OACOM=O,所以88」平面OAM,又因为OPu平面040,

所以BB」OP.

（2）连接PB,当点P为线段AM的中点时，△0881的面积为:X2X2又当=小.VBi

-OPB=VP~OBBi=^VA~OBBi=^x|XS/\OBBiXAO=^,

A/3

三棱锥8I—OPB的体积为为-.

20.解析：（1）证明：如图，取AB中点。，连接8。，CD.

KM

:三棱柱的所有棱长均为2,ZBiBA^j,

.♦.△ABC和△ABBi都是边长为2的等边三角形，且BiC_LBCi,

：.BiD±AB,CD±AB.

,：BiD,CDu平面BCD,BlDHCD=D,

.•.AB_L平面BiCDYBCu平面B{CD,：.AB±BiC.

,：AB,BGu平面ABCi,ABCiBCi^B,/.BIC±¥®ABCi.

（2）,平面A82iAi_L平面ABC,且两平面的交线为A3,

由（1）BiD±AB,，以。！,平面ABC

方法一VBi-ACCiM=3VBi-AAiM=3W1—AXB{M=3XgS/\AXBYMBXD=1

i3

XIX小Xy[3=1.

方法二VBi-ACCxM=VABC-AxBiCi—VBi-ABC-VA-AxBxM=VABC-AyBxCx一

33111

2VBr-ABC=VABC-AiBiCi-X-VA8C—481G=5侬3C—431cl=5SAABCBD=

；X坐X22XA/3.

21.解析：（1）证明：如图，取AO中点尸，连接MP,NP.

D

由N,尸分别为BD,AD的中点，得NP//AB且NP=^AB.

又且A/C=3A3,所以MC〃NP且MC=NP,所以四边形MCNP为平行四边

形.

所以CN//MP且CNC平面DAM,MPu平面DAM,所以CN〃平面DAM.

(2)如图，由，BM=p,AB=2,可得

所以

又ADP\AM^A,所以BM_L平面A£)胚

又平面ABCM,

所以平面ADM1.平面ABCM.

取AA/的中点E,连接DE.

因为AO=Z)M=1,AD±DM,所以。E_LAM,。石=号.又平面AOMCl平面ABCM=

AM,所以。E_L平面ABCM.

1y[2

所以VA-DBC=VD~ABC=2SAABC，DE=.

3

取BC的中点凡连接EB,DF,则所=],EFLBC.

因为。E_L平面A