2022-2023学年北京北师大二附中高二（上）期中数学试题及答案

2022北京北师大二附中高二（上）期中数学一、单选题（共40分）1.3x3y50的倾斜角为−−=2A.B.C.BC与对角面BBDD所成的角是（1D.6336ABCD−ABCD2.如图所示正方体中，1111111BB111BD11A.B.C.D.D.()，()，则线段）A1,2B3.已知点的垂直平分线方程为（4x+2y−5=04x−2y−5=0x+2y−5=0C.x−2y−5=0A.B.14.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若,n−，则l与α所成的角2为（）A.30°B.60°C.120°D.150°+y2−2x−2=0相切，则实数m等于（）5.3x−y+m=0与圆x2A.或−3B.−3或33C.−33或D.−33或3333(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x−4y+1=0的距离相等，则a=6.（）99−A.2B.C.2或8D.2或22(−)(x−)+(y−)=5的圆225,37.已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：周，则反射光线所在的直线方程为（）2x−3y+1=03x−2y+1=02x−3y−1=03x−2y−1=0ACB.D.x2y2+=1，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)PA+PF的最8.已知椭圆43小值为（）12A.3B.10C.5+D.5+1()a+b=1，记d为点P到直线x−−2=09.在平面直角坐标系中，已知点Pa,b满足的距离当a,b,m变化时，d的最大值为（）A.1B.2C.3D.4=上的任意一点P都满足|b，则Cab0)的上顶点，若Cx22y2210.设B是椭圆C:+的离心ab率的取值范围是（）221,11D.,1B.C.A.2222二、填空题（共25分）()()()，则平面的一个法向量的坐标为___________.A1,0,0,B2,0,C0,3已知()，(−)，且直线与垂直，直线Ba,112.已知直线l的倾斜角为45，直线l经过点A3,2l1l1l22x+by+1:=0la+b=与直线平行，则_________．113.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－ABCDECC的中点，=，若异面直线111113210DE和AF所成角的余弦值为，则λ的值为________.11PQlx+y+2=0lx+y−1=0PQ⊥l上，且，点114.已知点分别在直线：与直线：123122(−−)，则++的最小值为____．A3，B?APPQABCD−ABCDPA=2PB,AB=2，则动点P运动15.P为正方体表面上一动点，且满足1111轨迹的周长为__________.三、解答题（共85分）顶点A(3)，边上的高所在的直线的方程为x−y−3=0，D为AC中点，且ABBD16.所在的直线的方程为3x+y−7=0（1AB边所在的直线方程；（2边所在直线方程..ABCD−ABCDAA1=4=，17.如图，在正四棱柱中，，AB2，，F分别是的中点.11111（1）求直线与平面C1所成角的正弦值；A−1F−D（2）求二面角的余弦值.418.已知圆C经过点A（，0（77y=x上．3（1）求圆C的标准方程；（2）若直线lC相切且与，y轴截距相等，求直线l的方程．19.如图，在四棱锥P−=，==CB=1，DCB=CBA=PDC=，AB2中，平面PBC⊥平面PDC.（1）求证：PD平面ABCD；⊥（2）求二面角D−−C的余弦值.x22y226，右焦点为22,0).斜率为1l与椭圆G20.已知椭圆G:+=ab0)的离心率为交ab3,BP(−2).于两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为（1）求椭圆G的方程；（2）求直线AB的方程.21.在平面直角坐标系中，已知圆C:x2+y−4x=0及点A(−0),B2).2D,E=（1）若直线l，与圆C相交于两点，且DEAB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点，使得2+2=12成立?若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由；M,N（3）对于线段上的任意一点Q，若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点QN的中点，求圆Br的取值范围.，使得点M是线段参考答案一、单选题（共40分）1.【答案】A【解析】【分析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.33【详解】直线3x3y−5=0的斜率为−,故倾斜角的正切值tan=,330,),故=又.6故选：A【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系属于基础题型.2.【答案】D【解析】CO⊥1BBDD，然后根据线面夹角的定义11【分析】结合正方体性质和线面垂直性质和判定定理可得平面即可求解.CO⊥BD，1【详解】由正方体性质可知，11BB1⊥ABCDCOABCD，1111又因为平面，平面11111BB⊥CO所以，11BBBD=BCO⊥1BBDD，11又因为，所以平面1111故OB为BC在平面BBDD上的射影，111从而1为与平面BCBBDD所成的角．111故选：D.3.【答案】B【解析】【分析】应用两点式求线段的斜率，进而可得垂直平分线的斜率，结合AB中点坐标及点斜式写出垂直平分线方程.1−23−1123k==−2AB(2,)中点为，【详解】由题设，，故线段的垂直平分线的斜率为23y−=2(x−2)4x2y−5=0.−所以线段的垂直平分线方程为，整理得：2故选：B4.【答案】A【解析】12【分析】由,n−知直线的法向量所夹锐角为lα60°，根据直线的位置关lα系，即可得出答案.【详解】由已知得直线l和平面α的法向量所夹锐角为60°，因此l与α所成的角为30°.故选：A.【点睛】本题考查线面角属于基础题.找到向量m，n的夹角与l与α所成角的关系是解本题的关键.5.【答案】C【解析】x−）2+y=3，圆）到直线的距离等于半径2【详解】圆的方程即为（3+m＝33+m23＝3或者＝−333+1故选C．6.【答案】D【解析】【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.(−2,0),B(4,a)两点到直线l:3x−4y+1=0【详解】因为的距离相等，3(2)+0(−4)+134−4a+192=13−4a=5a=2，或a=所以有，32+(−4)232+(4)2故选：D7.【答案】A【解析】【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.(−)()2()25,3x−1+y−1=5B的圆心坐标为，【详解】设点A的坐标为，圆(x)(y)−2+−2=5的圆周，设C(,0)是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆B所以反射光线经过点由反射的性质可知：1−0，3−01−01k+k=0+=0x=−，−5−x1x−22k==1于是3，所以反射光线所在的直线方程为：1−(−)221y=(x+)2x−3y+1=0，32故选：A8.【答案】A【解析】【分析】由椭圆定义把转化为P到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可20)2=1|PA|+|PF|PA|4−|PF=4+|PA|−|PF|得.【详解】设椭圆的右焦点为，，，22|PA|−|PF|≤||−|AF|PA|−|PF|AF|，2又，2222当2三点共线时取等号，|PA|+||FA2的最小值为（取最小值时P是射线故选：A.9.【答案】C【解析】【分析】根据直线l:x−my−2=0过定点A确定出对于给定的一点P，d取最大值时PA⊥l且d=PAd，由此可知，然后根据点P为正方形上任意一点求解出.【详解】直线l:x−my−2=0过定点(A2,0)，对于任意确定的点P，当PA⊥l时，此时d=PA，当PA不垂直l时，过点P作PB⊥l，此时d=PB，如图所示：⊥d=，因为PBAB，所以，所以d，且此时；PA⊥l由上可知：当P确定时，即为d=PA又因为P在如图所示的正方形上运动，所以，)PA213=−(−)=，dM(0当取最大值时，P点与重合，此时所以=3，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析d取最大值时PA与直线l的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.10.【答案】C【解析】(Px)，由0()Bb，分类讨论求出的最大【分析】设，根据两点间的距离公式表示出0值，再构建齐次不等式，解出即可．x202y202(Px)，由0()Bb+=1，a2=b2c2，所以+【详解】设，因为0ab220b222324ycbb2=+(−)2=−+(−)2=−+++2a+b2，PBx20y0ba21y0by0bcc2b3b0b2=b2PB=b，符合题意，由−−b，即b2c2时，PB因为，当，即2c2b2c2可得a22c2，即0e；2b32bc42bc42−−b，即b2c2时，PB2=+a2+b2+a2+b2b2当，即，化简得，cc2−b)20，显然该不等式不成立．2故选：．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．二、填空题（共25分）【答案】(6,3,2)（答案不唯一）【解析】n)，则【分析】首先表示出，，设平面的法向量为n=(x,y,z，即可得到不定nAC0方程组，取值即可；【详解】解：因为()()()，A1,0,0,B2,0,C0,3所以AB=(−2,0)，AC=(0,3)，n=(x,y,z)，设平面法向量为−x+2y=0nnx=6，则，y=3，z=2则，即，令−x+3z0=C0)n=(6,3,2所以；故答案为：(6,3,2)（答案不唯一）12.【答案】8【解析】【分析】all平行解得b先由直线l的倾斜角求出其斜率，然后根据与l垂直求出的斜率并解得，最后由与，得到21a+b.【详解】由直线l的倾斜角为45，则l的斜率k=tan45=11与l垂直，1−2a−3则a3且的斜率lk=1=−1，得a=6，12lllk=−=−1，得b=2，则ab8+=.又由与平行，则斜率1222b故答案为：813.【答案】【解析】13【分析】由已知，根据题意建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，然后通过异面直线DE和AF所113210成角的余弦值为，即可列式计算.【详解】以D为原点，以DA，DD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系.正方体的棱长为2A，02)D(00，，(0，21)，A，，0).11所以DE=(0,,AF=AA+AF=AA+AD=(0,−2)+(−0)=(−2,0,−2),11112AF,DE=所以所以，11AFDE22+151123210131=，解得==−或（舍去）.2+132513故答案为：.32214.【答案】+【解析】3212322()，，由两点间=P，－2Qa+a−【分析】根据平行线间距离公式可得PQ，设AP+PQ=(a+2+(a−2+a2+(a+2，结合几何意义以及图形即可求解最距离公式可表达出小值.332【详解】由平行线距离公式得：==，2231设()，则Qa+a−P，－2，2232所以APPQ++=(a+2+(−a+2+a2+(−a−+22322=(a+2+(a−2+a2+(a++2，设点()()()，如下图：M，aC，－3D0(a+2+(a−2+a2+(a+=+CD=132则有：(MC三点共线时等号成立，即当32综上，++13+．232故答案为：+2()2+115.【答案】【解析】【分析】首先根据条件确定P点所处的平面，再建立坐标系求出动点P的轨迹方程，据此求出轨迹的长.PA=2PB,AB=2【详解】由可知，正方体表面上到点A距离最远的点为C，11AABCDCC，面上运动，11所以P点只可能在面，面1当PABCD上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，0),B(2,0)则设即,P(x,y)PA=2PB得：x2+y2=x−2)2+y]，2，由(x−4)2+y2=8P点在平面内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以22为半径的一段圆弧，=2,故=因为22,BE=,4所以P点在面内的轨迹的长即为22=421A22=同理，P点在面内情况亦为；142CCPA=2PB，=P点在面上时，因为,112PAB=,PB=2所以，4所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，12=其长为，4综上述，P点运动轨迹的周长为2+=(2+，2()2+1故答案为：.三、解答题（共85分）x+y−7=02）19x+y+7=016.）.【解析】）设点B的坐标为(a,b)，由直线AB与直线x−y−3=0垂直，得出直线AB的斜率为1，再由点B在直线3x+y−7=0、b边所在aAB的直线方程；（2）设点C的坐标为(m,n)，由AC的中点D在直线3x+y−7=0上以及点Cx−y−3=0在直线上建立方程组，求出点C的坐标，由此可求出BC边所在的直线方程.）设点B的坐标为(a,b)，直线x−y−3=0的斜率为1，b−3a−4x−y−3=0=1，整理得a+b−7=0，由于直线AB与直线垂直，则直线AB的斜率为又因为点B在直线3x+y−7=0，则a+b−7=0，a+b−7=0a=0，即点B的坐标为(7)，所以，解得a+b−7=0b=7y=−x+7x+y−7=0；因此，AB边所在的直线方程为（2）设点C的坐标为(m,n)，由AC，即m+4n+3D,在直线3x+y−7=0的中点上，22(+)n+33m4+−7=0，整理得m+n+1=0所以，22x−y−3=0m−n−3=0又因为点C在直线，12m=m+n+1=015C,−.所以，解得，即点m−n−3=05222n=−57+0−21=则直线的斜率为，2y=−19x+7，即19x+y−7=0因此，边所在直线的方程为.【点睛】本题考查三角形的边所在直线方程的求解，解题的关键就是确定顶点的坐标，根据题意建立方程组求顶点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.42617.）2）.423【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，C1C与平面所成角为1（1）设出平面的法向量，利用空间向量数量积求得法向量，设直线，利用线面角的正弦值为直线的方向向量与平面法向量的余弦值的绝对值即可.（2）分别求出两个面的法向量，利用空间向量数量积公式求得二面角的余弦值.【详解】以DA为x轴，为y轴，为z轴，建立如图的空间坐标系.则(D0,0)，(A0,0)，1()，()，()，()，F(2)E2,0.A2,0,4C2,0C0,2,411n=(x,y,1)C1（1）设平面的法向量，则()()=x+2y=02y+4=0nx,y,12,00n)1.()(4)=0nx,y,1n所成角为，则sin=设直线与平面C1.nAA1Fn=1,0,0)1A1n=0n=0（2）平面的一个法向量，设平面的法向量n2，则且，221n=().A−1F−D解得26锐角，所以=设二面角即二面角为，由图可知，是.1236A−1F−D的余弦值为.3【点睛】本题主要考查线面角及二面角的求法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.18.﹣3）+（﹣）2＝253=−xxy+570（2）y【解析】或2−＝或+y52−7＝04）设圆心（，b，然后根据条件建立方程组求解即可；（2）分直线l经过原点、直线l不经过原点两种情况求解即可.【小问1详解】根据题意，设圆心C（br，标准方程为（x﹣）2（﹣b）＝r2，4y=x上，圆C经过点A0，（7，3a=3a2+b2=r2(a−7)2+b−7)2=r2b4=则有，解可得，4ar=5=b3则圆C的标准方程为（x3）2（y4）225，【小问2详解】若直线lC相切且与，y轴截距相等，分2种情况讨论：k−434==−①直线l经过原点，设直线l的方程为ykx，则有5，解得k，此时直线l的方程为y1+k23=−x；47−m1+1②直线l不经过原点，设直线l的方程为+m＝，则有此时直线l方程为x++52−7＝0或+y52−7＝0；=5，解得m＝7+52或7﹣52，34=−x++570+﹣52−7＝0．综合可得：直线l的方程为y或2−＝或19.）证明见解析3（2）2【解析】）先取的中点，连接DM⊥PC，利用面面垂直的性质定理得DM平面，再由线面垂直的判定定理证明⊥平面PDC，得到BC⊥PD，最后利⊥PBC，进而得到DMBC⊥用线面垂直的判定定理，即可得证；（2）先取的中点Q，连接DQ，得到DQ，DP两两垂直，然后建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面C的法向量，最后利用向量的夹角公式即可得解.【小问1详解】解：取的中点MDM，因为=DC，所以⊥PC，由平面PBC⊥平面PDC，平面PBC平面=，所以DM平面⊥，又由BC平面，所以DM⊥BC，又因为⊥，DCDM=D，所以⊥平面PDC，因为PD平面PDCBC⊥PD，所以.又DC⊥PD，PD⊥ABCD.，所以【小问2详解】解：取的中点QDQ，1DCB=CBQ=90=AB=1DQ⊥DC，所以，DC因为，2由（）易知⊥，⊥，D−以D为坐标原点，以DQ，DCDP所在直线分别为x，，z轴建立空间直角坐标系，如图所示D0)−0)P，C0)B，则，，，所以AC=(1,2,0)，PA=−−.连接BD，易知=2，=2，由AB2，所以AD2BD2AB2，所以=+=⊥，，又BDPD，⊥ADBD⊥，所以平面PAD则平面PAD的一个法向量为0).=−x+2y=0x−y−z=0mm=(x,y,z)，可得设平面的法向量为，则，m取y=1，可得x=z=1，所以平面的一个法向量为m=，33cos,DB==所以，|m||DB|2623又由二面角D−−C为锐二面角，所以二面角D−−C的余弦值为.2x2y2+=120.）12x−y+2=04（2）【解析】）依题可知，c=22，a23，根据=a,b,c的关系求出b2，即可写出椭圆的方程；y=x+m（2）先设出直线，联立可得出AB中点E(x,y)坐标，再根据为等腰三角形知00PE⊥AB，解得中点坐标，即可写出直线方程．【小问1详解】c6由已知得c=22，而=，解得a=23，所以b2=a2−c2=4，a3x2y2故椭圆G的方程为【小问2详解】+=1．124y=x+my=x+m224x2+6mx+3m2−12=0得设直线l的方程为，由xy+=14(x,y)(x,y)ABE(x,y)设A、B的坐标分别为，，中点为，1122001+x2mmx=0=−y=x+m=，00则，244因为AB是等腰的底边，所以PE⊥AB．m2−3124k==−1，解得m=2x=−,y=所以PE的斜率为，即，所以直线AB的方程为m0023+4132y−=x+x−y+2=0，即．2y=x或y=x−421.）（2）存在，两个【解析】223,2（））设出直线l）解设存在()，Px,y根据条件得到()满足的关系式x+−(y2=4，是一个圆，根据两圆的位置关系得到点P的个数；Px,y2（3）设出Q与N点坐标，表达出M点坐