数学单元测评：第一讲相似三角形的判定及有关性质2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元测评（二）1.如图1-14,△ABC中,D、E为AB的三等分点,且DF∥EG∥BC,分别交AC于F、G，若AC=15，则FC=。图1-14图115思路分析:∵D、E为AB的三等分点，且DF∥EG∥BC，∴AF=FG=GC.又∵AC=15，∴FC=10.答案：102.如图1—15,F是AB中点，FG∥BC，EG∥CD，则AG=，AE=。思路分析:∵F是AB中点,FG∥BC,∴AG=GC.在△ACD中,∵AG=GC,EG∥CD，∴AE=ED.答案:GCED3。直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°,EF是AB的垂直平分线,交AB于E,交CD于F,则DF=。思路分析：∵EF垂直平分AB，∴EF∥AD∥BC.∴由推论2得DF=FC.答案：FC4。如图1—16,已知AD∥EF∥BC，E为AB中点,AD=8，BC=14，则GH=.图1—1—6思路分析：∵E为AB中点,且AD∥EF∥BC，∴DG=BG，AH=HC，DF=FC.在△ADB中，由三角形中位线定理得。同理，得EH=7.∴GH=EH–EG=7—4=3.答案:35.在△ABC和△A′B′C′中,AB=7，BC=6，CA=5,，B′，C′A′=2，则（)A。∠A=∠A′ B。∠A=∠B′ C。∠A=∠C′ D。∠B′=∠B思路分析：本题主要考查相似三角形的判定和相似三角形的表示.由==3，==3,==3,得==.从而△ABC∽△B′A′C′。∴∠A=∠B′,∠B=∠A′,∠C=∠C′。答案：B6。在△ABC中,已知AD、BE分别是BC、AC边上的高，AD、BE交于H,则图中相似三角形共有对…(）A。3B。4C。5D。6思路分析：由相似三角形的判定方法知，图中共有相似三角形4对.它们分别是△AHE∽△BHD,△ADC∽△BEC，△BHD∽△BCE，△AHE∽△ACD。故选B。答案：B7。正方形ABCD中，E为AD的中点,BM⊥CE于M，AB=6cm,则BM等于（）A。 B.C.3 D。思路分析:在正方形ABCD中,∵AB=6cm,E为AD中点,∴由勾股定理得CE=3cm。连结BE，容易知道S△BEC=S正方形ABCD=18cm2。在△BEC中,S△BEC=EC·BM，∴BM==(cm）.答案:B8。如图1—17,已知==，则下列各式中正确的是(）图1-17A。= B。∠A=∠A′C.= D。=思路分析：在△AOB和△A′OB′中,∵==,∠AOB=∠A′OB′,∴△AOB∽△A′OB′。∴∠A=∠A′。答案：B9。如图1—18,已知∠BAC=∠DBC，AB=4，AC=6，BC=5,BD=7.5,则CD的长度为（)图1—1-8A。 B.6 C。 D。7思路分析：在△ABC和△BCD中,∵AC=6，AB=4,BC=5,BD=7。5，∴=，即=。又∠BAC=∠DBC,∴△ABC∽△BCD.∴=，==.答案:C10.如图1—19,已知四边形ABCD中，AC、BD交于点E，若∠BAC=∠BDC,求证：∠1=∠2。图1-19思路分析：要证∠1=∠2,因为∠AED=∠BEC,所以,只要证△AED∽△BEC即可,考察条件∠BAC=∠BDC,容易得到△ABE∽△DCE,从而有=，即=.再由∠AED=∠BEC,△AED与△BEC相似便成为现实。证明:在△ABE和△DCE中，∵∠BAC=∠BDC,∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴=,即=。在△AED和△BEC中,∵∠AED=∠BEC，∴△AED∽△BEC.∴∠ADE=∠BCE，即∠1=∠2。11.如图1-20，已知AD是△ABC的中线,从顶点C任意引一条射线交AD于E,交AB于F。求证:AE·BF=2AF·DE.图1—20思路分析：本题证法较多，要证AE·BF=2AF·DE,只需证=.考虑和点D为BC的中点,设想过点D构造CF的平行线交AB于点M，则BM=MF，从而==，容易证明=。证明：过点D作DM∥CF交AB于点M,∵BD=DC,∴BM=MF。在△ADM中，∵EF∥DM，∴===，即=.从而AE·BF=2AF·DE.12.如图1-21，△ABC中，AD平分∠BAC,且∠BAC=2∠B。求证：AB·AC=BC·BD.图1—21思路分析：由条件首先知道AD=DB,从而要证AB·AC=BC·BD,就是证AB·AC=BC·AD，也就是=，只需证△CAD∽△CBA即可。证明:∵AD平分∠BAC，∠BAC=2∠B，∴∠DAB=∠B，AD=BD。在△CAD和△CBA中,∵∠C=∠C,∠CAD=∠CBA，∴△CAD∽△CBA。∴=.又∵AD=BD，∴AB·AC=BC·BD.13.在△ABC中,∠A=24°，∠B=52°,三边长分别为a、b、c.求证:。图1-22思路分析：如图，要证,需证ba=c2—b2,ba=（c+b）（c—b）。由此考虑添加辅助线,构造相似三角形。证明:延长AC到E，使CE=CB,连结EB,∵∠A=24°，∠ABC=52°,∴∠ACB=104°,∠E=52°。在△ABC和△AEB中，∵∠A=∠A,∠ABC=∠E，∴△ABC∽△AEB。∴=.∴=.∴c2=b（a+b)，c2—b2=ab，即。14。如图1-23，矩形ABCD中，M为BC中点,DM⊥AC于E,求的值。图1-23思路分析：由题意,考虑射影定理,有CD2=DE·DM，CM2=ME·MD，在条件“M为BC中点”下,要求，即求.根据三角形相似解决即可.解:∵DM⊥AC，M为BC中点,∴在矩形ABCD中，△MEC∽△DEA。∴==。设ME=k,则DE=2k，∴在Rt△DCM中,∵CE⊥DM,∴MC2=ME·MD=k·3k=3k2，BC2=（2MC）2=4×3k2=12k2,。同理，.∴==.15.如图1-24，已知△ABC中，点D在CA延长线上,且,E为BC中点,DE交AB于F,过点F引直线MN⊥DE，P为MN上一点.求证：PD=PE.图1-24思路分析：由于MN⊥DE，所以要证PD=PE,只需证FD=FE，结合已知条件