数学单元测试：第二讲直线与圆的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二讲测评（时间:90分钟满分：100分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有（)A．2个锐角和2个钝角B．1个锐角和3个钝角C．1个钝角和3个锐角D．都是锐角或都是钝角2．如图，A,B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B＝65°，则∠BAC等于（)A．25°B．35°C．50°D．65°3．下列说法正确的是（）A．垂直于半径的直线是圆的切线B．经过三点一定可以作圆C．圆的切线垂直于圆的半径D．每个三角形都有一个内切圆4．如图，半径OA等于弦AB,过B作⊙O的切线BC，取BC＝AB，OC交⊙O于E,AC交⊙O于点D，则和的度数分别为()A．15°，15°B．30°，15°C．15°，30°D．30°,30°5．在半径为6cm的圆中，长为2πcm的弧所对的圆周角的度数为(）A．30°B．100°C．120°D．130°6．如图,AD，AE,BC分别与圆O切于点D，E,F,延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA;②AF·AG＝AD·AE;③△AFB∽△ADG。其中正确结论的序号是()A．①②B．②③C．①③D．①②③7．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是()A．80°B．100°C．120°D．130°8．如图，已知A，B,C，D，E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A＋∠B＋∠C等于（)A．90°B．120°C．180°D．60°9．如图，点D，E在以AB为直径的半圆O上，点F，C在AB上，四边形CDEF为正方形,若正方形的边长为1，AC＝a，BC＝b，则a－b＝()A．5B．eq\r(5)C．2D．110．AB为半圆O的直径，弦AD,BC相交于点P，若CD＝3,AB＝4,则tan∠BPD等于（)A．eq\f(\r（7)，3)B．eq\f(3，4）C．eq\f(4,3)D．eq\f(5,3）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．如图，圆O的半径为1,A，B，C是圆周上的三点,满足∠ABC＝30°,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝__________。12．（2014陕西，理15B）如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝__________.13．如图,在半径为eq\r(7)的⊙O中，弦AB,CD相交于点P,PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为__________．14．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝eq\r(2）,AF∶FB∶BE＝4∶2∶1,若CE与圆相切，则线段CE的长为__________．15．如图,PAB和PCD为圆的两条割线，分别交圆于A，B和C，D点，若PA＝5，AB＝7，CD＝11，则AC∶BD等于__________．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，以AD为直径的⊙O交AB于点E，⊙O的切线EF交BC于F,求证：EF⊥BC.17．(6分)（2014江苏，21A）如图，AB是圆O的直径，C,D是圆O上位于AB异侧的两点，证明:∠OCB＝∠D。18．(6分)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C,EF垂直AB于F，连接AE，BE。证明：（1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.19．(7分)如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E,D两点，连接EC,CD.(1)求证:直线AB是⊙O的切线；(2)若tan∠CED＝eq\f(1，2)，⊙O的半径为3，求OA的长．

参考答案一、1．解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．答案：A2．解析：在△OAB中，OA＝OB，∴∠O＝180°－2∠B＝50°.∴∠BAC＝eq\f（1，2)∠O＝25°.答案:A3．解析：任意一个三角形都有三个内角,其中任意两个内角的平分线必交于一点，该点到三角形三边的距离都相等，这点叫做三角形的内心,因此每一个三角形都有一个内切圆．答案：D4．解析：∵OA＝AB，OA＝OB，∴OA＝OB＝AB.∴∠OBA＝60°。∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°。∴∠ABC＝∠OBA＋∠OBC＝60°＋90°＝150°。∵BC＝AB,∴∠BAD＝∠BCA＝eq\f（180°－150°,2）＝15°.∴的度数为30°.∵∠OBC＝90°,BC＝OA＝OB，∴△OBC为等腰直角三角形．∴∠BOE＝45°.∴的度数为45°。∴的度数为45°－30°＝15°.答案:B5．解析:如图所示，⊙O的半径R＝6cm，设＝2πcm.∵＝eq\f(nπR，180),∴2π＝eq\f(nπ×6，180).∴n＝60°，即∠AOB＝60°.∴∠APB＝30°。答案：A6．解析：①∵CE与CF，BD与BF，AD与AE为同一点引出的圆的切线，∴根据切线长定理CE＝CF,BD＝BF，AD＝AE；而AD＝AB＋BD＝AB＋BF，AE＝AC＋CE＝AC＋CF,CF＋BF＝BC，所以AD＋AE＝AB＋BC＋CA，①正确．②∵AD与AE是从A点引出的圆的切线，AD与AG是从A点引出的圆的切线和割线,∴由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE,②正确．③若△AFB∽△ADG，则eq\f（AF，AD)＝eq\f（AB,AG)，即AF·AG＝AB·AD；而AF·AG＝AD2,所以AF·AG＝AB·AD不成立，③错误．答案：A7．解析：∵∠AOB＝100°，∴的度数为100°.∴∠ACB＝eq\f(360°－100°,2）＝130°.答案：D8．解析：∵AC为⊙O的直径,∴＋＋的度数为180°。∵∠A，∠B，∠C的度数分别为,，度数的一半，∴∠A＋∠B＋∠C＝90°.答案：A9．解析：OF＝OC＝eq\f(1,2),圆的半径为eq\f（a＋b,2)，所以AC＝OA＋OC,即a＝eq\f（a＋b,2）＋eq\f(1，2)，整理得a－b＝1。答案：D10．解析：如图所示，连接BD。∵∠C＝∠A,∠CPD＝∠APB，∴△CPD∽△APB。∴eq\f（PD,PB)＝eq\f(CD，AB)。∵CD＝3,AB＝4，∴eq\f(PD,PB）＝eq\f（3，4）。设PD＝3k，PB＝4k.∵AB是⊙O的直径，∴∠BDP＝90°。∴BD＝eq\r(BP2－PD2)＝eq\r(4k2－3k2）＝eq\r（7）k。∴tan∠BPD＝eq\f(BD,PD）＝eq\f（\r（7)k，3k)＝eq\f（\r（7），3）。答案：A二、11．解析:连接AO,则由∠ABC＝30°知∠AOP＝60°.又OA＝1，∴PA＝OA·tan60°＝eq\r(3).答案：eq\r（3)12．解析：由已知得四边形BCFE为圆的内接四边形，因此∠AEF＝∠ACB，∠AFE＝∠ABC，所以△AEF∽△ACB，于是有eq\f（AE,AC)＝eq\f（EF,CB)，而AC＝2AE，BC＝6,所以EF＝3.答案：313．解析：如图所示，取CD中点E,连接OE，OC.由圆内相交弦定理知PD·PC＝PA·PB，所以PC＝4，CD＝5，则CE＝eq\f（5,2），OC＝eq\r（7).所以圆心O到弦CD的距离为OE＝eq\r（\r(7)2－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（5,2））)2）＝eq\f（\r（3），2）.答案：eq\f(\r（3），2)14．解析：设BE＝m，则BF＝2m，AF＝4m。∵AB与CD是圆的两条相交弦，交点为F,∴由相交弦定理，得AF·FB＝CF·FD＝eq\r(2）×eq\r(2)＝2，∴4m·2m＝2，∴m2＝eq\f（1，4）.又∵CE是圆的切线，根据切割线定理，得CE2＝EB·EA＝m(m＋2m＋4m）＝7m2＝eq\f(7,4），∴CE＝eq\f(\r（7),2).答案:eq\f(\r（7），2)15．解析：由割线定理,得PA·PB＝PC·PD，①即eq\f（PA,PD)＝eq\f(PC，PB)。∵∠P为公共角，∴△PAC∽△PDB.∴eq\f(AC,BD）＝eq\f(PA,PD).②又∵PA＝5，AB＝7，CD＝11,∴PB＝12.由①式，知5×12＝PC（PC＋11）,解得PC＝4或PC＝－15（舍)．∴PD＝PC＋CD＝4＋11＝15。由②式，得eq\f（AC，BD)＝eq\f（PA，PD）＝eq\f(5,15)＝eq\f（1，3），即AC∶BD＝1∶3.答案:1∶3三、16．证明：∵AD是直径,∴∠AED＝90°。∴∠DEF＋∠BEF＝90°.∵EF切⊙O于点E，DE是弦,∴∠DEF＝∠A.∴∠A＋∠BEF＝90°.∵AD＝BC，AB∥DC，∴∠B＝∠A。∴∠B＋∠BEF＝90°，∴∠BFE＝90°.∴EF⊥BC.17．分析：要证明∠OCB＝∠D，因∠OCB＝∠B，只需证∠B＝∠D,而同弧所对的圆周角相等，即∠B＝∠D成立，因此得证．证明：因为B,C是圆O上的两点，所以OB＝OC.故∠OCB＝∠B。又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D.因此∠OCB＝∠D。18．证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB。由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝eq\f（π，2）.又EF⊥AB,得∠FEB＋∠EBF＝eq\f(π，2），从而∠FEB＝∠EAB。故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中,EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC。19．分析：(1)转化为证明OC⊥AB即可;（2)先证明△BCD∽△BEC，再借助于对应边成比例,解方程得OA的长．（1）证明:如图，连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.∴AB是⊙O的切线．(2