初中数学北师大版九上2.3.2用公式法求解一元二次方程教学设计

初中数学北师大版九上2.3.2用公式法求解一元二次方程教学设计课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计意图本节课旨在让学生掌握用公式法求解一元二次方程的方法，理解一元二次方程求根公式的推导过程，并能够灵活运用公式法解决实际问题。通过本节课的学习，学生能够深化对一元二次方程概念的理解，提高解题能力，为后续学习打下坚实基础。教学内容与北师大版九年级上册数学教材2.3.2节内容紧密相连，符合学生知识深度和教学实际需求。二、核心素养目标分析本节课的核心素养目标包括逻辑思维与数学应用能力的培养。通过推导一元二次方程求根公式，学生将锻炼逻辑推理和数学抽象思维能力，提升数学表达和问题解决能力。同时，通过解决实际问题时运用公式法，学生能够培养数学建模素养，增强运用数学知识解决实际问题的意识和能力。三、学习者分析1.学生已经掌握了二次方程的基本概念，包括一元二次方程的标准形式、解的概念以及解一元二次方程的基本方法，如配方法和因式分解法。

2.九年级的学生具备了一定的逻辑推理和数学运算能力，对数学问题有一定的好奇心，喜欢通过探究和解决问题来学习新知识。他们的学习风格多样，有的喜欢通过直观的例子来理解抽象概念，有的则偏好逻辑推导和证明。

3.学生在用公式法求解一元二次方程时可能遇到的困难和挑战包括：对求根公式记忆不牢固，对公式的推导过程理解不深入，以及在应用公式时对符号的处理不当，导致计算错误。此外，将实际问题转化为数学模型，并运用公式法求解，对学生来说可能也是一个挑战。四、教学方法与手段1.教学方法：采用讲授法引导学生理解一元二次方程求根公式的推导过程，利用讨论法鼓励学生之间相互交流解题策略，通过练习法巩固学生对公式法的应用能力。

2.教学手段：运用多媒体展示一元二次方程的图像，帮助学生直观理解根与图像的关系；使用教学软件进行互动式教学，让学生在软件中实际操作，加深对公式法的理解；利用网络资源，提供额外的练习题，帮助学生自主学习和巩固知识点。五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布关于一元二次方程求根公式的推导过程的预习资料，包括相关概念和公式推导的初步介绍。

-设计预习问题：设计如“一元二次方程求根公式是如何推导出来的？”等预习问题，引导学生思考。

-监控预习进度：通过在线平台监控学生的预习进度，及时了解学生的预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生阅读预习资料，初步理解一元二次方程求根公式的推导过程。

-思考预习问题：针对预习问题进行思考，记录下自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记和问题提交至在线平台。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生独立思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：使用在线平台进行资源分享和进度监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过实际生活中的问题，如抛物线运动，引出一元二次方程求根公式的应用。

-讲解知识点：详细讲解一元二次方程求根公式的推导过程，强调公式的每一步推导和适用条件。

-组织课堂活动：设计小组讨论活动，让学生讨论公式法求解一元二次方程的步骤和注意事项。

-解答疑问：对学生在学习中产生的疑问进行解答。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，思考老师讲解的内容。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论，通过实际例题练习公式法求解一元二次方程。

-提问与讨论：针对不懂的问题提出疑问，与同学和老师讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：详细讲解一元二次方程求根公式的推导和应用。

-实践活动法：通过实际例题练习，加深对公式法的理解。

-合作学习法：小组讨论，培养学生的团队合作和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置与一元二次方程求根公式相关的练习题，巩固课堂学习内容。

-提供拓展资源：提供相关的数学网站和视频，供学生深入学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈。

学生活动：

-完成作业：独立完成作业，巩固对一元二次方程求根公式的理解和应用。

-拓展学习：利用提供的资源进行深入学习，拓宽知识面。

-反思总结：对学习过程进行反思，总结学习中的收获和不足。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对学习过程进行反思，提升学习效果。

本节课的重点是让学生理解和掌握一元二次方程求根公式的推导和应用，难点在于公式的推导过程和实际应用中的符号处理。通过上述教学实施过程，旨在帮助学生深入理解并灵活运用公式法求解一元二次方程。六、知识点梳理1.一元二次方程的定义

-一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。

-形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）

2.一元二次方程的根的判别式

-判别式：Δ=b^2-4ac

-根的情况：

-Δ>0：方程有两个不相等的实数根；

-Δ=0：方程有两个相等的实数根；

-Δ<0：方程没有实数根，但有两个共轭复数根。

3.一元二次方程求根公式

-公式：x=(-b±√Δ)/(2a)

-适用条件：Δ≥0

4.一元二次方程求根公式的推导

-完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

-配方法：将一元二次方程ax^2+bx+c=0通过移项和配方转化为(x+p)^2=q的形式，再开平方求解。

5.公式法的应用步骤

-步骤一：将一元二次方程化为一般形式ax^2+bx+c=0；

-步骤二：计算判别式Δ=b^2-4ac；

-步骤三：根据Δ的值判断根的情况；

-步骤四：当Δ≥0时，代入求根公式求解。

6.一元二次方程的应用

-应用领域：物理学、工程学、经济学等。

-解决问题：通过建立一元二次方程模型，解决实际问题，如物体运动、投资收益、成本计算等。

7.公式法求解一元二次方程的注意事项

-确保a≠0，否则方程退化为一元一次方程；

-计算判别式Δ时，注意判别式的正负，以确定根的情况；

-代入求根公式时，注意符号的正确运用，避免计算错误。

8.公式法与配方法、因式分解法的比较

-公式法：适用于所有一元二次方程，特别是当方程不易分解时；

-配方法：适用于可配成完全平方的一元二次方程；

-因式分解法：适用于可分解为两个一次因式的一元二次方程。

9.一元二次方程的图像

-一元二次方程ax^2+bx+c=0的图像是抛物线；

-抛物线的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；

-抛物线与x轴的交点即为方程的根。

10.一元二次方程的解的性质

-一元二次方程的解是对称的，即如果x1和x2是方程的解，则x1+x2=-b/a；

-一元二次方程的解的乘积是x1*x2=c/a。七、课后作业1.已知一元二次方程x^2-4x-5=0，求该方程的解。

答案：首先计算判别式Δ=(-4)^2-4*1*(-5)=36，因为Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根。代入求根公式，得到x1=(4+√36)/(2*1)=5，x2=(4-√36)/(2*1)=-1。

2.对于一元二次方程2x^2+4x+3=0，判断其根的情况，并求解。

答案：计算判别式Δ=4^2-4*2*3=-8，因为Δ<0，所以方程没有实数根。

3.某项投资的收益与投资金额的关系可以表示为一元二次方程x^2-12x+32=0，其中x表示投资金额。求投资金额。

答案：计算判别式Δ=(-12)^2-4*1*32=32，因为Δ>0，所以方程有两个不相等的实数根。代入求根公式，得到x1=(12+√32)/(2*1)=8，x2=(12-√32)/(2*1)=4。所以投资金额可以是4或8。

4.一个物体从静止开始做直线运动，其位移s与时间t的关系满足一元二次方程s=5t^2-10t。求物体在t=2秒时的位移。

答案：将t=2代入方程，得到s=5*2^2-10*2=20-20=0。所以物体在t=2秒时的位移为0。

5.某商品的销售价格x元与销售量y的关系满足一元二次方程y=-x^2+14x-48。求销售价格定为多少时，销售量最大。

答案：这是一个开口向下的抛物线，顶点的x坐标为-b/(2a)=-14/(2*(-1))=7。将x=7代入方程，得到y=-(7^2)+14*7-48=-49+98-48=1。所以销售价格定为7元时，销售量最大，为1件。注意，这里需要结合实际情况，因为销售量不可能是负数，所以实际最大销售量可能发生在价格稍低时。八、板书设计①一元二次方程的定义与标准形式

-重点知识点：一元二次方程的定义、标准形式

-重点词句：“一元二次方程”、“ax^2+bx+c=0（a