广东省中山市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学 含解析

中山市高一级2023—2024学年第二学期期未统一考试数学试卷本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.已知为不共线向量，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，则4.某地政府对在家附近工作的年轻人进行了抽样调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如下图所示的频率分布直方图，则样本中位数约为（）A.150.5 B.152.5 C.154.5 D.156.55.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169966151525271937592408569683471257333027554488730863537039据此估计的值为（）A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.756.如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.设长方体对角线与顶点出发的三条棱所成的角分别为、、，与顶点出发的三个面所成的角分别为、、，下列四个等式：其中正确的是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B.C D.10.下列化简正确的是（）A. B.C. D.11.如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，且，则下列说法正确的是（）．A.当时，直线与平面所成角的正弦值为B.当二面角的大小为时，直线与所成角为C.若，则二面角的余弦值为D.若，则四面体的外接球的体积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则___________．13.在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是_____14.记一组数据平均数为，方差为，则数据的平均数为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，满足，，.（1）求；（2）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围.16.第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；（2）已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．17.已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.18.如图，为半球直径，C为上一点，P为半球面上一点，且．（1）证明：；（2）若，，求直线与平面所成的角的正弦值．19.在中，，点D在边上，且（1）若的面积为，求边的长；（2）若，求.中山市高一级2023—2024学年第二学期期未统一考试数学试卷本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知结合诱导公式及两角和的正弦公式进行化简即可求解．【详解】解：．故选：．2.已知为不共线向量，，则（）A.三点共线 B.三点共线C.三点共线 D.三点共线【答案】A【解析】【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论.【详解】因为，所以三点共线，故选：A．3.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中线面、面面的位置关系判断即可.【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误；对于B：若，则或，故B错误；对于C：若，，则，故C正确；对于D：若，则或，故D错误.故选：C4.某地政府对在家附近工作的年轻人进行了抽样调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如下图所示的频率分布直方图，则样本中位数约为（）A.150.5 B.152.5 C.154.5 D.156.5【答案】B【解析】【分析】先根据频率之和为1求出未知数，再找到频率之和为0.5所在的区间即可根据频率分布直方图进行求解中位数.【详解】依题意，，解得，显然，，所以样本中位数为.故选：B5.已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169966151525271937592408569683471257333027554488730863537039据此估计的值为（）A.0.6 B.0.65 C.0.7 D.0.75【答案】B【解析】【分析】由20组随机数中找出至少2次击中目标包含的随机数的组数，即可求概率的值.【详解】20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：151525271592408471257333027554730537039一个有组，所以其3次射击至少2次击中目标的概率，故选：B.6.如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据锐角三角函数定义，结合正方形的性质、平面向量基本定理进行求解即可.【详解】过作，垂足为，设大正方形的边长为1，设小正方形的边长为，因为，所以，所以，由勾股定理可知：，即，，，因此由平面向量基本定理可知：，因为，所以，故选：C7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解.【详解】因为，可得，则，.故选：A.8.设长方体的对角线与顶点出发的三条棱所成的角分别为、、，与顶点出发的三个面所成的角分别为、、，下列四个等式：其中正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】在图中找到，，及，，所对应的角，在直角三角形中应用正余弦化简整理，即可求出结果.【详解】连接，，，，，，如下图由题知：，，，因为平面，平面，平面，得：，，，对于A项：，故A项错误.；对于B项：，故B项错误；对于C项：，故C项错误;对于D项：，故D项正确.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由，结合每个选项计算可判断其正确性.【详解】因为，所以，所以，故A正确；所以，所以，故B不正确；，故C不正确；，故D正确.故选：AD.10.下列化简正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式，结合特殊角的三角函数值，逐项化简判断即得.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD11.如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，且，则下列说法正确的是（）．A.当时，直线与平面所成角的正弦值为B.当二面角的大小为时，直线与所成角为C.若，则二面角的余弦值为D.若，则四面体的外接球的体积为【答案】ABD【解析】【分析】由面面垂直的性质得线面垂直，即可求直线与平面所成角的正弦值即可判断A；根据二面角判断B，C即可；由四面体外接球的几何性质确定外接球半径，即可判断D.【详解】对于A，当时，因为，，所以直线与平面所成角为，则，故A正确；对于B，如图，过A作，且，连接，，则为正方形，即为直线与所成角，为二面角的平面角，当时，易得，又，，故面，即面，故，故B正确；对于C，如图，作，则二面角的平面角为，又，在中，易得，在．中，由余弦定理得，，过C点作交线段的延长线于点O，则平面，过O点作，交线段的延长线于点H，连接，则为二面角的平面角，易得，，，所以，故C错误；对于D，同选项C可知，如图，分别取线段，的中点G，M，连接，过G点作平面的垂线，则球心O必在该垂线上，设球的半径为R，则，又的外接圆半径，则，所以四面体的外接球的体积为，故D正确．故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则___________．【答案】【解析】【分析】转化为函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到的图象与函数的图象重合，从而可得答案.【详解】因为函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后，得到的图象与函数的图象重合，所以函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到的图象与函数的图象重合，即，所以，因为，∴，故答案为：13.在中，内角A，B，C的对边分别为，且，，，符合条件的三角形有两个，则实数的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】利用余弦定理，构造关于c的方程，利用根的分布求出x的范围.【详解】在中，，，，由余弦定理得：，即因为符合条件的三角形有两个，所以关于c的方程由两个正根，所以，解得：.故实数的取值范围是.故答案为：14.记一组数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为__________.【答案】【解析】【分析】根据平均数、方差公式计算可得.【详解】因为的平均数为，方差为，所以，，即，即，即，即，所以，所以数据的平均数为.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，满足，，.（1）求；（2）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由给定条件求出，再根据向量模的计算公式即可得解；(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.【详解】（1）依题意，，得，，所以；（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，而当向量与同向时，可知，综上所述的取值范围为.16.第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．（1）已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；（2）已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题可知两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，然后根据独立事件概率公式即得；（2）由题可知甲得11分获胜有两类情况：甲获胜或甲获胜，然后结合条件根据独立事件概率公式即得.【小问1详解】设“甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛”为事件，若两局比赛就能结束，则只能甲连胜两局，所以；【小问2详解】设“该局比赛甲得11分获胜”为事件，甲得11分获胜有两类情况：甲连得3分，则甲获胜；甲得3分，乙得1分，则甲获胜，此时有三种情况，每球得分方分别为乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，所以.17.已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用和角的正弦、二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质解不等式即得.（2）令，结合分离参数，利用函数单调性求出实数的取值范围.【小问1详解】依题意，，由，得，则，解得，所以不等式的解集为.【小问2详解】由，得，由，得