数学单元测试：参数方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元测试一、选择题（每题只有一个选项是正确的，请把正确选项填在题后的括号内）1在方程(θ为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为（）A.(2,—7）B。（）C.(,）D.（1,0)思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性,普通方程是y=1—2x2(—1≤x≤1)，再根据选择肢逐个代入进行验证即可.答案：C2下列参数方程（t为参数）与普通方程x2—y=0表示同一曲线的方程是…(）A.B.C.D。思路解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x2-y中的x∈R，y≥0,A中x=｜t｜≥0，B中x=cost∈［—1,1］，故排除A和B.而C中y==cot2t=,即x2y=1,故排除C.答案：D3直线:3x-4y—9=0与圆：(θ为参数）的位置关系是（）A.相切B.相离C.直线过圆心D。相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得x2+y2=4，得到半径为2,圆心为(0，0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系。答案：C4参数方程(t为参数）所表示的曲线是（）A.一条射线B。两条射线C。一条直线D。两条直线思路解析：根据参数中y是常数可知,方程表示的是平行于x轴的直线,再利用不等式知识求出x的范围可得x≤—2,或x≥2，可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5双曲线（θ为参数)的渐近线方程为(）A。y-1=±(x+2）B.y=±xC。y-1=±2(x+2)D.y+1=±2(x-2）思路解析:根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得—(x+2）2=1,可知这是中心在（1，—2）的双曲线,利用平移知识，结合双曲线的渐近线的概念即可。答案：C6设r〉0,那么直线xcosθ+ysinθ=r与圆（φ是参数）的位置关系是…(）A。相交B。相切C。相离D。视r的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r，则圆心（0，0)到直线的距离为d==r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切。答案：B7设直线l1:(t为参数)，如果α为锐角，那么直线l1到直线l2：x+1=0的角是(）A。-αB。+αC.αD.π—α思路解析:根据方程可知，l1的倾斜角为π-α，l2的倾斜角为,根据直线到角的定义,只需让l1逆时针旋转+α即与l2重合。所以,直线l1到l2的角为+α.答案：B8直线（t为参数)上与点P（—2，3）的距离等于的点的坐标是…(）A。(—4，5)B。（—3，4）C。(-3,4）或（—1，2)D。(-4,5）或(0，1)思路解析:可以把直线的参数方程转化为标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得（｜t｜=,将t代入原方程,得∴所求点的坐标为（-3，4)或（-1,2）。答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A。πB。2πC.12πD。14π思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为(φ为参数）,把y=0代入可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z）。而x=3φ-3sinφ=6kπ。根据选项可知选C。答案：C二、填空题（请把正确的答案直接填写在题后的横线上）10已知参数方程(a,b，λ均不为零，0≤θ〈2π），当(1)t是参数时，(2)λ是参数时,(3)θ是参数时,分别对应的曲线为_________，_________,_________。思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义,强调在一个方程中,不同的量作为参数会得到不同的含义.把t作为参数消去t可得bx-ay-bλcosθ-aλsinθ=0表示直线；把λ看作参数可得y—bt=cotθ（x—at）表示直线;同理，把θ看作参数,消去θ可得(x—at)2+(y-bt）2=λ2表示圆.答案:直线直线圆11圆锥曲线(θ为参数）的准线方程是____________.思路解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为=1,表示的曲线是焦点在y轴的双曲线，且对应的a=3，b=2，c=，所以准线方程是y=±。答案：y=±12直线l经过点M0（1，5）,倾斜角是,且与直线x—y—=0交于点M，则｜M0M｜的长为____________.思路解析：直线l的参数方程是（t为参数）,代入方程x-y—=0中,解得t=—(10+),根据t的几何意义，可知|M0M｜=|t|=10+.答案：10+13在圆的摆线上有点(π，0）,那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上,参数φ=对应点的坐标为____________.思路解析:首先根据摆线的参数方程(φ为参数)，把点(π,0)代入可得则sinφ=0,φ=2kπ（k∈Z），所以r=(k∈Z),又r>0,所以k∈N*，当k=1时r最大为。再把φ=代入即可.答案：(）三、解答题（请写出详细的解答过程）14A为椭圆=1上任意一点,B为圆（x-1）2+y2=1上任意一点，求｜AB|的最大值和最小值.v思路分析：化普通方程为参数方程，再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决。解:化普通方程为参数方程（θ为参数），圆心坐标为C(1，0)，再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC｜=,所以当cosθ=时,|AC｜取最小值为,cosθ=-1时,|AC｜取最大值为6,所以当cosθ=时，｜AB｜取最小值为+1；当cosθ=-1时，｜AB｜取最大值为6+1=7.15设抛物线y2=4x有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心，则抛物线的对称轴即x轴与AB垂直,且A、B关于x轴对称,所以△OAB为等腰三角形。解：抛物线y2=4x的焦点为F（1,0)，F为△OAB的垂心，所以x轴⊥AB,A、B关于x轴对称.设A（4t2，4t)（t>0)，则B（4t2，—4t),所以kAF=，kOB=。因为AF⊥OB,所以kAF·kOB=·(）=—1。所以t2=。由于t〉0,得t=,所以A（5，）。所以｜AB｜=，｜OA｜=｜OB｜=，这个三角形的周长为.16已知点M（2,1）和双曲线x2-=1，求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在的直线l的方程。思路分析:这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程(t为参数),代入双曲线的方程,得到关于t的二次方程。设方程的两根分别为t1,t2，若M为弦AB中点，则有t1+t2=0，可得α的方程，从而得到直线的斜率,即可得直线的方程.解:设直线l的参数方程是（t为参数）